Vektor ialah objek geometri yang penting, dengan bantuan sifatnya ia adalah mudah untuk menyelesaikan banyak masalah di satah dan di angkasa. Dalam artikel ini, kami akan mentakrifkannya, mempertimbangkan ciri utamanya dan juga menunjukkan cara vektor dalam ruang boleh digunakan untuk mentakrifkan satah.
Apakah itu vektor: sarung dua dimensi
Pertama sekali, adalah perlu untuk memahami dengan jelas objek yang kita maksudkan. Dalam geometri, segmen terarah dipanggil vektor. Seperti mana-mana segmen, ia dicirikan oleh dua elemen utama: titik mula dan akhir. Koordinat titik ini secara unik menentukan semua ciri vektor.
Mari kita pertimbangkan contoh vektor pada satah. Untuk melakukan ini, kita lukis dua paksi saling berserenjang x dan y. Mari kita tandakan titik arbitrari P(x, y). Jika kita menyambungkan titik ini ke asal (titik O), dan kemudian menentukan arah ke P, maka kita mendapat vektor OP¯ (kemudian dalam artikel, bar di atas simbol menunjukkan bahawa kita sedang mempertimbangkan vektor). Lukisan vektor pada pesawat ditunjukkan di bawah.
Di sini, vektor AB¯ lain juga ditunjukkan, dan anda boleh melihat bahawa ciri-cirinya adalah sama seperti OP¯, tetapi ia berada di bahagian sistem koordinat yang berbeza. Dengan terjemahan selari OP¯, anda boleh mendapatkan bilangan vektor yang tidak terhingga dengan sifat yang sama.
Vektor dalam angkasa
Semua objek sebenar yang mengelilingi kita berada dalam ruang tiga dimensi. Kajian tentang sifat geometri rajah tiga dimensi berkaitan dengan stereometri, yang beroperasi dengan konsep vektor tiga dimensi. Ia berbeza daripada dua dimensi hanya kerana perihalannya memerlukan koordinat tambahan, yang diukur di sepanjang paksi x dan y serenjang ketiga z.
Rajah di bawah menunjukkan vektor dalam ruang. Koordinat hujungnya di sepanjang setiap paksi ditunjukkan oleh segmen berwarna. Permulaan vektor terletak pada titik persilangan ketiga-tiga paksi koordinat, iaitu, ia mempunyai koordinat (0; 0; 0).
Memandangkan vektor pada pesawat ialah kes khas bagi segmen terarah ruang, kami akan mempertimbangkan hanya vektor tiga dimensi dalam artikel.
Koordinat vektor berdasarkan koordinat yang diketahui bagi permulaan dan penghujungnya
Andaikan terdapat dua titik P(x1; y1; z1) dan Q(x2; y2; z2). Bagaimana untuk menentukan koordinat vektor PQ¯. Pertama, adalah perlu untuk bersetuju yang mana satu mata akan menjadi permulaan dan yang mana penghujung vektor. Dalam matematik, adalah kebiasaan untuk menulis objek yang dipersoalkan sepanjang arahnya, iaitu, P ialah permulaan, Q- tamat. Kedua, koordinat vektor PQ¯ dikira sebagai perbezaan antara koordinat akhir dan permulaan yang sepadan, iaitu:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Perhatikan bahawa dengan menukar arah vektor, koordinatnya akan menukar tanda, seperti berikut:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Ini bermakna PQ¯=-QP¯.
Adalah penting untuk memahami satu perkara lagi. Dikatakan di atas bahawa dalam satah terdapat bilangan vektor yang tidak terhingga sama dengan yang diberikan. Fakta ini juga sah untuk kes spatial. Malah, apabila kami mengira koordinat PQ¯ dalam contoh di atas, kami menjalankan operasi terjemahan selari bagi vektor ini dengan cara yang asalnya bertepatan dengan asal. Vektor PQ¯ boleh dilukis sebagai segmen terarah dari asal ke titik M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Sifat vektor
Seperti mana-mana objek geometri, vektor mempunyai beberapa ciri sedia ada yang boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah. Mari kita senaraikan secara ringkas.
Modulus vektor ialah panjang segmen yang diarahkan. Mengetahui koordinat, mudah untuk mengiranya. Untuk vektor PQ¯ dalam contoh di atas, modulusnya ialah:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Modul vektor dihidupkansatah dikira dengan formula yang serupa, hanya tanpa penyertaan koordinat ketiga.
Jumlah dan beza vektor dijalankan mengikut peraturan segi tiga. Rajah di bawah menunjukkan cara menambah dan menolak objek ini.
Untuk mendapatkan vektor jumlah, tambahkan permulaan kedua pada penghujung vektor pertama. Vektor yang diingini akan bermula pada permulaan yang pertama dan berakhir pada penghujung vektor kedua.
Perbezaan dilakukan dengan mengambil kira fakta bahawa vektor yang ditolak digantikan dengan yang bertentangan, dan kemudian operasi tambah yang diterangkan di atas dilakukan.
Selain penambahan dan penolakan, adalah penting untuk dapat mendarab vektor dengan nombor. Jika nombor itu sama dengan k, maka vektor diperoleh yang modulusnya adalah k kali berbeza daripada yang asal, dan arahnya sama ada sama (k>0) atau bertentangan dengan yang asal (k<0).
Kendalian pendaraban vektor antara mereka juga ditakrifkan. Kami akan memilih perenggan berasingan untuknya dalam artikel.
Pendaraban skalar dan vektor
Andaikan terdapat dua vektor u¯(x1; y1; z1) dan v¯(x2; y2; z2). Vektor mengikut vektor boleh didarab dalam dua cara berbeza:
- Skalar. Dalam kes ini, hasilnya ialah nombor.
- Vektor. Hasilnya ialah beberapa vektor baharu.
Darab skalar bagi vektor u¯ dan v¯ dikira seperti berikut:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Di mana α ialah sudut antara vektor yang diberikan.
Ia boleh ditunjukkan bahawa mengetahui koordinat u¯ dan v¯, hasil darab titik mereka boleh dikira menggunakan formula berikut:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Produk skalar mudah digunakan apabila mengurai vektor kepada dua segmen berarah tegak. Ia juga digunakan untuk mengira keselarian atau keortogonan vektor, dan untuk mengira sudut di antara mereka.
Darab silang u¯ dan v¯ memberikan vektor baharu yang berserenjang dengan yang asal dan mempunyai modulus:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|dosa(α).
Arah ke bawah atau ke atas vektor baharu ditentukan oleh peraturan tangan kanan (empat jari tangan kanan diarahkan dari hujung vektor pertama hingga hujung kedua, dan ibu jari menjulur ke atas menunjukkan arah vektor baharu). Rajah di bawah menunjukkan hasil darab silang untuk a¯ dan b¯ arbitrari.
Darab silang digunakan untuk mengira luas rajah, serta menentukan koordinat vektor yang berserenjang dengan satah tertentu.
Vektor dan sifatnya mudah digunakan semasa mentakrifkan persamaan satah.
Persamaan biasa dan am bagi satah
Terdapat beberapa cara untuk menentukan satah. Salah satu daripadanya ialah terbitan persamaan am satah, yang mengikuti terus dari pengetahuan vektor yang berserenjang dengannya dan beberapa titik yang diketahui milik satah itu.
Anggap bahawa terdapat vektor n¯ (A; B; C) dan titik P (x0; y0; z 0). Apakah keadaan yang akan memenuhi semua titik Q(x; y; z) satah itu? Keadaan ini terdiri daripada keserenjangan mana-mana vektor PQ¯ kepada n¯ biasa. Untuk dua vektor serenjang, hasil darab titik menjadi sifar (cos(90o)=0), tulis ini:
(n¯PQ¯)=0 atau
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Membuka kurungan, kami mendapat:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 atau
Ax + By + Cz +D=0 dengan D=-Ax0-By0-Cz0.
Persamaan ini dipanggil am untuk satah. Kita lihat bahawa pekali di hadapan x, y, dan z ialah koordinat bagi vektor serenjang n¯. Ia dipanggil pemandu kapal terbang.
Persamaan parametrik vektor bagi satah
Cara kedua untuk menentukan satah ialah menggunakan dua vektor yang terletak di dalamnya.
Anggap bahawa terdapat vektor u¯(x1; y1; z1) dan v¯(x2; y2; z2). Seperti yang dikatakan, setiap daripada mereka di angkasa boleh diwakili oleh bilangan tak terhingga segmen terarah yang sama, oleh itu, satu lagi titik diperlukan untuk menentukan pesawat secara unik. Biarkan titik ini P(x0;y0; z0). Mana-mana titik Q(x; y; z) akan terletak pada satah yang dikehendaki jika vektor PQ¯ boleh diwakili sebagai gabungan u¯ dan v¯. Iaitu, kita ada:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Di mana α dan β ialah beberapa nombor nyata. Daripada kesamarataan ini mengikuti ungkapan:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Ia dipanggil persamaan vektor berparameter bagi satah berkenaan dengan 2 vektor u¯ dan v¯. Menggantikan parameter arbitrari α dan β, seseorang boleh mencari semua titik (x; y; z) kepunyaan satah ini.
Dari persamaan ini adalah mudah untuk mendapatkan ungkapan umum untuk pesawat. Untuk melakukan ini, cukup untuk mencari vektor arah n¯, yang akan berserenjang dengan kedua-dua vektor u¯ dan v¯, iaitu, produk vektor mereka harus digunakan.
Masalah menentukan persamaan am satah
Mari tunjukkan cara menggunakan formula di atas untuk menyelesaikan masalah geometri. Katakan vektor arah satah ialah n¯(5; -3; 1). Anda harus mencari persamaan satah itu, dengan mengetahui bahawa titik P(2; 0; 0) kepunyaannya.
Persamaan am ditulis sebagai:
Ax + By + Cz +D=0.
Memandangkan vektor yang berserenjang dengan satah diketahui, persamaan akan mengambil bentuk:
5x - 3y + z +D=0.
Ia kekal untuk mencari istilah bebas D. Kami mengiranya daripada pengetahuan koordinat P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Oleh itu, persamaan satah yang dikehendaki mempunyai bentuk:
5x - 3y + z -10=0.
Rajah di bawah menunjukkan rupa pesawat yang terhasil.
Koordinat titik yang ditunjukkan sepadan dengan persilangan satah dengan paksi x, y dan z.
Masalah menentukan satah melalui dua vektor dan satu titik
Sekarang andaikan satah sebelumnya ditakrifkan secara berbeza. Dua vektor u¯(-2; 0; 10) dan v¯(-2; -10/3; 0) diketahui, serta titik P(2; 0; 0). Bagaimana untuk menulis persamaan satah dalam bentuk parametrik vektor? Menggunakan formula sepadan yang dipertimbangkan, kami mendapat:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Perhatikan bahawa takrifan persamaan satah ini, vektor u¯ dan v¯ boleh diambil sama sekali, tetapi dengan satu syarat: ia tidak boleh selari. Jika tidak, satah tidak boleh ditentukan secara unik, walau bagaimanapun, seseorang boleh mencari persamaan untuk rasuk atau set satah.
