Persamaan satah. Sudut antara dua satah

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-01-02 17:53

Satah, bersama-sama dengan titik dan garis lurus, ialah unsur geometri asas. Dengan penggunaannya, banyak angka dalam geometri spatial dibina. Dalam artikel ini, kami akan mempertimbangkan dengan lebih terperinci persoalan tentang cara mencari sudut antara dua satah.

Konsep

Sebelum bercakap tentang sudut antara dua satah, anda harus memahami dengan baik unsur dalam geometri yang kita maksudkan. Mari kita fahami istilah. Pesawat ialah koleksi mata yang tidak berkesudahan di angkasa, yang menghubungkan kita mendapatkan vektor. Yang terakhir akan berserenjang dengan beberapa satu vektor. Ia biasanya dipanggil normal untuk pesawat.

Rajah di atas menunjukkan sebuah satah dan dua vektor normal kepadanya. Ia boleh dilihat bahawa kedua-dua vektor terletak pada garis lurus yang sama. Sudut di antara mereka ialah 180o.

Persamaan

Sudut antara dua satah boleh ditentukan jika persamaan matematik unsur geometri yang dipertimbangkan diketahui. Terdapat beberapa jenis persamaan tersebut,yang namanya disenaraikan di bawah:

• jenis umum;
• vektor;
• dalam segmen.

Tiga jenis ini adalah yang paling mudah untuk menyelesaikan pelbagai jenis masalah, jadi ia paling kerap digunakan.

Persamaan jenis umum kelihatan seperti ini:

Ax + By + Cz + D=0.

Di sini x, y, z ialah koordinat titik arbitrari milik satah yang diberikan. Parameter A, B, C dan D ialah nombor. Kemudahan tatatanda ini terletak pada fakta bahawa nombor A, B, C ialah koordinat vektor normal kepada satah.

Bentuk vektor satah boleh diwakili seperti berikut:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Di sini (a₂, b₂, c₂) dan (a ₁, b₁, c₁) - parameter dua vektor koordinat yang tergolong dalam satah yang dipertimbangkan. Titik (x₀, y₀, z_{0) juga terletak pada satah ini. Parameter α dan β boleh mengambil nilai bebas dan arbitrari.}

Akhir sekali, persamaan satah dalam segmen diwakili dalam bentuk matematik berikut:

x/p + y/q + z/l=1.

Di sini p, q, l ialah nombor tertentu (termasuk nombor negatif). Persamaan jenis ini berguna apabila perlu untuk menggambarkan satah dalam sistem koordinat segi empat tepat, kerana nombor p, q, l menunjukkan titik persilangan dengan paksi x, y dan z.kapal terbang.

Perhatikan bahawa setiap jenis persamaan boleh ditukar kepada persamaan lain menggunakan operasi matematik mudah.

Formula untuk sudut antara dua satah

Sekarang pertimbangkan nuansa berikut. Dalam ruang tiga dimensi, dua satah boleh terletak dalam dua cara sahaja. Sama ada bersilang atau selari. Di antara dua satah, sudut ialah apa yang terletak di antara vektor panduan mereka (normal). Bersilang, 2 vektor membentuk 2 sudut (akut dan tumpul dalam kes umum). Sudut antara satah dianggap akut. Pertimbangkan persamaan.

Rumus untuk sudut antara dua satah ialah:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Mudah untuk meneka bahawa ungkapan ini adalah akibat langsung daripada hasil darab skalar bagi vektor normal n₁¯ dan n₂ ¯ untuk pesawat yang dipertimbangkan. Modulus hasil darab titik dalam pengangka menunjukkan bahawa sudut θ hanya akan mengambil nilai daripada 0^o hingga 90^{o. Hasil darab moduli vektor normal dalam penyebut bermaksud hasil darab panjangnya.}

Perhatikan, jika (n₁¯n_{2¯)=0, maka satah bersilang pada sudut tepat.}

Contoh masalah

Setelah mengetahui apa yang dipanggil sudut antara dua satah, kami akan menyelesaikan masalah berikut. Sebagai contoh. Jadi, adalah perlu untuk mengira sudut antara satah tersebut:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

Untuk menyelesaikan masalah, anda perlu mengetahui vektor arah pesawat. Untuk satah pertama, vektor normal ialah: n₁¯=(2, -3, 0). Untuk mencari vektor normal satah kedua, seseorang harus mendarabkan vektor selepas parameter α dan β. Hasilnya ialah vektor: n_{2¯=(5, -3, 2).}

Untuk menentukan sudut θ, kami menggunakan formula daripada perenggan sebelumnya. Kami mendapat:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0.5455 rad.

Sudut yang dikira dalam radian sepadan dengan 31.26^o. Oleh itu, satah dari keadaan masalah bersilang pada sudut 31, 26^o.