Sudut antara satah. Bagaimana untuk menentukan sudut antara satah

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-01-02 17:53

Apabila menyelesaikan masalah geometri dalam ruang, selalunya terdapat masalah yang perlu untuk mengira sudut antara objek spatial yang berbeza. Dalam artikel ini, kami akan mempertimbangkan isu mencari sudut antara satah dan di antara mereka dan garis lurus.

Garisan dalam angkasa

Adalah diketahui bahawa mana-mana garis lurus dalam satah boleh ditakrifkan melalui kesamaan berikut:

y=ax + b

Di sini a dan b ialah beberapa nombor. Jika kita mewakili garis lurus di angkasa dengan ungkapan yang sama, maka kita mendapat satah selari dengan paksi z. Untuk takrifan matematik bagi garis ruang, kaedah penyelesaian yang berbeza digunakan berbanding dalam kes dua dimensi. Ia terdiri daripada menggunakan konsep "vektor arah".

Vektor arah garis lurus menunjukkan orientasinya dalam ruang. Parameter ini tergolong dalam baris. Memandangkan terdapat set vektor tak terhingga selari dalam angkasa, maka untuk menentukan secara unik objek geometri yang dipertimbangkan, adalah perlu juga untuk mengetahui koordinat titik kepunyaannya.

Anggap adatitik P(x₀; y₀; z_{0) dan vektor arah v¯(a; b; c), maka persamaan garis lurus boleh diberikan seperti berikut:}

(x; y; z)=P + αv¯ atau

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

Ungkapan ini dipanggil persamaan vektor parametrik bagi garis lurus. Koefisien α ialah parameter yang boleh mengambil sebarang nilai sebenar. Koordinat garis boleh diwakili secara eksplisit dengan mengembangkan kesamaan ini:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

Persamaan satah

Terdapat beberapa bentuk penulisan persamaan untuk satah di angkasa. Di sini kita akan mempertimbangkan salah satu daripadanya, yang paling kerap digunakan semasa mengira sudut antara dua satah atau antara satu daripadanya dan garis lurus.

Jika beberapa vektor n¯(A; B; C) diketahui, yang berserenjang dengan satah yang dikehendaki, dan titik P(x₀; y ₀; z_{0), yang kepunyaannya, maka persamaan umum untuk yang terakhir ialah:}

Ax + By + Cz + D=0 dengan D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Kami telah meninggalkan terbitan ungkapan ini, yang agak mudah. Di sini kita hanya ambil perhatian bahawa, mengetahui pekali pembolehubah dalam persamaan satah, seseorang boleh dengan mudah mencari semua vektor yang berserenjang dengannya. Yang terakhir dipanggil normal dan digunakan dalam mengira sudut antara condong dan satah dan antaraanalog sewenang-wenangnya.

Lokasi pesawat dan formula untuk sudut di antara mereka

Katakan ada dua kapal terbang. Apakah pilihan untuk kedudukan relatif mereka di angkasa. Memandangkan pesawat mempunyai dua dimensi tak terhingga dan satu sifar, hanya dua pilihan untuk orientasi bersama mereka boleh dilakukan:

mereka akan selari antara satu sama lain;
mereka mungkin bertindih.

Sudut antara satah ialah indeks antara vektor arahnya, iaitu antara normalnya n₁¯ dan n_2¯.

Jelas sekali, jika ia selari dengan satah, maka sudut persilangan adalah sifar di antara mereka. Jika mereka bersilang, maka ia adalah bukan sifar, tetapi sentiasa tajam. Kes persilangan khas ialah sudut 90o, apabila satah saling berserenjang antara satu sama lain.

Sudut α antara n₁¯ dan n_{2¯ mudah ditentukan daripada hasil darab skalar vektor ini. Iaitu, formula berlaku:}

α=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

Anggapkan bahawa koordinat vektor ini ialah: n₁¯(a₁; b₁; c₁), n₂¯(a₂; b_{2; c}2_{). Kemudian, menggunakan formula untuk mengira hasil skalar dan modul vektor melalui koordinatnya, ungkapan di atas boleh ditulis semula sebagai:}

α=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b ₂² + c₂²⁾⁾⁾

Modulus dalam pengangka muncul kerana untuk mengecualikan nilai sudut tumpul.

Contoh penyelesaian masalah untuk menentukan sudut persilangan satah

Mengetahui cara mencari sudut antara satah, kami akan menyelesaikan masalah berikut. Dua satah diberikan, persamaannya ialah:

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

Apakah sudut antara satah?

Untuk menjawab persoalan masalah, mari kita ingat bahawa pekali pembolehubah dalam persamaan am satah ialah koordinat bagi vektor panduan. Untuk satah yang dinyatakan, kami mempunyai koordinat normalnya berikut:

_{1¯(3; 4; -1);}
_{2¯(-1; -2; 5)}

Kini kami mendapati hasil darab skalar bagi vektor ini dan modulnya, kami ada:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;}

|n_{2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30}

Kini anda boleh menggantikan nombor yang ditemui ke dalam formula yang diberikan dalam perenggan sebelumnya. Kami mendapat:

α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

Nilai yang terhasil sepadan dengan sudut persilangan akut bagi satah yang dinyatakan dalam keadaantugasan.

Sekarang pertimbangkan contoh lain. Diberi dua pesawat:

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

Adakah ia bersilang? Mari kita tulis nilai koordinat vektor arahnya, hitung hasil dan modul skalarnya:

_{1¯(1; 1; 0);}
_{2¯(3; 3; 0);}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=√2;

|n_2¯|=√18

Maka sudut persilangan ialah:

α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

Sudut ini menunjukkan bahawa satah tidak bersilang, tetapi selari. Hakikat bahawa mereka tidak sepadan antara satu sama lain adalah mudah untuk diperiksa. Mari kita ambil untuk ini titik arbitrari milik yang pertama daripada mereka, sebagai contoh, P(0; 3; 2). Gantikan koordinatnya ke dalam persamaan kedua, kita dapat:

30 +33 + 8=17 ≠ 0

Iaitu, titik P hanya milik satah pertama.

Jadi dua satah selari apabila normalnya.

Satah dan garis lurus

Dalam kes mempertimbangkan kedudukan relatif antara satah dan garis lurus, terdapat beberapa pilihan lagi berbanding dengan dua satah. Fakta ini dikaitkan dengan fakta bahawa garis lurus adalah objek satu dimensi. Garisan dan satah boleh menjadi:

saling selari, dalam kes ini satah tidak bersilang dengan garisan;
yang terakhir mungkin milik pesawat, manakala ia juga selari dengannya;
kedua-dua objek bolehbersilang pada sudut tertentu.

Mari kita pertimbangkan kes terakhir dahulu, kerana ia memerlukan pengenalan konsep sudut persilangan.

Garis dan satah, sudut antara keduanya

Jika garis lurus bersilang dengan satah, maka ia dipanggil condong berkenaan dengannya. Titik persilangan dipanggil asas cerun. Untuk menentukan sudut antara objek geometri ini, adalah perlu untuk menurunkan lurus berserenjang dengan satah dari mana-mana titik. Kemudian titik persilangan serenjang dengan satah dan tempat persilangan garis condong dengannya membentuk garis lurus. Yang terakhir dipanggil unjuran garis asal ke satah yang sedang dipertimbangkan. Sudut akut antara garisan dan unjurannya ialah sudut yang diperlukan.

Takrifan sudut yang agak mengelirukan antara satah dan serong akan menjelaskan rajah di bawah.

Di sini sudut ABO ialah sudut antara garis AB dan satah a.

Untuk menulis formula untuknya, pertimbangkan satu contoh. Biarkan ada garis lurus dan satah, yang diterangkan oleh persamaan:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c);}

Ax + Bx + Cx + D=0

Mudah untuk mengira sudut yang diingini untuk objek ini jika anda menemui hasil darab skalar antara vektor arah garis dan satah. Sudut akut yang terhasil hendaklah ditolak daripada 90o, kemudian ia diperoleh antara garis lurus dan satah.

Rajah di atas menunjukkan algoritma yang diterangkan untuk mencaridianggap sudut. Di sini β ialah sudut antara normal dan garis, dan α adalah antara garis dan unjurannya ke atas satah. Dapat dilihat bahawa jumlah mereka ialah 90o.

Di atas, formula telah dibentangkan yang menjawab persoalan tentang cara mencari sudut antara satah. Sekarang kami memberikan ungkapan yang sepadan untuk kes garis lurus dan satah:

α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a ² + b² + c ²)√(A ² + B ² + C ²⁾⁾⁾

Modulus dalam formula membenarkan hanya sudut akut dikira. Fungsi arcsine muncul dan bukannya arccosine kerana penggunaan formula pengurangan yang sepadan antara fungsi trigonometri (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).

Masalah: Sebuah satah memotong garis lurus

Sekarang mari tunjukkan cara bekerja dengan formula di atas. Mari kita selesaikan masalah: adalah perlu untuk mengira sudut antara paksi-y dan satah yang diberikan oleh persamaan:

y - z + 12=0

Pesawat ini ditunjukkan dalam gambar.

Anda boleh melihat bahawa ia bersilang dengan paksi y dan z pada titik (0; -12; 0) dan (0; 0; 12), masing-masing, dan selari dengan paksi x.

Vektor arah bagi garis y mempunyai koordinat (0; 1; 0). Vektor berserenjang dengan satah tertentu dicirikan oleh koordinat (0; 1; -1). Kami menggunakan formula untuk sudut persilangan garis lurus dan satah, kami mendapat:

α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

Masalah: garis lurus selari dengan satah

Sekarang mari buat keputusansama dengan masalah sebelumnya, persoalan yang dikemukakan secara berbeza. Persamaan satah dan garis lurus diketahui:

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

Adalah perlu untuk mengetahui sama ada objek geometri ini selari antara satu sama lain.

Kita mempunyai dua vektor: arah garis lurus ialah (0; 2; 2) dan arah satah ialah (1; 1; -1). Cari produk titik mereka:

01 + 12 - 12=0

Sifar yang terhasil menunjukkan bahawa sudut antara vektor ini ialah 90o, yang membuktikan bahawa garis dan satah adalah selari.

Sekarang mari kita semak sama ada garisan ini hanya selari atau juga terletak pada satah. Untuk melakukan ini, pilih titik sewenang-wenangnya pada garisan dan semak sama ada ia milik satah. Sebagai contoh, mari kita ambil λ=0, maka titik P(1; 0; 0) tergolong dalam garis. Gantikan ke dalam persamaan satah P:

1 - 3=-2 ≠ 0

Titik P bukan milik satah, yang bermaksud bahawa keseluruhan garisan tidak terletak di dalamnya.

Di manakah pentingnya mengetahui sudut antara objek geometri yang dipertimbangkan?

Formula dan contoh penyelesaian masalah di atas bukan sahaja untuk kepentingan teori. Ia sering digunakan untuk menentukan kuantiti fizik penting bagi rajah tiga dimensi sebenar, seperti prisma atau piramid. Adalah penting untuk dapat menentukan sudut antara satah semasa mengira isipadu rajah dan luas permukaannya. Lebih-lebih lagi, jika dalam kes prisma lurus adalah mungkin untuk tidak menggunakan formula ini untuk menentukannilai yang ditentukan, maka untuk sebarang jenis piramid penggunaannya tidak dapat dielakkan.

Di bawah, pertimbangkan contoh penggunaan teori di atas untuk menentukan sudut piramid dengan tapak segi empat sama.

Piramid dan penjurunya

Rajah di bawah menunjukkan sebuah piramid, di pangkalnya terdapat sebuah segi empat sama dengan sisi a. Ketinggian rajah itu ialah h. Perlu mencari dua sudut:

antara permukaan sisi dan tapak;
antara rusuk sisi dan pangkal.

Untuk menyelesaikan masalah, anda mesti memasukkan sistem koordinat terlebih dahulu dan menentukan parameter bucu yang sepadan. Rajah menunjukkan bahawa asal koordinat bertepatan dengan titik di tengah tapak segi empat sama. Dalam kes ini, satah asas diterangkan dengan persamaan:

z=0

Iaitu, untuk mana-mana x dan y, nilai koordinat ketiga sentiasa sifar. Satah sisi ABC bersilang dengan paksi-z pada titik B(0; 0; h), dan paksi-y pada titik dengan koordinat (0; a/2; 0). Ia tidak melepasi paksi-x. Ini bermakna persamaan satah ABC boleh ditulis sebagai:

y / (a / 2) + z / h=1 atau

2hy + az - ah=0

Vektor AB¯ ialah tepi sisi. Koordinat permulaan dan penghujungnya ialah: A(a/2; a/2; 0) dan B(0; 0; h). Kemudian koordinat vektor itu sendiri:

AB¯(-a/2; -a/2; h)

Kami telah menemui semua persamaan dan vektor yang diperlukan. Kini tinggal menggunakan formula yang dipertimbangkan.

Mula-mula kita mengira dalam piramid sudut antara satah tapakdan sisi. Vektor normal yang sepadan ialah: n₁¯(0; 0; 1) dan n_{2¯(0; 2h; a). Kemudian sudutnya ialah:}