Dalam geometri, selepas satu titik, garis lurus mungkin elemen yang paling mudah. Ia digunakan dalam pembinaan mana-mana angka kompleks pada satah dan dalam ruang tiga dimensi. Dalam artikel ini, kita akan mempertimbangkan persamaan umum garis lurus dan menyelesaikan beberapa masalah menggunakannya. Mari mulakan!
Garis lurus dalam geometri
Semua orang tahu bahawa bentuk seperti segi empat tepat, segi tiga, prisma, kubus dan sebagainya dibentuk dengan memotong garis lurus. Garis lurus dalam geometri ialah objek satu dimensi yang boleh diperoleh dengan memindahkan titik tertentu kepada vektor yang mempunyai arah yang sama atau bertentangan. Untuk lebih memahami definisi ini, bayangkan bahawa terdapat beberapa titik P dalam ruang. Ambil vektor sewenang-wenangnya dalam ruang ini. Kemudian mana-mana titik Q garis boleh diperolehi hasil daripada operasi matematik berikut:
Q=P + λu¯.
Di sini λ ialah nombor arbitrari yang boleh menjadi positif atau negatif. Jika kesamarataantulis di atas dalam sebutan koordinat, kemudian kita mendapat persamaan garis lurus berikut:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Kesamaan ini dipanggil persamaan garis lurus dalam bentuk vektor. Dan vektor u disebut panduan.
Persamaan am bagi garis lurus dalam satah
Setiap pelajar boleh menuliskannya tanpa sebarang kesukaran. Tetapi selalunya persamaan ditulis seperti ini:
y=kx + b.
Di mana k dan b ialah nombor arbitrari. Nombor b dipanggil ahli bebas. Parameter k adalah sama dengan tangen sudut yang dibentuk oleh persilangan garis lurus dengan paksi-x.
Persamaan di atas dinyatakan berkenaan dengan pembolehubah y. Jika kita membentangkannya dalam bentuk yang lebih umum, maka kita mendapat notasi berikut:
Ax + By + C=0.
Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa bentuk penulisan persamaan am garis lurus pada satah ini mudah diubah menjadi bentuk sebelumnya. Untuk melakukan ini, bahagian kiri dan kanan hendaklah dibahagikan dengan faktor B dan dinyatakan y.
Rajah di atas menunjukkan garis lurus yang melalui dua titik.
Sebaris dalam ruang 3D
Jom sambung pengajian. Kami mempertimbangkan persoalan bagaimana persamaan garis lurus dalam bentuk umum diberikan pada satah. Jika kita menggunakan tatatanda yang diberikan dalam perenggan sebelumnya artikel untuk kes spatial, apakah yang kita akan dapat? Semuanya mudah - bukan lagi garis lurus, tetapi satah. Sesungguhnya, ungkapan berikut menerangkan satah yang selari dengan paksi z:
Ax + By + C=0.
Jika C=0, maka pesawat tersebut akan berlalumelalui paksi-z. Ini adalah ciri penting.
Bagaimana jadinya dengan persamaan am garis lurus di angkasa? Untuk memahami cara bertanya, anda perlu mengingati sesuatu. Dua satah bersilang di sepanjang garis lurus tertentu. Apakah maksud ini? Hanya persamaan am adalah hasil penyelesaian sistem dua persamaan untuk satah. Mari tulis sistem ini:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Sistem ini ialah persamaan umum bagi garis lurus dalam ruang. Ambil perhatian bahawa satah mestilah tidak selari antara satu sama lain, iaitu, vektor normalnya mestilah condong pada beberapa sudut berbanding satu sama lain. Jika tidak, sistem tidak akan mempunyai penyelesaian.
Di atas kami memberikan bentuk vektor bagi persamaan untuk garis lurus. Ia mudah digunakan semasa menyelesaikan sistem ini. Untuk melakukan ini, anda perlu mencari produk vektor normal pesawat ini. Hasil daripada operasi ini akan menjadi vektor arah garis lurus. Kemudian, sebarang titik kepunyaan garis harus dikira. Untuk melakukan ini, anda perlu menetapkan mana-mana pembolehubah sama dengan nilai tertentu, dua pembolehubah yang tinggal boleh ditemui dengan menyelesaikan sistem yang dikurangkan.
Bagaimana untuk menterjemah persamaan vektor kepada persamaan umum? Nuansa
Ini adalah masalah sebenar yang boleh timbul jika anda perlu menulis persamaan am garis lurus menggunakan koordinat dua titik yang diketahui. Mari kita tunjukkan bagaimana masalah ini diselesaikan dengan contoh. Biarkan koordinat dua titik diketahui:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Persamaan dalam bentuk vektor agak mudah untuk dikarang. Koordinat vektor arah ialah:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Perhatikan bahawa tiada perbezaan jika kita menolak koordinat Q daripada koordinat titik P, vektor hanya akan menukar arahnya ke arah yang bertentangan. Sekarang anda perlu mengambil sebarang titik dan tuliskan persamaan vektor:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Untuk menulis persamaan umum garis lurus, parameter λ hendaklah dinyatakan dalam kedua-dua kes. Dan kemudian bandingkan hasilnya. Kami ada:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Ia kekal hanya untuk membuka kurungan dan memindahkan semua sebutan persamaan ke satu sisi persamaan untuk mendapatkan ungkapan umum bagi garis lurus yang melalui dua titik yang diketahui.
Dalam kes masalah tiga dimensi, algoritma penyelesaian dikekalkan, hanya hasilnya akan menjadi sistem dua persamaan untuk satah.
Tugas
Perlu membuat persamaan amgaris lurus yang memotong paksi-x pada (-3, 0) dan selari dengan paksi-y.
Mari kita mula menyelesaikan masalah dengan menulis persamaan dalam bentuk vektor. Memandangkan garis itu selari dengan paksi-y, maka vektor arah untuknya ialah seperti berikut:
u¯=(0, 1).
Kemudian baris yang dikehendaki akan ditulis seperti berikut:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Sekarang mari menterjemah ungkapan ini ke dalam bentuk umum, untuk ini kita menyatakan parameter λ:
- x=-3;
- y=λ.
Oleh itu, sebarang nilai pembolehubah y tergolong dalam baris, namun, hanya nilai tunggal pembolehubah x sepadan dengannya. Oleh itu, persamaan am akan mengambil bentuk:
x + 3=0.
Masalah dengan garis lurus di angkasa
Diketahui bahawa dua satah bersilang diberikan oleh persamaan berikut:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Adalah perlu untuk mencari persamaan vektor bagi garis lurus sepanjang satah ini bersilang. Mari mulakan.
Seperti yang dikatakan, persamaan am garis lurus dalam ruang tiga dimensi sudah pun diberikan dalam bentuk sistem dua dengan tiga tidak diketahui. Pertama sekali, kami menentukan vektor arah di mana satah bersilang. Mendarabkan koordinat vektor bagi normal kepada satah, kita dapat:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Memandangkan mendarabkan vektor dengan nombor negatif membalikkan arahnya, kita boleh menulis:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Kepadauntuk mencari ungkapan vektor untuk garis lurus, sebagai tambahan kepada vektor arah, seseorang harus mengetahui beberapa titik garis lurus ini. Cari kerana koordinatnya mesti memenuhi sistem persamaan dalam keadaan masalah, maka kita akan mencarinya. Sebagai contoh, mari letakkan x=0, maka kita dapat:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Oleh itu, titik kepunyaan garis lurus yang diingini mempunyai koordinat:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Kemudian kita mendapat jawapan kepada masalah ini, persamaan vektor garis yang dikehendaki akan kelihatan seperti:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Ketepatan penyelesaian boleh disemak dengan mudah. Untuk melakukan ini, anda perlu memilih nilai arbitrari parameter λ dan menggantikan koordinat yang diperolehi bagi titik garis lurus ke dalam kedua-dua persamaan untuk satah, anda akan mendapat identiti dalam kedua-dua kes.
