Segitiga ialah poligon dengan tiga sisi (tiga penjuru). Selalunya, sisi dilambangkan dengan huruf kecil, sepadan dengan huruf besar yang menunjukkan bucu bertentangan. Dalam artikel ini, kita akan berkenalan dengan jenis bentuk geometri ini, teorem yang menentukan jumlah sudut segitiga.
Pandangan mengikut sudut
Jenis poligon berikut dengan tiga bucu dibezakan:
- bersudut akut, di mana semua sudut tajam;
- segi empat tepat, mempunyai satu sudut tegak, manakala sisi yang membentuknya dipanggil kaki, dan sisi yang diletakkan bertentangan dengan sudut tepat dipanggil hipotenus;
- tumpul apabila satu sudut tumpul;
- isosceles, di mana dua sisi adalah sama, dan ia dipanggil sisi, dan yang ketiga ialah tapak segi tiga;
- sama sisi, mempunyai ketiga-tiga sisi yang sama.
Properties
Mereka menyerlahkan sifat utama yang menjadi ciri bagi setiap jenis segi tiga:
- bertentangan dengan sisi yang lebih besar sentiasa terdapat sudut yang lebih besar, begitu juga sebaliknya;
- sisi bertentangan dengan saiz yang sama ialah sudut yang sama, dan begitu juga sebaliknya;
- sebarang segitiga mempunyai dua sudut lancip;
- sudut luar lebih besar daripada sudut dalam yang tidak bersebelahan dengannya;
- jumlah mana-mana dua sudut sentiasa kurang daripada 180 darjah;
- sudut luar sama dengan jumlah dua sudut lain yang tidak bersilang dengannya.
Teorem jumlah segi tiga sudut
Teorem menyatakan bahawa jika anda menjumlahkan semua sudut rajah geometri tertentu, yang terletak pada satah Euclidean, maka jumlahnya ialah 180 darjah. Mari cuba buktikan teorem ini.
Mari kita buat segitiga arbitrari dengan bucu KMN.
Melalui bucu M lukis garis lurus selari dengan garis lurus KN (garis ini juga dipanggil garis lurus Euclidean). Kami menandai titik A di atasnya sedemikian rupa sehingga titik K dan A terletak pada sisi berlainan garis lurus MN. Kami mendapat sudut AMN dan KNM yang sama, yang, seperti sudut dalaman, terletak bersilang dan dibentuk oleh MN sekan bersama dengan garis lurus KN dan MA, yang selari. Daripada ini ia berikutan bahawa jumlah sudut segi tiga yang terletak pada bucu M dan H adalah sama dengan saiz sudut KMA. Ketiga-tiga sudut membentuk hasil tambah, yang sama dengan hasil tambah sudut KMA dan MKN. Oleh kerana sudut-sudut ini adalah bahagian dalam satu sisi berkenaan dengangaris lurus selari KN dan MA dengan KM sekan, hasil tambahnya ialah 180 darjah. Teorem terbukti.
Akibat
Konsekuensi berikut adalah daripada teorem yang dibuktikan di atas: mana-mana segitiga mempunyai dua sudut lancip. Untuk membuktikan ini, mari kita andaikan bahawa rajah geometri yang diberikan hanya mempunyai satu sudut lancip. Ia juga boleh diandaikan bahawa tiada satu pun sudut adalah akut. Dalam kes ini, mesti ada sekurang-kurangnya dua sudut yang sama atau lebih besar daripada 90 darjah. Tetapi jumlah sudut akan lebih besar daripada 180 darjah. Tetapi ini tidak boleh, kerana mengikut teorem, jumlah sudut segitiga ialah 180 ° - tidak lebih dan tidak kurang. Inilah yang perlu dibuktikan.
Harta sudut luar
Berapakah jumlah sudut bagi segi tiga yang bersifat luaran? Soalan ini boleh dijawab dalam satu daripada dua cara. Yang pertama ialah perlu mencari jumlah sudut, yang diambil satu pada setiap bucu, iaitu tiga sudut. Yang kedua membayangkan bahawa anda perlu mencari jumlah kesemua enam sudut pada bucu. Pertama, mari kita berurusan dengan pilihan pertama. Jadi, segi tiga mengandungi enam sudut luar - dua pada setiap bucu.
Setiap pasangan mempunyai sudut yang sama kerana ia menegak:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Selain itu, diketahui bahawa sudut luar segitiga adalah sama dengan hasil tambah dua sudut dalam yang tidak bersilang dengannya. Oleh itu, ∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Daripada ini ternyata jumlah luaransudut, yang diambil satu pada setiap bucu, akan sama dengan:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Diberikan jumlah sudut ialah 180 darjah, boleh dikatakan bahawa ∟A + ∟B + ∟C=180°. Dan ini bermakna ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°. Jika pilihan kedua digunakan, maka jumlah enam sudut akan, masing-masing, dua kali lebih besar. Iaitu, jumlah sudut luar segitiga ialah:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Segitiga kanan
Apakah jumlah sudut lancip bagi segi tiga tegak? Jawapan kepada soalan ini, sekali lagi, mengikuti teorem, yang menyatakan bahawa sudut dalam segitiga menambah sehingga 180 darjah. Dan pernyataan (harta) kami berbunyi seperti ini: dalam segi tiga tepat, sudut akut menambah sehingga 90 darjah. Mari kita buktikan kebenarannya.
Mari kita diberi segitiga KMN, di mana ∟Н=90°. Adalah perlu untuk membuktikan bahawa ∟K + ∟M=90°.
Jadi, mengikut teorem jumlah sudut ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Keadaan kami mengatakan bahawa ∟Н=90°. Jadi ternyata, ∟K + ∟M + 90°=180°. Iaitu, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Itulah yang perlu kami buktikan.
Selain sifat segitiga tegak di atas, anda boleh menambah yang berikut:
- sudut yang terletak pada kaki adalah tajam;
- hipotenus adalah segi tiga lebih daripada mana-mana kaki;
- jumlah kaki lebih besar daripada hipotenus;
- kakisegitiga yang terletak bertentangan dengan sudut 30 darjah ialah separuh hipotenus, iaitu, sama dengan separuh daripadanya.
Sebagai sifat lain bagi rajah geometri ini, teorem Pythagoras boleh dibezakan. Dia menyatakan bahawa dalam segi tiga dengan sudut 90 darjah (segi empat tepat), jumlah segiempat sama kaki adalah sama dengan segi empat sama hipotenus.
Jumlah sudut bagi segi tiga sama kaki
Terdahulu kami mengatakan bahawa isosceles ialah poligon dengan tiga bucu, mengandungi dua sisi yang sama. Sifat rajah geometri tertentu ini diketahui: sudut pada tapaknya adalah sama. Mari buktikan.
Ambil segitiga KMN, iaitu isosceles, KN adalah tapaknya.
Kami dikehendaki membuktikan bahawa ∟К=∟Н. Jadi, katakan MA ialah pembahagi dua bagi segitiga KMN kita. Segitiga MCA, dengan mengambil kira tanda pertama kesamarataan, adalah sama dengan segitiga MCA. Iaitu, dengan syarat diberi bahawa KM=NM, MA ialah sisi sepunya, ∟1=∟2, kerana MA ialah pembahagi dua. Dengan menggunakan fakta bahawa kedua-dua segi tiga ini adalah sama, kita boleh menyatakan bahawa ∟K=∟Н. Jadi teorem dibuktikan.
Tetapi kami berminat dengan apakah jumlah sudut bagi segi tiga (sama kaki). Oleh kerana dalam hal ini ia tidak mempunyai keanehannya sendiri, kita akan bermula dari teorem yang dipertimbangkan sebelum ini. Iaitu, kita boleh mengatakan bahawa ∟K + ∟M + ∟H=180°, atau 2 x ∟K + ∟M=180° (sejak ∟K=∟H). Kami tidak akan membuktikan sifat ini, kerana teorem jumlah segi tiga itu sendiri telah dibuktikan lebih awal.
Kecuali seperti yang dibincangkansifat tentang sudut segitiga, terdapat juga pernyataan penting seperti:
- dalam segi tiga sama kaki, ketinggian yang diturunkan ke tapak ialah kedua-dua median, pembahagi dua sudut yang berada di antara sisi yang sama, serta paksi simetri tapaknya;
- median (pembahagi dua, ketinggian) yang dilukis ke sisi rajah geometri sedemikian adalah sama.
Segi tiga sama sisi
Ia juga dipanggil betul, ia ialah segi tiga dengan semua sisi sama. Oleh itu, sudut juga sama. Setiap satu adalah 60 darjah. Mari buktikan harta ini.
Anggap bahawa kita mempunyai segitiga KMN. Kita tahu bahawa KM=NM=KN. Dan ini bermakna mengikut sifat sudut yang terletak di tapak dalam segi tiga sama kaki, ∟К=∟М=∟Н. Oleh kerana, mengikut teorem, jumlah sudut segitiga ialah ∟К + ∟М + ∟Н=180°, maka 3 x ∟К=180° atau ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Н=60°. Oleh itu, pernyataan itu terbukti.
Seperti yang anda boleh lihat daripada bukti di atas berdasarkan teorem, jumlah sudut bagi segi tiga sama sisi, seperti hasil tambah sudut mana-mana segitiga lain, ialah 180 darjah. Tidak perlu membuktikan teorem ini lagi.
Terdapat juga ciri seperti segi tiga sama sisi:
- median, pembahagi dua, ketinggian dalam rajah geometri sedemikian adalah sama, dan panjangnya dikira sebagai (a x √3): 2;
- jika anda menerangkan bulatan di sekeliling poligon tertentu, maka jejarinya ialahsama dengan (a x √3): 3;
- jika anda menulis bulatan ke dalam segi tiga sama sisi, maka jejarinya ialah (a x √3): 6;
- luas angka geometri ini dikira dengan formula: (a2 x √3): 4.
Segitiga bersudut obt
Mengikut takrifan segi tiga tumpul, salah satu sudutnya adalah antara 90 dan 180 darjah. Tetapi memandangkan dua sudut lain bagi rajah geometri ini adalah akut, kita boleh membuat kesimpulan bahawa ia tidak melebihi 90 darjah. Oleh itu, jumlah segi tiga teorem sudut berfungsi apabila mengira jumlah sudut dalam segi tiga tumpul. Ternyata kita boleh mengatakan dengan selamat, berdasarkan teorem yang disebutkan di atas, bahawa jumlah sudut segitiga tumpul ialah 180 darjah. Sekali lagi, teorem ini tidak perlu dibuktikan semula.
