Garis dan satah ialah dua elemen geometri terpenting yang boleh digunakan untuk membina bentuk yang berbeza dalam ruang 2D dan 3D. Pertimbangkan cara mencari jarak antara garis selari dan satah selari.
Tugas matematik garis lurus
Daripada kursus geometri sekolah diketahui bahawa dalam sistem koordinat segi empat tepat dua dimensi garis boleh ditentukan dalam bentuk berikut:
y=kx + b.
Di mana k dan b ialah nombor (parameter). Bentuk tulisan yang mewakili garis dalam satah ialah satah yang selari dengan paksi z dalam ruang tiga dimensi. Memandangkan perkara ini, dalam artikel ini, untuk tugasan matematik garis lurus, kami akan menggunakan bentuk yang lebih mudah dan universal - satu vektor.
Anggap bahawa garis kita selari dengan beberapa vektor u¯(a, b, c) dan melalui titik P(x0, y0, z0). Dalam kes ini, dalam bentuk vektor, persamaannya akan diwakili seperti berikut:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Di sini λ ialah sebarang nombor. Jika kita secara eksplisit mewakili koordinat dengan mengembangkan ungkapan bertulis, maka kita akan mendapat bentuk parametrik untuk menulis garis lurus.
Adalah mudah untuk bekerja dengan persamaan vektor apabila menyelesaikan pelbagai masalah yang mana anda perlu menentukan jarak antara garis selari.
Garisan dan jarak antaranya
Adalah wajar untuk bercakap tentang jarak antara garisan hanya apabila ia selari (dalam kes tiga dimensi, terdapat juga jarak bukan sifar antara garis condong). Jika garis bersilang, maka jelaslah bahawa ia berada pada jarak sifar antara satu sama lain.
Jarak antara garis selari ialah panjang serenjang yang menghubungkannya. Untuk menentukan penunjuk ini, cukup untuk memilih titik sewenang-wenang pada salah satu garis dan menjatuhkan serenjang darinya ke garis lain.
Mari kita terangkan secara ringkas prosedur mencari jarak yang diingini. Katakan kita mengetahui persamaan vektor dua garis, yang dibentangkan dalam bentuk umum berikut:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Bina segi empat selari pada garisan ini supaya satu daripada sisi ialah PQ, dan satu lagi, sebagai contoh, u. Jelas sekali, ketinggian rajah ini, yang dilukis dari titik P, ialah panjang serenjang yang diperlukan. Untuk mencarinya, anda boleh menggunakan perkara mudah berikutformula:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Oleh kerana jarak antara garis lurus ialah panjang segmen serenjang di antara mereka, maka mengikut ungkapan bertulis, sudah cukup untuk mencari modulus hasil vektor PQ¯ dan u¯ dan membahagikan hasilnya dengan panjang vektor u¯.
Contoh tugas untuk menentukan jarak antara garis lurus
Dua garis lurus diberikan oleh persamaan vektor berikut:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Dari ungkapan bertulis jelas bahawa kita mempunyai dua garis selari. Sesungguhnya, jika kita mendarab dengan -1 koordinat vektor arah baris pertama, kita mendapat koordinat vektor arah baris kedua, yang menunjukkan keselariannya.
Jarak antara garis lurus akan dikira menggunakan formula yang ditulis dalam perenggan sebelumnya artikel. Kami ada:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Kemudian kita dapat:
|u¯|=√14sm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2.535 sm.
Perhatikan bahawa bukannya titik P dan Q, mana-mana titik yang tergolong dalam garisan ini boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah. Dalam kes ini, kita akan mendapat jarak yang sama d.
Menetapkan satah dalam geometri
Persoalan jarak antara garisan telah dibincangkan di atas secara terperinci. Sekarang mari tunjukkan cara untuk mencari jarak antara satah selari.
Semua orang mewakili apa itu kapal terbang. Mengikut definisi matematik, unsur geometri yang ditentukan ialah himpunan mata. Selain itu, jika anda mengarang semua vektor yang mungkin menggunakan titik ini, maka kesemuanya akan berserenjang dengan satu vektor tunggal. Yang terakhir biasanya dipanggil normal untuk pesawat.
Untuk menentukan persamaan satah dalam ruang tiga dimensi, bentuk umum persamaan paling kerap digunakan. Ia kelihatan seperti ini:
Ax + By + Cz + D=0.
Di mana huruf Latin besar adalah beberapa nombor. Adalah mudah untuk menggunakan persamaan satah jenis ini kerana koordinat vektor normal diberikan secara eksplisit di dalamnya. Mereka ialah A, B, C.
Adalah mudah untuk melihat bahawa dua satah selari hanya apabila normalnya selari.
Bagaimana untuk mencari jarak antara dua satah selari ?
Untuk menentukan jarak yang ditentukan, anda harus memahami dengan jelas perkara yang dipertaruhkan. Jarak antara satah yang selari antara satu sama lain difahami sebagai panjang segmen yang berserenjang dengannya. Hujung segmen ini adalah milik pesawat.
Algoritma untuk menyelesaikan masalah sedemikian adalah mudah. Untuk melakukan ini, anda perlu mencari koordinat mana-mana titik yang dimiliki oleh salah satu daripada dua satah. Kemudian, anda harus menggunakan formula ini:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Memandangkan jarak ialah nilai positif, tanda modulus berada dalam pengangka. Formula bertulis adalah universal, kerana ia membolehkan anda mengira jarak dari satah ke mana-mana unsur geometri secara mutlak. Ia cukup untuk mengetahui koordinat satu titik unsur ini.
Demi kesempurnaan, kami perhatikan bahawa jika normal dua satah tidak selari antara satu sama lain, maka satah tersebut akan bersilang. Jarak antara mereka kemudiannya ialah sifar.
Masalah menentukan jarak antara pesawat
Adalah diketahui bahawa dua satah diberikan oleh ungkapan berikut:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Adalah perlu untuk membuktikan bahawa satah adalah selari, dan juga untuk menentukan jarak antara mereka.
Untuk menjawab bahagian pertama masalah, anda perlu membawa persamaan pertama kepada bentuk umum. Perhatikan bahawa ia diberikan dalam bentuk yang dipanggil persamaan dalam segmen. Darab bahagian kiri dan kanannya dengan 15 dan gerakkan semua sebutan ke satu sisi persamaan, kita dapat:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Mari kita tulis koordinat dua vektor biasa satah:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Ia boleh dilihat bahawa jika n2¯ didarab dengan 5, maka kita akan mendapat koordinat n1¯. Oleh itu, pesawat yang dipertimbangkan adalahselari.
Untuk mengira jarak antara satah selari, pilih titik arbitrari bagi yang pertama dan gunakan formula di atas. Sebagai contoh, mari kita ambil titik (0, 0, 1) yang tergolong dalam satah pertama. Kemudian kita dapat:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0.31 sm.
Jarak yang diingini ialah 31 mm.
Jarak antara satah dan garis
Pengetahuan teori yang diberikan juga membolehkan kita menyelesaikan masalah menentukan jarak antara garis lurus dan satah. Telah disebutkan di atas bahawa formula yang sah untuk pengiraan antara satah adalah universal. Ia juga boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah. Untuk melakukan ini, cuma pilih mana-mana titik yang tergolong dalam baris yang diberikan.
Masalah utama dalam menentukan jarak antara unsur geometri yang dipertimbangkan ialah bukti keselariannya (jika tidak, maka d=0). Keselarian mudah dibuktikan jika anda mengira hasil kali skalar bagi normal dan vektor arah untuk garisan. Jika elemen yang dipertimbangkan adalah selari, maka produk ini akan sama dengan sifar.
