Formula untuk menentukan jarak dari titik ke satah dan dari titik ke garis

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-01-02 17:53

Mengetahui jarak dari titik ke satah atau ke garis lurus membolehkan anda mengira isipadu dan luas permukaan angka dalam angkasa. Pengiraan jarak ini dalam geometri dijalankan menggunakan persamaan yang sepadan untuk objek geometri yang ditentukan. Dalam artikel kami akan menunjukkan formula yang boleh digunakan untuk menentukannya.

Persamaan garis dan satah

Sebelum memberikan formula untuk menentukan jarak dari titik ke satah dan ke garis, mari tunjukkan persamaan yang menerangkan objek ini.

Untuk menentukan titik, satu set koordinat dalam sistem paksi koordinat yang diberikan digunakan. Di sini kita akan mempertimbangkan hanya sistem segi empat tepat Cartesian di mana paksi mempunyai vektor unit yang sama dan saling berserenjang. Pada satah, titik arbitrari diterangkan oleh dua koordinat, di angkasa - dengan tiga.

Jenis persamaan yang berbeza digunakan untuk menentukan garis lurus. Sesuai dengan topik artikel, kami membentangkanhanya dua daripadanya, yang digunakan dalam ruang dua dimensi untuk menentukan garis.

Persamaan vektor. Ia mempunyai notasi berikut:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b).}

Sebutan pertama di sini mewakili koordinat titik yang diketahui terletak pada garisan. Sebutan kedua ialah koordinat vektor arah didarab dengan nombor arbitrari λ.

Persamaan am. Notasinya adalah seperti berikut:

Ax + By + C=0;

di mana A, B, C ialah beberapa pekali.

Persamaan umum lebih kerap digunakan untuk menentukan garis pada satah, namun, untuk mencari jarak dari titik ke garis pada satah, lebih mudah untuk bekerja dengan ungkapan vektor.

Satah dalam ruang tiga dimensi juga boleh ditulis dalam beberapa cara matematik. Namun begitu, selalunya dalam masalah terdapat persamaan umum, yang ditulis seperti berikut:

Ax + By + Cz + D=0.

Kelebihan tatatanda ini berhubung dengan yang lain ialah ia mengandungi secara eksplisit koordinat vektor yang berserenjang dengan satah. Vektor ini dipanggil panduan untuknya, ia bertepatan dengan arah normal, dan koordinatnya adalah sama dengan (A; B; C).

Perhatikan bahawa ungkapan di atas bertepatan dengan bentuk penulisan persamaan am untuk garis lurus dalam ruang dua dimensi, jadi apabila menyelesaikan masalah, anda harus berhati-hati untuk tidak mengelirukan objek geometri ini.

Jarak antara titik dan garis

Mari tunjukkan cara mengira jarak antara garis lurus dantitik dalam ruang dua dimensi.

Biar ada titik Q(x₁; y_{1) dan garisan diberikan oleh:}

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b).}

Jarak antara garis dan titik difahami sebagai panjang segmen berserenjang dengan garis ini, diturunkan ke atasnya dari titik Q.

Sebelum mengira jarak ini, anda harus menggantikan koordinat Q ke dalam persamaan ini. Jika mereka memenuhinya, maka Q tergolong dalam garis yang diberikan, dan jarak yang sepadan adalah sama dengan sifar. Jika koordinat titik tidak membawa kepada kesamaan, maka jarak antara objek geometri adalah bukan sifar. Ia boleh dikira menggunakan formula:

d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.

Di sini P ialah titik arbitrari bagi garis lurus, yang merupakan permulaan vektor PQ¯. Vektor u ialah segmen panduan untuk garis lurus, iaitu, koordinatnya ialah (a; b).

Menggunakan formula ini memerlukan keupayaan untuk mengira hasil silang dalam pengangka.

Masalah dengan titik dan garis

Katakan anda perlu mencari jarak antara Q(-3; 1) dan garis lurus yang memenuhi persamaan:

y=5x -2.

Menggantikan koordinat Q ke dalam ungkapan, kita boleh memastikan bahawa Q tidak terletak pada baris. Anda boleh menggunakan formula untuk d yang diberikan dalam perenggan di atas jika anda mewakili persamaan ini dalam bentuk vektor. Mari buat seperti ini:

(x; y)=(x; 5x -2)=>

(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>

(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>

(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).

Sekarang mari kita ambil sebarang titik pada baris ini, contohnya (0; -2), dan bina vektor bermula padanya dan berakhir pada Q:

(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).

Sekarang gunakan formula untuk menentukan jarak, kita dapat:

d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.

Jarak dari titik ke satah

Seperti dalam kes garis lurus, jarak antara satah dan titik dalam ruang difahami sebagai panjang segmen, yang dari titik tertentu diturunkan secara tegak lurus ke satah dan memotongnya.

Dalam ruang, satu titik diberikan oleh tiga koordinat. Jika ia sama dengan (x₁; y₁; z_{1), maka jarak antara satah dan titik itu boleh dikira menggunakan formula:}

d=|Ax₁ + By₁ + Cz₁+ D|/√(A²+B²+C^2).

Perhatikan bahawa menggunakan formula membolehkan anda mencari hanya jarak dari satah ke garisan. Untuk mencari koordinat titik di mana segmen serenjang bersilang dengan satah, adalah perlu untuk menulis persamaan untuk garis kepunyaan segmen ini, dan kemudian cari titik sepunya untuk garis ini dan satah tertentu.

Masalah dengan satah dan titik

Cari jarak dari titik ke satah jika diketahui bahawa titik itu mempunyai koordinat (3; -1; 2) dan satah diberikan oleh:

-y + 3z=0.

Untuk menggunakan formula yang sepadan, kami mula-mula menulis pekali untukkapal terbang yang diberi. Oleh kerana pembolehubah x dan sebutan bebas tiada, pekali A dan D adalah sama dengan sifar. Kami ada:

A=0; B=-1; C=3; D=0.

Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa satah ini melalui asalan dan paksi-x kepunyaannya.

Gantikan koordinat titik dan pekali satah ke dalam formula untuk jarak d, kita dapat:

d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.

Perhatikan bahawa jika anda menukar koordinat-x sesuatu titik, maka jarak d tidak akan berubah. Fakta ini bermakna set titik (x; -1; 2) membentuk garis lurus selari dengan satah yang diberi.