Salah satu masalah biasa dalam stereometri ialah tugas melintasi garis lurus dan satah serta mengira sudut di antaranya. Mari kita pertimbangkan dalam artikel ini dengan lebih terperinci apa yang dipanggil kaedah koordinat dan sudut antara garis dan satah.
Garis dan satah dalam geometri
Sebelum mempertimbangkan kaedah koordinat dan sudut antara garis dan satah, anda harus membiasakan diri dengan objek geometri yang dinamakan.
Garis ialah himpunan titik dalam angkasa atau pada satah, setiap satunya boleh diperoleh dengan memindahkan yang sebelumnya secara linear ke vektor tertentu. Dalam perkara berikut, kami menandakan vektor ini dengan simbol u¯. Jika vektor ini didarab dengan sebarang nombor yang tidak sama dengan sifar, maka kita mendapat vektor selari dengan u. Garis ialah objek tak terhingga linear.
Satah juga ialah himpunan titik yang terletak sedemikian rupa sehingga jika anda membentuk vektor sewenang-wenang daripadanya, maka kesemuanya akan berserenjang dengan beberapa vektor n¯. Yang terakhir dipanggil normal atau biasa sahaja. Satah, tidak seperti garis lurus, ialah objek tak terhingga dua dimensi.
Kaedah koordinat untuk menyelesaikan masalah geometri
Berdasarkan nama kaedah itu sendiri, kita boleh membuat kesimpulan bahawa kita bercakap tentang kaedah untuk menyelesaikan masalah, yang berdasarkan prestasi pengiraan urutan analitikal. Dalam erti kata lain, kaedah koordinat membolehkan anda menyelesaikan masalah geometri menggunakan alat algebra universal, yang utamanya ialah persamaan.
Perlu diingatkan bahawa kaedah yang dipertimbangkan muncul pada permulaan geometri dan algebra moden. Sumbangan besar kepada pembangunannya telah dibuat oleh Rene Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton dan Leibniz pada abad ke-17-18.
Intipati kaedah ialah mengira jarak, sudut, luas dan isipadu unsur geometri berdasarkan koordinat titik yang diketahui. Perhatikan bahawa bentuk persamaan akhir yang diperoleh bergantung pada sistem koordinat. Selalunya, sistem Cartesian segi empat tepat digunakan dalam masalah, kerana ia paling mudah digunakan.
Persamaan Garis
Pertimbangan kaedah koordinat dan sudut antara garis dan satah, mari mulakan dengan menetapkan persamaan garis. Terdapat beberapa cara untuk mewakili garis dalam bentuk algebra. Di sini kami hanya mempertimbangkan persamaan vektor, kerana ia boleh didapati dengan mudah daripadanya dalam sebarang bentuk lain dan mudah digunakan.
Andaikan terdapat dua titik: P dan Q. Adalah diketahui bahawa garis boleh dilukis melaluinya, dan iaakan menjadi satu-satunya. Perwakilan matematik yang sepadan bagi elemen kelihatan seperti ini:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Di mana PQ¯ ialah vektor yang koordinatnya diperoleh seperti berikut:
PQ¯=Q - P.
Simbol λ menandakan parameter yang boleh mengambil sebarang nombor sama sekali.
Dalam ungkapan bertulis, anda boleh menukar arah vektor, dan juga menggantikan koordinat Q dan bukannya titik P. Semua transformasi ini tidak akan membawa kepada perubahan dalam lokasi geometri garisan.
Perhatikan bahawa apabila menyelesaikan masalah, kadangkala diperlukan untuk mewakili persamaan vektor bertulis dalam bentuk eksplisit (parametrik).
Menetapkan satah di angkasa
Selain untuk garis lurus, terdapat juga beberapa bentuk persamaan matematik untuk satah. Antaranya, kita perhatikan vektor, persamaan dalam segmen dan bentuk umum. Dalam artikel ini, kami akan memberi perhatian khusus kepada borang terakhir.
Persamaan am untuk satah sembarangan boleh ditulis seperti berikut:
Ax + By + Cz + D=0.
Huruf besar Latin ialah nombor tertentu yang mentakrifkan satah.
Kemudahan tatatanda ini ialah ia mengandungi vektor normal pada satah secara eksplisit. Ia sama dengan:
n¯=(A, B, C).
Mengetahui vektor ini memungkinkan, dengan melihat secara ringkas pada persamaan satah, untuk membayangkan lokasi yang terakhir dalam sistem koordinat.
Susunan bersama dalamruang garisan dan satah
Dalam perenggan seterusnya artikel kita akan beralih kepada pertimbangan kaedah koordinat dan sudut antara garis dan satah. Di sini kita akan menjawab persoalan bagaimana elemen geometri yang dipertimbangkan boleh ditempatkan di angkasa. Terdapat tiga cara:
- Garis lurus bersilang dengan satah. Menggunakan kaedah koordinat, anda boleh mengira pada titik tunggal garis dan satah bersilang.
- Satah garis lurus adalah selari. Dalam kes ini, sistem persamaan unsur geometri tidak mempunyai penyelesaian. Untuk membuktikan keselarian, sifat hasil darab skalar vektor arah garis lurus dan normal satah biasanya digunakan.
- Pesawat itu mengandungi garisan. Menyelesaikan sistem persamaan dalam kes ini, kami akan membuat kesimpulan bahawa untuk sebarang nilai parameter λ, kesamaan yang betul diperolehi.
Dalam kes kedua dan ketiga, sudut antara objek geometri yang ditentukan adalah sama dengan sifar. Dalam kes pertama, ia terletak antara 0 dan 90o.
Pengiraan sudut antara garis dan satah
Sekarang mari kita pergi terus ke topik artikel. Sebarang persilangan garis dan satah berlaku pada sudut tertentu. Sudut ini dibentuk oleh garis lurus itu sendiri dan unjurannya ke atas satah. Unjuran boleh diperolehi jika dari mana-mana titik garis lurus satu serenjang diturunkan ke atas satah, dan kemudian melalui titik persilangan satah dan serenjang yang diperolehi dan titik persilangan satah dan garis asal, lukis satu garis lurus yang akan menjadi unjuran.
Mengira sudut antara garis dan satah bukanlah tugas yang sukar. Untuk menyelesaikannya, cukup untuk mengetahui persamaan objek geometri yang sepadan. Katakan persamaan ini kelihatan seperti ini:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
Sudut yang diingini mudah didapati menggunakan sifat hasil darab vektor skalar u¯ dan n¯. Formula akhir kelihatan seperti ini:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Formula ini mengatakan bahawa sinus sudut antara garis dan satah adalah sama dengan nisbah modulus hasil darab skalar bagi vektor yang ditanda dengan hasil darab panjangnya. Untuk memahami sebab sinus muncul dan bukannya kosinus, mari kita beralih kepada rajah di bawah.
Ia boleh dilihat bahawa jika kita menggunakan fungsi kosinus, kita akan mendapat sudut antara vektor u¯ dan n¯. Sudut θ yang dikehendaki (α dalam rajah) diperoleh seperti berikut:
θ=90o- β.
Sinus muncul sebagai hasil daripada menggunakan formula pengurangan.
Contoh masalah
Mari beralih kepada penggunaan praktikal pengetahuan yang diperoleh. Mari kita selesaikan masalah biasa pada sudut antara garis lurus dan satah. Koordinat empat titik berikut diberikan:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Adalah diketahui bahawa melalui mata PQMsatah melaluinya, dan garis lurus melalui MN. Menggunakan kaedah koordinat, sudut antara satah dan garis mesti dikira.
Pertama, mari kita tuliskan persamaan garis lurus dan satah. Untuk garis lurus, mudah untuk mengarangnya:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Untuk membuat persamaan satah, kita mula-mula mencari normal padanya. Koordinatnya adalah sama dengan hasil vektor dua vektor yang terletak dalam satah yang diberikan. Kami ada:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Sekarang mari kita gantikan koordinat mana-mana titik yang terletak di dalamnya ke dalam persamaan satah am untuk mendapatkan nilai sebutan bebas D:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Persamaan satah ialah:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Ia tetap menggunakan formula untuk sudut yang terbentuk pada persilangan garis lurus dan satah untuk mendapatkan jawapan kepada masalah itu. Kami ada:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Menggunakan masalah ini sebagai contoh, kami menunjukkan cara menggunakan kaedah koordinat untuk menyelesaikan masalah geometri.
