Kawasan permukaan sisi piramid segi empat biasa: formula dan contoh masalah

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-01-02 17:53

Masalah geometri biasa dalam satah dan dalam ruang tiga dimensi ialah masalah menentukan luas permukaan pelbagai bentuk. Dalam artikel ini, kami membentangkan formula untuk luas permukaan sisi piramid segi empat biasa.

Apakah itu piramid?

Mari berikan definisi geometri yang ketat bagi piramid. Katakan terdapat beberapa poligon dengan n sisi dan n sudut. Kami memilih titik arbitrari dalam ruang yang tidak akan berada dalam satah n-gon yang ditentukan, dan menyambungkannya ke setiap bucu poligon. Kita akan mendapat angka yang mempunyai beberapa isipadu, yang dipanggil piramid n-gonal. Sebagai contoh, mari tunjukkan dalam rajah di bawah rupa piramid pentagon.

Dua elemen penting mana-mana piramid ialah tapaknya (n-gon) dan atas. Unsur-unsur ini disambungkan antara satu sama lain oleh n segi tiga, yang secara amnya tidak sama antara satu sama lain. Serenjang jatuh dariatas ke bawah dipanggil ketinggian angka. Jika ia bersilang dengan tapak di pusat geometri (bertepatan dengan pusat jisim poligon), maka piramid seperti itu dipanggil garis lurus. Jika, sebagai tambahan kepada keadaan ini, asasnya adalah poligon biasa, maka keseluruhan piramid dipanggil biasa. Rajah di bawah menunjukkan rupa piramid sekata dengan tapak segi tiga, segi empat tepat, pentagon dan heksagon.

Permukaan piramid

Sebelum beralih kepada persoalan luas permukaan sisi piramid segi empat biasa, kita harus memikirkan konsep permukaan itu sendiri.

Seperti yang dinyatakan di atas dan ditunjukkan dalam rajah, mana-mana piramid dibentuk oleh satu set muka atau sisi. Satu sisi ialah tapak dan n sisi ialah segi tiga. Permukaan keseluruhan rajah ialah jumlah luas setiap sisinya.

Adalah mudah untuk mengkaji permukaan pada contoh figura yang terbentang. Imbasan untuk piramid segi empat biasa ditunjukkan dalam rajah di bawah.

Kami melihat bahawa luas permukaannya adalah sama dengan hasil tambah empat luas segi tiga sama kaki yang sama dan luas segi empat sama.

Jumlah luas semua segi tiga yang membentuk sisi rajah dipanggil luas permukaan sisi. Seterusnya, kami akan menunjukkan cara mengiranya untuk piramid segi empat biasa.

Luas permukaan sisi piramid sekata empat segi

Untuk mengira luas sisipermukaan angka yang ditentukan, kita sekali lagi beralih ke imbasan di atas. Katakan kita tahu sisi tapak segi empat sama. Mari kita nyatakan dengan simbol a. Dapat dilihat bahawa setiap empat segi tiga yang sama mempunyai tapak panjang a. Untuk mengira jumlah kawasan mereka, anda perlu mengetahui nilai ini untuk satu segi tiga. Dari kursus geometri diketahui bahawa luas segi tiga S_{t adalah sama dengan hasil darab tapak dan tinggi, yang harus dibahagikan kepada separuh. Iaitu:}

S_t=1/2j_ba.

Di mana h_b ialah ketinggian segi tiga sama kaki yang dilukis ke tapak a. Untuk piramid, ketinggian ini adalah apotema. Sekarang tinggal untuk mendarab ungkapan yang terhasil dengan 4 untuk mendapatkan luas S_{bpermukaan sisi untuk piramid yang dimaksudkan:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Formula ini mengandungi dua parameter: apotema dan sisi tapak. Jika yang terakhir diketahui dalam kebanyakan keadaan masalah, maka yang pertama perlu dikira mengetahui kuantiti lain. Berikut ialah formula untuk mengira apotema h_{b untuk dua kes:}

• apabila panjang rusuk sisi diketahui;
• apabila ketinggian piramid diketahui.

Jika kita menyatakan panjang tepi sisi (sisi segi tiga sama kaki) dengan simbol L, maka apotema h_{b ditentukan oleh formula:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Ungkapan ini ialah hasil penggunaan teorem Pythagoras untuk segi tiga permukaan sisi.

Jika diketahuiketinggian h piramid, maka apotema h_{b boleh dikira seperti berikut:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Mendapatkan ungkapan ini juga tidak sukar jika kita menganggap di dalam piramid itu segi tiga bersudut tegak yang dibentuk oleh kaki h dan a/2 serta hipotenus h_b.

Mari tunjukkan cara menggunakan formula ini dengan menyelesaikan dua masalah menarik.

Masalah dengan luas permukaan yang diketahui

Adalah diketahui bahawa luas permukaan sisi piramid segi empat sekata ialah 108 cm². Adalah perlu untuk mengira nilai panjang apotemanya h_{b, jika ketinggian piramid ialah 7 cm.}

Mari kita tulis formula untuk luas S_{bpermukaan sisi melalui ketinggian. Kami ada:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Di sini kita baru sahaja menggantikan formula apotema yang sepadan ke dalam ungkapan untuk S_{b. Mari kita kuasa duakan kedua-dua belah persamaan:}

S_b²=4a²h² + a^4.

Untuk mencari nilai a, mari buat perubahan pembolehubah:

a2=t;

t²+ 4j²t - S_b ^2=0.

Kami kini menggantikan nilai yang diketahui dan menyelesaikan persamaan kuadratik:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Kami hanya menulis punca positif persamaan ini. Kemudian sisi tapak piramid ialah:

a=√t=√47.8355 ≈ 6.916 sm.

Untuk mendapatkan panjang apotema,hanya gunakan formula:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 lihat}

Permukaan sisi piramid Cheops

Tentukan nilai luas permukaan sisi bagi piramid Mesir terbesar. Diketahui bahawa pada dasarnya terletak persegi dengan panjang sisi 230.363 meter. Ketinggian struktur asalnya 146.5 meter. Gantikan nombor ini ke dalam formula yang sepadan untuk S_{b, kita dapat:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Nilai yang ditemui adalah lebih besar sedikit daripada keluasan 17 padang bola.