Silinder: luas permukaan sisi. Formula untuk luas permukaan sisi silinder

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-01-02 17:53

Apabila mempelajari stereometri, salah satu topik utama ialah "Silinder". Luas permukaan sisi dianggap, jika bukan yang utama, maka formula penting dalam menyelesaikan masalah geometri. Walau bagaimanapun, adalah penting untuk mengingati definisi yang akan membantu anda menavigasi contoh dan apabila membuktikan pelbagai teorem.

Konsep silinder

Mula-mula kita perlu mempertimbangkan beberapa definisi. Hanya selepas mengkaji mereka boleh mula mempertimbangkan persoalan formula untuk luas permukaan sisi silinder. Berdasarkan entri ini, ungkapan lain boleh dikira.

• Permukaan silinder difahami sebagai satah yang diterangkan oleh generatriks, bergerak dan kekal selari dengan arah tertentu, meluncur di sepanjang lengkung sedia ada.
• Terdapat juga definisi kedua: permukaan silinder dibentuk oleh satu set garis selari yang bersilang dengan lengkung yang diberikan.
• Generatif secara konvensional dipanggil ketinggian silinder. Apabila ia bergerak mengelilingi paksi yang melalui pusat tapak,badan geometri yang ditetapkan diperolehi.
• Di bawah paksi bermaksud garis lurus yang melalui kedua-dua tapak rajah.
• Silinder ialah badan stereometrik yang dibatasi oleh permukaan sisi yang bersilang dan 2 satah selari.

Terdapat pelbagai jenis rajah tiga dimensi ini:

1. Bulat ialah silinder yang panduannya ialah bulatan. Komponen utamanya ialah jejari tapak dan generatrik. Yang terakhir adalah sama dengan ketinggian angka.
2. Terdapat silinder lurus. Ia mendapat namanya kerana keserenjangan generatriks ke pangkal rajah.
3. Jenis ketiga ialah silinder serong. Dalam buku teks, anda juga boleh mencari nama lain untuknya - "silinder bulat dengan tapak serong." Angka ini mentakrifkan jejari tapak, ketinggian minimum dan maksimum.
4. Silinder sama sisi difahami sebagai badan yang mempunyai ketinggian dan diameter yang sama dengan satah bulat.

Simbol

Secara tradisinya, "komponen" utama silinder dipanggil seperti berikut:

• Jejari tapak ialah R (ia juga menggantikan nilai angka stereometrik yang sama).
• Generatif – L.
• Tinggi – H.
• Kawasan dasar - S_{tapak (dengan kata lain, anda perlu mencari parameter bulatan yang ditentukan).}
• Ketinggian silinder serong – h₁, h_{2 (minimum dan maksimum).}
• Kawasan permukaan sisi - S_{sisi (jika anda mengembangkannya, anda mendapatsemacam segi empat tepat).}
• Volume bagi angka stereometrik - V.
• Jumlah luas permukaan – S.

“Komponen” bagi angka stereometrik

Apabila mengkaji silinder, luas permukaan sisi memainkan peranan penting. Ini disebabkan oleh fakta bahawa formula ini termasuk dalam beberapa formula lain yang lebih kompleks. Oleh itu, adalah perlu untuk mahir dalam teori.

Komponen utama rajah ialah:

1. Permukaan sisi. Seperti yang anda ketahui, ia diperoleh kerana pergerakan generatriks sepanjang lengkung tertentu.
2. Permukaan penuh termasuk tapak dan satah sisi sedia ada.
3. Bahagian silinder, sebagai peraturan, ialah segi empat tepat yang terletak selari dengan paksi rajah. Jika tidak, ia dipanggil kapal terbang. Ternyata panjang dan lebar adalah komponen separuh masa angka lain. Jadi, secara bersyarat, panjang bahagian adalah penjana. Lebar - kord selari bagi rajah stereometrik.
4. Bahagian paksi bermaksud lokasi pesawat melalui bahagian tengah badan.
5. Dan akhirnya, definisi akhir. Tangen ialah satah yang melalui generatrik silinder dan bersudut tepat ke bahagian paksi. Dalam kes ini, satu syarat mesti dipenuhi. Generatrix yang ditentukan mesti dimasukkan dalam satah bahagian paksi.

Formula asas untuk bekerja dengan silinder

Untuk menjawab soalan tentang cara mencari luas permukaan silinder, adalah perlu untuk mengkaji "komponen" utama angka stereometrik dan formula untuk mencarinya.

Formula ini berbeza kerana mula-mula ungkapan untuk silinder serong diberikan, dan kemudian untuk yang lurus.

Contoh Telah Dibina

Tugasan 1.

Adalah perlu mengetahui luas permukaan sisi silinder. Diagonal bahagian AC=8 cm diberikan (selain itu, ia adalah paksi). Apabila bersentuhan dengan generatrix, ternyata _<ACD=30°

Keputusan. Oleh kerana nilai pepenjuru dan sudut diketahui, maka dalam kes ini:

CD=ACcos 30°

Ulasan. Segitiga ACD, dalam contoh khusus ini, ialah segi tiga tegak. Ini bermakna hasil bahagi CD dan AC=kosinus bagi sudut yang diberi. Nilai fungsi trigonometri boleh didapati dalam jadual khas.

Begitu juga, anda boleh mencari nilai AD:

AD=ACsin 30°

Kini anda perlu mengira hasil yang diingini menggunakan rumusan berikut: luas permukaan sisi silinder adalah sama dengan dua kali ganda hasil darab "pi", jejari rajah dan ketinggiannya. Formula lain juga harus digunakan: luas dasar silinder. Ia sama dengan hasil darab "pi" dengan kuasa dua jejari. Dan akhirnya, formula terakhir: jumlah luas permukaan. Ia sama dengan jumlah dua kawasan sebelumnya.

Tugas 2.

Silinder diberikan. Isipadunya=128n cm³. Silinder yang manakah mempunyai paling kecilpermukaan penuh?

Keputusan. Mula-mula anda perlu menggunakan formula untuk mencari isipadu rajah dan ketinggiannya.

Memandangkan jumlah luas permukaan silinder diketahui daripada teori, formulanya mesti digunakan.

Jika kita menganggap formula yang terhasil sebagai fungsi luas silinder, maka "penunjuk" minimum akan dicapai pada titik ekstrem. Untuk mendapatkan nilai terakhir, anda perlu menggunakan pembezaan.

Formula boleh dilihat dalam jadual khas untuk mencari derivatif. Pada masa hadapan, hasil yang ditemui disamakan dengan sifar dan penyelesaian persamaan ditemui.

Jawapan: S_{min akan dicapai pada h=1/32 cm, R=64 cm.}

Masalah 3.

Diberi angka stereometrik - silinder dan keratan. Yang terakhir ini dijalankan sedemikian rupa sehingga ia terletak selari dengan paksi badan stereometrik. Silinder mempunyai parameter berikut: VK=17 cm, h=15 cm, R=5 cm. Ia adalah perlu untuk mencari jarak antara bahagian dan paksi.

Keputusan.

Memandangkan keratan rentas silinder difahamkan sebagai VSCM, iaitu segi empat tepat, sisinya VM=h. WMC perlu dipertimbangkan. Segitiga adalah segi empat tepat. Berdasarkan pernyataan ini, kita boleh menyimpulkan andaian yang betul bahawa MK=BC.

VK²=VM² + MK²

MK²=VK² - VM²

MK²=17² - 15²

MK²=64

MK=8

Dari sini kita boleh membuat kesimpulan bahawa MK=BC=8 cm.

Langkah seterusnya ialah melukis bahagian melalui pangkal rajah. Adalah perlu untuk mempertimbangkan satah yang terhasil.

AD – diameter angka stereometrik. Ia selari dengan bahagian yang disebut dalam pernyataan masalah.

BC ialah garis lurus yang terletak pada satah segi empat tepat sedia ada.

ABCD ialah trapezium. Dalam kes tertentu, ia dianggap sama kaki, kerana bulatan diterangkan di sekelilingnya.

Jika anda mendapati ketinggian trapezoid yang terhasil, anda boleh mendapatkan jawapan yang diberikan pada permulaan masalah. Iaitu: mencari jarak antara paksi dan bahagian yang dilukis.

Untuk melakukan ini, anda perlu mencari nilai AD dan OS.

Jawapan: bahagian terletak 3 cm dari paksi.

Masalah untuk menyatukan bahan

Contoh 1.

Silinder diberikan. Luas permukaan sisi digunakan dalam larutan selanjutnya. Pilihan lain diketahui. Luas tapak ialah Q, luas bahagian paksi ialah M. Ia perlu mencari S. Dalam erti kata lain, jumlah luas silinder.

Contoh 2.

Silinder diberikan. Luas permukaan sisi mesti ditemui dalam salah satu langkah menyelesaikan masalah. Adalah diketahui bahawa ketinggian=4 cm, jejari=2 cm. Ia adalah perlu untuk mencari jumlah luas angka stereometrik.