Permukaan sisi kon biasa dan terpotong. Formula dan contoh penyelesaian masalah

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-17 05:36

Apabila mempertimbangkan angka di angkasa, masalah sering timbul dalam menentukan luas permukaannya. Salah satu angka tersebut ialah kon. Pertimbangkan dalam artikel apakah permukaan sisi kon dengan tapak bulat, serta kon terpotong.

Kon dengan tapak bulat

Sebelum meneruskan pertimbangan permukaan sisi kon, kami akan menunjukkan jenis rajah itu dan cara mendapatkannya menggunakan kaedah geometri.

Ambil segitiga bersudut tegak ABC, dengan AB dan AC ialah kaki. Mari letakkan segitiga ini pada kaki AC dan putarkannya di sekeliling kaki AB. Akibatnya, sisi AC dan BC menerangkan dua permukaan rajah yang ditunjukkan di bawah.

Angka yang diperoleh melalui putaran dipanggil kon lurus bulat. Ia bulat kerana tapaknya ialah bulatan, dan lurus kerana serenjang yang dilukis dari bahagian atas rajah (titik B) bersilang dengan bulatan di tengahnya. Panjang serenjang ini dipanggil ketinggian. Jelas sekali, ia sama dengan kaki AB. Ketinggian biasanya dilambangkan dengan huruf h.

Selain ketinggian, kon yang dipertimbangkan diterangkan oleh dua lagi ciri linear:

• menjana, atau generatriks (hypotenuse BC);
• jejari tapak (kaki AC).

Jejari akan dilambangkan dengan huruf r, dan generatoratriks dengan g. Kemudian, dengan mengambil kira teorem Pythagoras, kita boleh menulis kesamaan penting untuk angka yang dipertimbangkan:

g²=h²+ r²

Permukaan kon

Keseluruhan semua penjanaan membentuk permukaan kon atau sisi kon. Dari segi penampilan, sukar untuk membezakan angka rata yang mana ia sepadan. Yang terakhir ini penting untuk diketahui apabila menentukan luas permukaan kon. Untuk menyelesaikan masalah ini, kaedah sapuan digunakan. Ia terdiri daripada yang berikut: permukaan dipotong secara mental di sepanjang generatriks sewenang-wenangnya, dan kemudian ia dibentangkan pada satah. Dengan kaedah mendapatkan sapuan ini, angka rata berikut terbentuk.

Seperti yang anda fikirkan, bulatan sepadan dengan pangkalan, tetapi sektor bulatan adalah permukaan kon, kawasan yang kami minati. Sektor ini dibatasi oleh dua penjanaan dan lengkok. Panjang yang terakhir adalah sama persis dengan perimeter (panjang) lilitan tapak. Ciri-ciri ini secara unik menentukan semua sifat sektor pekeliling. Kami tidak akan memberikan pengiraan matematik perantaraan, tetapi segera tuliskan formula akhir, dengan menggunakan mana anda boleh mengira luas permukaan sisi kon. Formulanya ialah:

S_b=pigr

Luas permukaan kon S_bsama dengan hasil darab dua parameter dan Pi.

Kon terpotong dan permukaannya

Jika kita mengambil kon biasa dan memotong bahagian atasnya dengan satah selari, angka yang tinggal akan menjadi kon terpotong. Permukaan sisinya dihadkan oleh dua tapak bulat. Mari kita nyatakan jejari mereka sebagai R dan r. Kami menandakan ketinggian rajah dengan h, dan generatrik dengan g. Di bawah ialah potongan kertas untuk angka ini.

Ia boleh dilihat bahawa permukaan sisi bukan lagi sektor bulat, ia lebih kecil dalam kawasan, kerana bahagian tengah telah dipotong daripadanya. Pembangunan dihadkan kepada empat baris, dua daripadanya ialah penjana segmen garis lurus, dua lagi adalah lengkok dengan panjang bulatan sepadan asas kon terpenggal.

Permukaan sisi S_bdikira seperti berikut:

S_b=pig(r + R)

Generatrix, jejari dan ketinggian dikaitkan dengan kesamaan berikut:

g²=h²+ (R - r)²

Masalah dengan kesamaan bidang angka

Diberikan sebuah kon dengan ketinggian 20 cm dan jejari tapak 8 cm. Perlu mencari ketinggian kon terpotong yang permukaan sisinya akan mempunyai luas yang sama dengan kon ini. Angka terpotong dibina pada tapak yang sama, dan jejari tapak atas ialah 3 cm.

Pertama sekali, mari kita tuliskan keadaan kesamaan luas kon dan angka terpotong. Kami ada:

S_b1=S_b2=>

pig₁R=pig₂(r + R)

Sekarang mari kita tulis ungkapan untuk penjanaan setiap bentuk:

g₁=√(R²+ h₁²);

g₂=√((R-r)² + h₂ ²)

Gantikan g₁ dan g₂ ke dalam formula untuk kawasan yang sama dan segi empat sama sisi kiri dan kanan, kita dapat:

R²(R²+ h₁²)=((R-r)²+ h₂²)(r + R)²

Di mana kita mendapat ungkapan untuk h₂:

h₂=√(R²(R²+ h 12^{)/(r + R)}2^{- (R - r)}2 ⁾

Kami tidak akan memudahkan kesaksamaan ini, tetapi hanya menggantikan data yang diketahui daripada syarat:

h₂=√(8²(8²+ 202^{)/(3 + 8)}2^{- (8 - 3)}2^{) ≈ 14.85 sm}

Oleh itu, untuk menyamai luas permukaan sisi rajah, kon terpotong mesti mempunyai parameter: R=8 cm, r=3 cm, h₂≈ 14, 85 sm.