Kawasan permukaan sisi dan isipadu piramid terpotong: formula dan contoh penyelesaian masalah biasa

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-01-02 17:53

Apabila mengkaji sifat rajah dalam ruang tiga dimensi dalam rangka stereometri, seseorang selalunya perlu menyelesaikan masalah untuk menentukan isipadu dan luas permukaan. Dalam artikel ini, kami akan menunjukkan cara mengira isipadu dan luas permukaan sisi untuk piramid terpotong menggunakan formula yang terkenal.

Piramid dalam geometri

Dalam geometri, piramid biasa ialah angka dalam angkasa, yang dibina di atas beberapa n-gon rata. Semua bucunya disambungkan ke satu titik yang terletak di luar satah poligon. Contohnya, berikut ialah foto yang menunjukkan piramid segi lima.

Angka ini dibentuk oleh muka, bucu dan tepi. Muka pentagonal dipanggil pangkal. Muka segi tiga yang tinggal membentuk permukaan sisi. Titik persilangan semua segi tiga ialah puncak utama piramid. Jika serenjang diturunkan daripadanya ke pangkalan, maka dua pilihan untuk kedudukan titik persilangan adalah mungkin:

• di pusat geometri, maka piramid itu dipanggil garis lurus;
• tidak masukpusat geometri, maka rajah itu akan menjadi serong.

Selanjutnya kami akan mempertimbangkan hanya angka lurus dengan asas n-gonal biasa.

Apakah angka ini - piramid terpotong?

Untuk menentukan isipadu piramid terpotong, adalah perlu untuk memahami dengan jelas angka mana yang dipersoalkan secara khusus. Mari kita jelaskan isu ini.

Andaikan kita mengambil satah pemotongan yang selari dengan dasar piramid biasa dan memotong bahagian permukaan sisi dengannya. Jika operasi ini dilakukan dengan piramid pentagonal yang ditunjukkan di atas, anda akan mendapat angka seperti dalam rajah di bawah.

Daripada foto dapat dilihat bahawa piramid ini sudah mempunyai dua tapak, dan yang atas adalah serupa dengan yang bawah, tetapi saiznya lebih kecil. Permukaan sisi tidak lagi diwakili oleh segi tiga, tetapi oleh trapezoid. Mereka adalah sama kaki, dan bilangannya sepadan dengan bilangan sisi tapak. Rajah terpotong tidak mempunyai bucu utama, seperti piramid biasa, dan ketinggiannya ditentukan oleh jarak antara tapak selari.

Dalam kes umum, jika rajah yang dipertimbangkan dibentuk oleh tapak n-gonal, ia mempunyai n+2 muka atau sisi, 2n bucu dan 3n tepi. Iaitu, piramid yang dipotong ialah polihedron.

Formula untuk isipadu piramid terpotong

Ingat bahawa isipadu piramid biasa ialah 1/3 daripada hasil darab ketinggian dan luas tapaknya. Formula ini tidak sesuai untuk piramid terpotong, kerana ia mempunyai dua tapak. Dan kelantangannyaakan sentiasa kurang daripada nilai yang sama untuk angka biasa dari mana ia diperoleh.

Tanpa pergi ke butiran matematik untuk mendapatkan ungkapan, kami membentangkan formula akhir untuk isipadu piramid terpotong. Ia ditulis seperti berikut:

V=1/3j(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Di sini S₁ dan S_{2 ialah kawasan tapak bawah dan atas, masing-masing, h ialah ketinggian rajah. Ungkapan bertulis sah bukan sahaja untuk piramid terpotong biasa lurus, tetapi juga untuk mana-mana angka kelas ini. Selain itu, tanpa mengira jenis poligon asas. Satu-satunya syarat yang mengehadkan penggunaan ungkapan untuk V ialah keperluan untuk tapak piramid selari antara satu sama lain.}

Beberapa kesimpulan penting boleh dibuat dengan mengkaji sifat formula ini. Jadi, jika luas tapak atas adalah sifar, maka kita sampai kepada formula untuk V piramid biasa. Jika luas tapak adalah sama antara satu sama lain, maka kita mendapat formula untuk isipadu prisma.

Bagaimana untuk menentukan luas permukaan sisi?

Mengetahui ciri-ciri piramid terpenggal memerlukan bukan sahaja keupayaan untuk mengira isipadunya, tetapi juga mengetahui cara menentukan luas permukaan sisi.

Piramid terpotong terdiri daripada dua jenis muka:

• trapezoid sama kaki;
• asas poligon.

Jika terdapat poligon sekata di tapak, maka pengiraan luasnya tidak mewakili besarkesukaran. Untuk melakukan ini, anda hanya perlu mengetahui panjang sisi a dan nombornya n.

Dalam kes permukaan sisi, pengiraan luasnya melibatkan penentuan nilai ini bagi setiap n trapezoid. Jika n-gon betul, maka formula untuk luas permukaan sisi menjadi:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Di sini h_b ialah ketinggian trapezoid, yang dipanggil apotem rajah. Kuantiti a₁ dan a_{2ialah panjang sisi tapak n-gonal sekata.}

Untuk setiap piramid terpenggal n-gonal biasa, apotema h_b boleh ditakrifkan secara unik melalui parameter a₁ dan a _{2dan ketinggian h bentuk.}

Tugas mengira isipadu dan luas angka

Diberikan piramid terpotong segi tiga biasa. Diketahui bahawa ketinggiannya h ialah 10 cm, dan panjang sisi tapaknya ialah 5 cm dan 3 cm. Berapakah isipadu piramid terpotong itu dan luas permukaan sisinya?

Pertama, mari kita hitung nilai V. Untuk melakukan ini, cari luas segi tiga sama sisi yang terletak di tapak rajah. Kami ada:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10.825sm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3.897 sm²

Gantikan data ke dalam formula untuk V, kita mendapat volum yang dikehendaki:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70.72 cm3

Untuk menentukan permukaan sisi, anda harus tahupanjang apotema h_{b. Memandangkan segi tiga bersudut tegak yang sepadan di dalam piramid, kita boleh menulis kesamaan untuknya:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10.017 sm}

Nilai apotema dan sisi tapak segi tiga digantikan ke dalam ungkapan untuk S_{b dan kita mendapat jawapannya:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10.0173(5+3)/2 ≈ 120.2sm²

Oleh itu, kami menjawab semua soalan masalah: V ≈ 70.72 cm³, S_b ≈ 120.2 sm2^.