Dalam geometri, dua ciri penting digunakan untuk mengkaji rajah: panjang sisi dan sudut di antaranya. Dalam kes angka spatial, sudut dihedral ditambah kepada ciri-ciri ini. Mari kita pertimbangkan apa itu, dan terangkan juga kaedah untuk menentukan sudut ini menggunakan contoh piramid.
Konsep sudut dihedral
Semua orang tahu bahawa dua garis bersilang membentuk sudut dengan bucu pada titik persilangan mereka. Sudut ini boleh diukur dengan protraktor, atau anda boleh menggunakan fungsi trigonometri untuk mengiranya. Sudut yang dibentuk oleh dua sudut tegak dipanggil linear.
Sekarang bayangkan bahawa dalam ruang tiga dimensi terdapat dua satah yang bersilang dalam garis lurus. Ia ditunjukkan dalam gambar.
Sudut dihedral ialah sudut antara dua satah bersilang. Sama seperti linear, ia diukur dalam darjah atau radian. Jika ke mana-mana titik garisan di mana satah bersilang, pulihkan dua tegak,terletak dalam satah ini, maka sudut di antara mereka akan menjadi dihedral yang dikehendaki. Cara paling mudah untuk menentukan sudut ini ialah dengan menggunakan persamaan am bagi satah.
Persamaan satah dan formula untuk sudut di antaranya
Persamaan mana-mana satah di angkasa secara umum ditulis seperti berikut:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Di sini x, y, z ialah koordinat titik kepunyaan satah, pekali A, B, C, D ialah beberapa nombor yang diketahui. Kemudahan kesamaan ini untuk mengira sudut dihedral ialah ia secara eksplisit mengandungi koordinat vektor arah satah. Kami akan menandakannya dengan n¯. Kemudian:
n¯=(A; B; C).
Vektor n¯ adalah berserenjang dengan satah. Sudut antara dua satah adalah sama dengan sudut antara vektor arah mereka n1¯ dan n2¯. Dari matematik diketahui bahawa sudut yang dibentuk oleh dua vektor ditentukan secara unik daripada hasil skalarnya. Ini membolehkan anda menulis formula untuk mengira sudut dihedral antara dua satah:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Jika kita menggantikan koordinat vektor, formula akan ditulis secara eksplisit:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Tanda modulo dalam pengangka digunakan untuk mentakrifkan hanya sudut akut, kerana sudut dihedral sentiasa kurang daripada atau sama dengan 90o.
Piramid dan penjurunya
Piramid ialah rajah yang dibentuk oleh satu n-gon dan n segi tiga. Di sini n ialah integer sama dengan bilangan sisi poligon yang merupakan tapak piramid. Rajah spatial ini ialah polihedron atau polihedron, kerana ia terdiri daripada muka rata (sisi).
Sudut dihedral bagi polihedron piramid boleh terdiri daripada dua jenis:
- antara tapak dan sisi (segi tiga);
- antara dua pihak.
Jika piramid itu dianggap sekata, maka mudah untuk menentukan sudut yang dinamakan untuknya. Untuk melakukan ini, menggunakan koordinat tiga titik yang diketahui, seseorang harus menyusun persamaan satah, dan kemudian menggunakan formula yang diberikan dalam perenggan di atas untuk sudut φ.
Di bawah ini kami memberikan contoh yang menunjukkan cara mencari sudut dihedral pada dasar piramid sekata segi empat.
Piramid sekata segi empat tepat dan sudut di tapaknya
Anggapkan bahawa piramid biasa dengan tapak segi empat sama diberikan. Panjang sisi segi empat sama ialah a, tinggi rajah itu ialah h. Cari sudut antara tapak piramid dan sisinya.
Mari letakkan asal sistem koordinat di tengah petak. Kemudian koordinat titikA, B, C, D yang ditunjukkan dalam gambar ialah:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Pertimbangkan pesawat ACB dan ADB. Jelas sekali, vektor arah n1¯ untuk pesawat ACB ialah:
1¯=(0; 0; 1).
Untuk menentukan vektor arah n2¯ satah ADB, teruskan seperti berikut: cari dua vektor sewenang-wenang yang dimilikinya, contohnya, AD¯ dan AB¯, kemudian hitung kerja vektor mereka. Hasilnya akan memberikan koordinat n2¯. Kami ada:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Memandangkan pendaraban dan pembahagian vektor dengan nombor tidak mengubah arahnya, kami mengubah hasil n2¯, membahagikan koordinatnya dengan -a, kami mendapat:
2¯=(h; 0; a/2).
Kami telah menentukan panduan vektor n1¯ dan n2¯ untuk pangkalan ACB dan satah sisi ADB. Ia kekal menggunakan formula untuk sudut φ:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Ubah ungkapan yang terhasil dan tulis semula seperti ini:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Kami telah memperoleh formula untuk sudut dihedral di pangkalan untuk piramid segi empat biasa. Mengetahui ketinggian rajah dan panjang sisinya, anda boleh mengira sudut φ. Sebagai contoh, untuk piramid Cheops, yang sisi tapaknya ialah 230.4 meter, dan ketinggian awal ialah 146.5 meter, sudut φ ialah 51.8o.
Ia juga mungkin untuk menentukan sudut dihedral untuk piramid sekata segiempat menggunakan kaedah geometri. Untuk melakukan ini, sudah memadai untuk mempertimbangkan segi tiga bersudut tegak yang dibentuk oleh ketinggian h, separuh panjang tapak a/2 dan apotema segi tiga sama kaki.
