Kajian tentang sifat-sifat keadaan agregat gas jirim merupakan salah satu bidang penting fizik moden. Memandangkan gas pada skala mikroskopik, seseorang boleh memperoleh semua parameter makroskopik sistem. Artikel ini akan mendedahkan satu isu penting tentang teori kinetik molekul gas: apakah taburan Maxwell bagi molekul dari segi halaju.
Latar belakang sejarah
Idea gas sebagai sistem zarah bergerak mikroskopik berasal dari Greece purba. Sains mengambil masa lebih 1700 tahun untuk membangunkannya.
Pengasas teori kinetik molekul moden (MKT) gas wajar dipertimbangkan Daniil Bernoulli. Pada tahun 1738 beliau menerbitkan sebuah karya bernama "Hydrodynamics". Di dalamnya, Bernoulli menggariskan idea-idea MKT yang telah digunakan sehingga kini. Jadi, saintis percaya bahawa gas terdiri daripada zarah yang bergerak secara rawak ke semua arah. Banyak perlanggaranzarah dengan dinding kapal dianggap sebagai kehadiran tekanan dalam gas. Halaju zarah berkait rapat dengan suhu sistem. Komuniti saintifik tidak menerima idea berani Bernoulli kerana undang-undang pengekalan tenaga masih belum ditetapkan.
Seterusnya, ramai saintis terlibat dalam membina model kinetik gas. Antaranya, Rudolf Clausius harus diperhatikan, yang pada tahun 1857 mencipta model gas mudah. Di dalamnya, saintis memberi perhatian khusus kepada kehadiran darjah kebebasan translasi, putaran dan getaran dalam molekul.
Pada tahun 1859, mengkaji karya Clausius, James Maxwell merumuskan apa yang dipanggil taburan Maxwell ke atas halaju molekul. Malah, Maxwell mengesahkan idea-idea MKT, menyokongnya dengan alat matematik. Selepas itu, Ludwig Boltzmann (1871) menyamaratakan kesimpulan taburan Maxwell. Beliau membuat postulat taburan statistik yang lebih umum bagi molekul ke atas halaju dan tenaga. Ia kini dikenali sebagai pengedaran Maxwell-Boltzmann.
Gas ideal. Postulat asas ILC
Untuk memahami fungsi pengedaran Maxwell, anda perlu memahami dengan jelas sistem yang fungsi ini boleh digunakan. Kita bercakap tentang gas ideal. Dalam fizik, konsep ini difahami sebagai bahan bendalir, yang terdiri daripada zarah tidak berdimensi praktikal yang tidak mempunyai tenaga berpotensi. Zarah-zarah ini bergerak pada kelajuan tinggi, jadi kelakuannya ditentukan sepenuhnya oleh tenaga kinetik. Selain itu, jarak antara zarah terlalu besar untukberbanding dengan saiznya, jadi yang terakhir diabaikan.
Gas ideal diterangkan dalam MKT. Postulat utamanya adalah seperti berikut:
- sistem gas terdiri daripada sejumlah besar zarah bebas;
- zarah bergerak secara rawak pada kelajuan berbeza dalam arah berbeza sepanjang trajektori lurus;
- zarah berlanggar dengan dinding vesel secara elastik (kebarangkalian zarah berlanggar antara satu sama lain adalah rendah kerana saiznya yang kecil);
- Suhu sistem ditentukan secara unik oleh tenaga kinetik purata zarah, yang dikekalkan dalam masa jika keseimbangan termodinamik diwujudkan dalam sistem.
undang-undang pengedaran Maxwell
Jika seseorang mempunyai alat yang boleh digunakan untuk mengukur kelajuan molekul gas tunggal, maka, selepas menjalankan eksperimen yang sesuai, dia akan terkejut. Eksperimen akan menunjukkan bahawa setiap molekul mana-mana sistem gas bergerak pada kelajuan sewenang-wenangnya. Dalam kes ini, dalam rangka satu sistem dalam keseimbangan terma dengan persekitaran, kedua-dua molekul yang sangat perlahan dan sangat laju akan dikesan.
Hukum Maxwell tentang taburan halaju molekul gas ialah alat yang membolehkan anda menentukan kebarangkalian pengesanan zarah dengan halaju v tertentu dalam sistem yang dikaji. Fungsi yang sepadan kelihatan seperti ini:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
Dalam ungkapan ini, m -jisim zarah (molekul), k - pemalar Boltzmann, T - suhu mutlak. Oleh itu, jika sifat kimia zarah (nilai m) diketahui, maka fungsi f(v) ditentukan secara unik oleh suhu mutlak. Fungsi f(v) dipanggil ketumpatan kebarangkalian. Jika kita mengambil kamiran daripadanya untuk beberapa had laju (v; v+dv), maka kita mendapat bilangan zarah Ni, yang mempunyai kelajuan dalam selang waktu yang ditentukan. Oleh itu, jika kita mengambil kamiran ketumpatan kebarangkalian f(v) untuk had halaju dari 0 hingga ∞, maka kita mendapat jumlah bilangan molekul N dalam sistem.
Perwakilan grafik ketumpatan kebarangkalian f(v)
Fungsi ketumpatan kebarangkalian mempunyai bentuk matematik yang agak kompleks, jadi tidak mudah untuk mewakili kelakuannya pada suhu tertentu. Masalah ini boleh diselesaikan jika anda menggambarkannya pada graf dua dimensi. Paparan skematik graf taburan Maxwell ditunjukkan di bawah dalam rajah.
Kami melihat bahawa ia bermula dari sifar, kerana halaju v molekul tidak boleh mempunyai nilai negatif. Graf berakhir di suatu tempat di kawasan kelajuan tinggi, lancar jatuh ke sifar (f(∞)->0). Ciri berikut juga menarik perhatian: lengkung licin adalah tidak simetri, ia berkurangan dengan lebih mendadak untuk kelajuan kecil.
Ciri penting bagi kelakuan fungsi ketumpatan kebarangkalian f(v) ialah kehadiran satu sebutan maksimum padanya. Mengikut makna fizikal fungsi, maksimum ini sepadan dengan nilai yang paling berkemungkinan bagi halaju molekul dalam gassistem.
Kelajuan penting untuk fungsi f(v)
Fungsi ketumpatan kebarangkalian f(v) dan perwakilan grafiknya membolehkan kami mentakrifkan tiga jenis kelajuan penting.
Jenis kelajuan pertama yang jelas dan yang dinyatakan di atas ialah kelajuan yang paling mungkin v1. Pada graf, nilainya sepadan dengan maksimum fungsi f(v). Kelajuan dan nilai yang hampir dengannya inilah yang akan mempunyai kebanyakan zarah sistem. Tidak sukar untuk mengiranya, untuk ini cukup untuk mengambil terbitan pertama berkenaan dengan kelajuan fungsi f(v) dan menyamakannya dengan sifar. Hasil daripada operasi matematik ini, kami mendapat keputusan akhir:
v1=√(2RT/M).
Di sini R ialah pemalar gas universal, M ialah jisim molar molekul.
Jenis kelajuan kedua ialah nilai puratanya untuk semua N zarah. Mari kita nyatakannya v2. Ia boleh dikira dengan menyepadukan fungsi vf(v) ke atas semua halaju. Hasil daripada penyepaduan yang dinyatakan ialah formula berikut:
v2=√(8RT/(piM)).
Oleh kerana nisbahnya ialah 8/pi>2, kelajuan purata sentiasa lebih tinggi sedikit daripada yang paling berkemungkinan.
Setiap orang yang mengetahui sedikit tentang fizik memahami bahawa halaju purata v2 daripada molekul mestilah sangat penting dalam sistem gas. Walau bagaimanapun, ini adalah andaian yang salah. Lebih penting ialah kelajuan RMS. Mari kita nyatakanv3.
Mengikut takrifan, halaju punca-min-kuasa dua ialah jumlah kuasa dua halaju individu semua zarah, dibahagikan dengan bilangan zarah ini, dan diambil sebagai punca kuasa dua. Ia boleh dikira untuk taburan Maxwell jika kita mentakrifkan kamiran ke atas semua halaju fungsi v2f(v). Formula untuk purata kelajuan kuadratik akan berbentuk:
v3=√(3RT/M).
Kesamaan menunjukkan bahawa kelajuan ini lebih besar daripada v2 dan v1 untuk mana-mana sistem gas.
Oleh itu, semua jenis halaju yang dipertimbangkan pada graf taburan Maxwell terletak sama ada pada ekstrem atau di sebelah kanannya.
Kepentingan v3
Telah dinyatakan di atas bahawa purata halaju segi empat sama adalah lebih penting untuk memahami proses fizikal dan sifat sistem gas daripada halaju purata mudah v2. Ini benar, kerana tenaga kinetik gas ideal bergantung tepat pada v3, dan bukan pada v2.
Jika kita menganggap gas ideal monatomik, maka ungkapan berikut adalah benar untuknya:
mv32/2=3/2kT.
Di sini, setiap bahagian persamaan mewakili tenaga kinetik satu zarah berjisim m. Mengapakah ungkapan tersebut mengandungi betul-betul nilai v3, dan bukannya purata kelajuan v2? Sangat mudah: apabila menentukan tenaga kinetik setiap zarah, halaju individunya v adalah kuasa dua, kemudian semua halajuditambah dan dibahagikan dengan bilangan zarah N. Iaitu, prosedur untuk menentukan tenaga kinetik itu sendiri membawa kepada nilai purata halaju kuasa dua.
Pergantungan fungsi f(v) pada suhu
Kami telah menetapkan di atas bahawa ketumpatan kebarangkalian halaju molekul secara unik bergantung pada suhu. Bagaimanakah fungsi akan berubah jika T ditambah atau dikurangkan? Carta di bawah akan membantu menjawab soalan ini.
Adalah dapat dilihat bahawa pemanasan sistem tertutup membawa kepada lelasan puncak dan peralihannya ke arah kelajuan yang lebih tinggi. Peningkatan suhu membawa kepada peningkatan dalam semua jenis halaju dan kepada penurunan ketumpatan kebarangkalian setiap satu daripadanya. Nilai puncak berkurangan disebabkan oleh pemuliharaan bilangan zarah N dalam sistem tertutup.
Seterusnya, kami akan menyelesaikan beberapa masalah untuk menyatukan bahan teori yang diterima.
Masalah dengan molekul nitrogen di udara
Ia perlu mengira kelajuan v1, v2 dan v3 untuk nitrogen udara pada suhu 300 K (kira-kira 27 oC).
Jisim molar nitrogen N2 ialah 28 g/mol. Menggunakan formula di atas, kita dapat:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Masalah tangki oksigen
Oksigen dalam silinder berada pada suhu tertentu T1. Kemudian belon itu diletakkan di dalam bilik yang lebih sejuk. Bagaimanakah plot taburan halaju Maxwell untuk molekul oksigen akan berubah apabila sistem mencapai keseimbangan termodinamik?
Mengingat teori, kita boleh menjawab persoalan masalah dengan cara ini: nilai semua jenis halaju molekul akan berkurangan, puncak fungsi f(v) akan beralih ke kiri, menjadi lebih sempit dan lebih tinggi.
