Kajian fungsi dan grafnya merupakan topik yang diberi perhatian khusus dalam rangka kerja kurikulum sekolah menengah. Beberapa asas analisis matematik - pembezaan - disertakan dalam tahap profil peperiksaan dalam matematik. Sesetengah pelajar sekolah menghadapi masalah dengan topik ini, kerana mereka mengelirukan graf fungsi dan terbitan, dan juga melupakan algoritma. Artikel ini akan merangkumi jenis tugasan utama dan cara menyelesaikannya.
Apakah nilai fungsi?
Fungsi matematik ialah persamaan khas. Ia mewujudkan hubungan antara nombor. Fungsi bergantung pada nilai hujah.
Nilai fungsi dikira mengikut formula yang diberikan. Untuk melakukan ini, gantikan sebarang hujah yang sepadan dengan julat nilai yang sah dalam formula ini sebagai ganti x dan lakukan operasi matematik yang diperlukan. Apa?
Bagaimana anda boleh mencari nilai terkecil bagi sesuatu fungsi,menggunakan fungsi graf?
Perwakilan grafik kebergantungan fungsi pada argumen dipanggil graf fungsi. Ia dibina pada satah dengan segmen unit tertentu, di mana nilai pembolehubah atau hujah diplot di sepanjang paksi absis mendatar dan nilai fungsi yang sepadan di sepanjang paksi ordinat menegak.
Semakin besar nilai hujah, semakin ke kanan ia terletak pada graf. Dan semakin besar nilai fungsi itu sendiri, semakin tinggi titiknya.
Apa yang dikatakan ini? Nilai terkecil fungsi akan menjadi titik yang terletak paling rendah pada graf. Untuk mencarinya pada segmen carta, anda memerlukan:
1) Cari dan tandai penghujung segmen ini.
2) Tentukan secara visual titik mana pada segmen ini terletak paling rendah.
3) Sebagai tindak balas, tuliskan nilai berangkanya, yang boleh ditentukan dengan menayangkan titik pada paksi-y.
Mata ekstrem pada carta terbitan. Di mana hendak mencari?
Namun, semasa menyelesaikan masalah, kadangkala graf diberikan bukan fungsi, tetapi terbitannya. Untuk mengelakkan kesilapan bodoh secara tidak sengaja, adalah lebih baik anda membaca syarat dengan teliti, kerana ia bergantung pada tempat anda perlu mencari mata yang melampau.
Jadi, terbitan ialah kadar pertambahan serta-merta fungsi. Menurut definisi geometri, terbitan sepadan dengan cerun tangen, yang dilukis terus ke titik yang diberikan.
Adalah diketahui bahawa pada titik ekstrem tangen adalah selari dengan paksi Lembu. Ini bermakna cerunnya ialah 0.
Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa pada titik ekstrem terbitan terletak pada paksi-x atau lenyap. Tetapi sebagai tambahan, pada titik ini, fungsi mengubah arahnya. Iaitu, selepas tempoh peningkatan, ia mula berkurangan, dan derivatif, dengan itu, berubah dari positif kepada negatif. Atau sebaliknya.
Jika derivatif menjadi negatif daripada positif, ini ialah titik maksimum. Jika daripada negatif ia menjadi positif - titik minimum.
Penting: jika anda perlu menentukan titik minimum atau maksimum dalam tugasan, maka sebagai tindak balas anda harus menulis nilai yang sepadan di sepanjang paksi abscissa. Tetapi jika anda perlu mencari nilai fungsi, maka anda perlu menggantikan nilai argumen yang sepadan terlebih dahulu ke dalam fungsi dan mengiranya.
Bagaimana untuk mencari titik ekstrem menggunakan derivatif?
Contoh yang dipertimbangkan terutamanya merujuk kepada tugasan nombor 7 peperiksaan, yang melibatkan kerja dengan graf terbitan atau antiderivatif. Tetapi tugasan 12 USE - untuk mencari nilai terkecil fungsi pada segmen (kadangkala terbesar) - dilakukan tanpa sebarang lukisan dan memerlukan kemahiran asas dalam analisis matematik.
Untuk melaksanakannya, anda perlu dapat mencari titik ekstrem menggunakan derivatif. Algoritma untuk mencarinya adalah seperti berikut:
- Cari terbitan fungsi.
- Tetapkan kepada sifar.
- Cari punca-punca persamaan.
- Semak sama ada mata yang diperolehi adalah titik ekstrem atau infleksi.
Untuk melakukan ini, lukis gambar rajah dan seterusnyaselang yang terhasil menentukan tanda terbitan dengan menggantikan nombor kepunyaan segmen ke dalam terbitan. Jika, semasa menyelesaikan persamaan, anda mendapat punca gandaan berganda, ini adalah titik infleksi.
Menggunakan teorem, tentukan titik mana yang minimum dan yang mana maksimum
Kira nilai terkecil fungsi menggunakan terbitan
Walau bagaimanapun, setelah melakukan semua tindakan ini, kami akan menemui nilai titik minimum dan maksimum di sepanjang paksi-x. Tetapi bagaimana untuk mencari nilai terkecil fungsi pada segmen?
Apakah yang perlu dilakukan untuk mencari nombor yang sepadan dengan fungsi pada titik tertentu? Anda perlu menggantikan nilai hujah ke dalam formula ini.
Mata minimum dan maksimum sepadan dengan nilai terkecil dan terbesar bagi fungsi pada segmen. Jadi, untuk mencari nilai fungsi, anda perlu mengira fungsi menggunakan nilai x yang diperoleh.
Penting! Jika tugas memerlukan anda untuk menentukan titik minimum atau maksimum, maka sebagai tindak balas anda harus menulis nilai yang sepadan di sepanjang paksi-x. Tetapi jika anda perlu mencari nilai fungsi, maka anda mesti menggantikan nilai argumen yang sepadan terlebih dahulu ke dalam fungsi dan melaksanakan operasi matematik yang diperlukan.
Apakah yang perlu saya lakukan jika tiada tahap terendah pada segmen ini?
Tetapi bagaimanakah cara untuk mencari nilai terkecil fungsi pada segmen tanpa titik ekstrem?
Ini bermakna fungsi menurun atau meningkat secara monoton padanya. Kemudian anda perlu menggantikan nilai titik ekstrem segmen ini ke dalam fungsi. Terdapat dua cara.
1) Setelah mengiraterbitan dan selang di mana ia positif atau negatif, untuk membuat kesimpulan sama ada fungsi itu berkurangan atau meningkat pada segmen tertentu.
Selaras dengannya, gantikan nilai hujah yang lebih besar atau lebih kecil ke dalam fungsi.
2) Hanya gantikan kedua-dua titik ke dalam fungsi dan bandingkan nilai fungsi yang terhasil.
Di mana tugas mencari derivatif adalah pilihan
Sebagai peraturan, dalam tugasan USE, anda masih perlu mencari terbitan. Hanya terdapat beberapa pengecualian.
1) Parabola.
Puncak parabola ditemui oleh formula.
Jika a < 0, maka cabang parabola diarahkan ke bawah. Dan kemuncaknya ialah titik maksimum.
Jika > 0, maka cabang parabola diarahkan ke atas, bucu ialah titik minimum.
Setelah mengira titik bucu parabola, anda harus menggantikan nilainya ke dalam fungsi dan mengira nilai yang sepadan bagi fungsi tersebut.
2) Fungsi y=tg x. Atau y=ctg x.
Fungsi ini meningkat secara membosankan. Oleh itu, lebih besar nilai hujah, lebih besar nilai fungsi itu sendiri. Seterusnya, kita akan melihat cara mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen dengan contoh.
Jenis tugas utama
Task: nilai terbesar atau terkecil fungsi. Contoh pada carta.
Dalam gambar anda melihat graf terbitan bagi fungsi f (x) pada selang [-6; 6]. Pada titik manakah segmen [-3; 3] f(x) mengambil nilai terkecil?
Jadi, sebagai permulaan, anda harus memilih segmen yang ditentukan. Di atasnya, fungsi itu sekali mengambil nilai sifar dan menukar tandanya - ini adalah titik ekstrem. Oleh kerana terbitan daripada negatif menjadi positif, ini bermakna ini adalah titik minimum fungsi. Titik ini sepadan dengan nilai hujah 2.
Jawapan: 2.
Teruskan melihat contoh. Tugasan: cari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi pada segmen.
Cari nilai terkecil bagi fungsi y=(x - 8) ex-7 pada selang [6; 8].
1. Ambil terbitan fungsi kompleks.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Samakan terbitan yang terhasil kepada sifar dan selesaikan persamaan.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, atau ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, tiada punca
3. Gantikan nilai titik ekstrem ke dalam fungsi, serta punca persamaan yang diperolehi.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Jawapan: -1.
Jadi, dalam artikel ini, teori utama telah dipertimbangkan tentang cara mencari nilai terkecil fungsi pada segmen, yang diperlukan untuk berjaya menyelesaikan tugas USE dalam matematik khusus. Juga unsur-unsur matematikanalisis digunakan apabila menyelesaikan tugasan daripada bahagian C peperiksaan, tetapi jelas sekali ia mewakili tahap kerumitan yang berbeza, dan algoritma untuk penyelesaiannya sukar untuk dimuatkan ke dalam rangka kerja satu bahan.
