Topik "janjang aritmetik" dipelajari dalam kursus am algebra di sekolah-sekolah dalam gred 9. Topik ini penting untuk kajian yang lebih mendalam tentang matematik siri nombor. Dalam artikel ini, kita akan berkenalan dengan janjang aritmetik, perbezaannya, serta tugas biasa yang mungkin dihadapi oleh pelajar sekolah.
Konsep janjang algebra
Janjang angka ialah jujukan nombor di mana setiap elemen berikutnya boleh diperoleh daripada elemen sebelumnya, jika beberapa undang-undang matematik digunakan. Terdapat dua jenis janjang yang mudah: geometri dan aritmetik, yang juga dipanggil algebra. Mari kita fikirkan dengan lebih terperinci.
Mari bayangkan beberapa nombor rasional, nyatakan dengan simbol a1, di mana indeks menunjukkan nombor ordinalnya dalam siri yang sedang dipertimbangkan. Mari tambahkan beberapa nombor lain pada 1 , mari kita nyatakan d. Kemudian yang keduaelemen siri boleh dicerminkan seperti berikut: a2=a1+d. Sekarang tambah d lagi, kita dapat: a3=a2+d. Meneruskan operasi matematik ini, anda boleh mendapatkan satu siri nombor, yang akan dipanggil janjang aritmetik.
Seperti yang boleh difahami daripada di atas, untuk mencari unsur ke-n bagi jujukan ini, anda mesti menggunakan formula: a =a1+ (n -1)d. Malah, menggantikan n=1 ke dalam ungkapan, kita mendapat 1=a1, jika n=2, maka formula membayangkan: a2=a1 + 1d, dan seterusnya.
Sebagai contoh, jika perbezaan janjang aritmetik ialah 5, dan a1=1, maka ini bermakna siri nombor jenis yang dimaksudkan kelihatan seperti: 1, 6, 11, 16, 21, … Seperti yang anda lihat, setiap sebutannya lebih besar daripada yang sebelumnya sebanyak 5.
Rumus untuk perbezaan janjang aritmetik
Daripada takrifan siri nombor yang dipertimbangkan di atas, maka untuk menentukannya, anda perlu mengetahui dua nombor: a1 dan d. Yang terakhir dipanggil perbezaan perkembangan ini. Ia secara unik menentukan tingkah laku keseluruhan siri. Sesungguhnya, jika d adalah positif, maka siri nombor akan sentiasa meningkat, sebaliknya, dalam kes negatif d, nombor dalam siri akan meningkat hanya modulo, manakala nilai mutlaknya akan berkurangan dengan peningkatan nombor n.
Apakah perbezaan janjang aritmetik? Pertimbangkan dua formula utama yang digunakan untuk mengira nilai ini:
- d=an+1-a , formula ini mengikut terus daripada takrifan siri nombor berkenaan.
- d=(-a1+a)/(n-1), ungkapan ini diperolehi dengan menyatakan d daripada formula yang diberikan dalam perenggan sebelumnya artikel. Ambil perhatian bahawa ungkapan ini menjadi tak tentu (0/0) jika n=1. Ini disebabkan fakta bahawa anda perlu mengetahui sekurang-kurangnya 2 elemen siri untuk menentukan perbezaannya.
Dua formula asas ini digunakan untuk menyelesaikan sebarang masalah mencari perbezaan janjang. Walau bagaimanapun, terdapat formula lain yang juga perlu anda ketahui.
Jumlah elemen pertama
Formula yang boleh digunakan untuk menentukan jumlah sebarang bilangan ahli janjang algebra, menurut bukti sejarah, pertama kali diperoleh oleh "putera" matematik abad ke-18, Carl Gauss. Seorang saintis Jerman, semasa masih budak di gred rendah sekolah kampung, menyedari bahawa untuk menambah nombor asli dalam siri dari 1 hingga 100, anda mesti menjumlahkan elemen pertama dan yang terakhir dahulu (nilai yang terhasil akan sama kepada jumlah unsur kedua dan kedua, terakhir dan ketiga, dan seterusnya), dan kemudian nombor ini hendaklah didarabkan dengan bilangan jumlah ini, iaitu, dengan 50.
Formula yang mencerminkan hasil yang dinyatakan pada contoh tertentu boleh digeneralisasikan kepada kes sewenang-wenangnya. Ia akan kelihatan seperti ini: S =n/2(a +a1). Ambil perhatian bahawa untuk mencari nilai yang ditentukan, pengetahuan tentang perbezaan d tidak diperlukan,jika dua sebutan janjang diketahui (a dan a1).
Contoh 1. Tentukan perbezaan, mengetahui dua sebutan bagi siri a1 dan an
Mari tunjukkan cara menggunakan formula yang dinyatakan di atas dalam artikel. Mari kita berikan contoh mudah: perbezaan janjang aritmetik tidak diketahui, adalah perlu untuk menentukan apa yang akan sama dengan jika a13=-5, 6 dan a1 =-12, 1.
Memandangkan kita mengetahui nilai dua elemen bagi jujukan berangka, dan satu daripadanya ialah nombor pertama, kita boleh menggunakan formula No. 2 untuk menentukan perbezaan d. Kami mempunyai: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. Dalam ungkapan, kami menggunakan nilai n=13, kerana ahli dengan nombor siri ini ialah diketahui.
Perbezaan yang terhasil menunjukkan bahawa perkembangan semakin meningkat, walaupun pada hakikatnya unsur-unsur yang diberikan dalam keadaan masalah mempunyai nilai negatif. Dapat dilihat bahawa a13>a1, walaupun |a13|<|a 1 |.
Contoh 2. Ahli positif perkembangan dalam contoh 1
Mari gunakan hasil yang diperoleh dalam contoh sebelumnya untuk menyelesaikan masalah baharu. Ia dirumuskan seperti berikut: daripada nombor turutan apakah unsur-unsur janjang dalam contoh 1 mula mengambil nilai positif?
Seperti yang ditunjukkan, janjang di mana a1=-12, 1 dan d=0. 54167 semakin meningkat, jadi daripada beberapa nombor nombor akan mula mengambil positif sahaja nilai. Untuk menentukan nombor n ini, seseorang perlu menyelesaikan ketaksamaan mudah, iaituditulis secara matematik seperti berikut: a >0 atau, menggunakan formula yang sesuai, kami menulis semula ketaksamaan: a1 + (n-1)d>0. Ia adalah perlu untuk mencari n yang tidak diketahui, mari kita nyatakannya: n>-1a1/d + 1. Sekarang ia kekal untuk menggantikan nilai perbezaan yang diketahui dan ahli pertama daripada urutan itu. Kami mendapat: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 atau n>23, 338. Memandangkan n hanya boleh mengambil nilai integer, ia mengikuti daripada ketaksamaan yang terhasil bahawa mana-mana ahli siri yang akan mempunyai nombor lebih daripada 23 akan menjadi positif.
Semak jawapan anda dengan menggunakan formula di atas untuk mengira unsur ke-23 dan ke-24 janjang aritmetik ini. Kami mempunyai: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (nombor negatif); a24=-12, 1 + 230. 54167=0. 3584 (nilai positif). Oleh itu, keputusan yang diperoleh adalah betul: bermula dari n=24, semua ahli siri nombor akan lebih besar daripada sifar.
Contoh 3. Berapakah bilangan log yang muat?
Mari kita berikan satu masalah yang ingin tahu: semasa pembalakan, telah diputuskan untuk menyusun kayu balak di atas satu sama lain seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah. Berapakah bilangan log boleh disusun dengan cara ini, dengan mengetahui bahawa 10 baris akan dimuatkan secara keseluruhan?
Dengan cara menyusun log ini, anda dapat melihat satu perkara yang menarik: setiap baris berikutnya akan mengandungi satu log kurang daripada yang sebelumnya, iaitu, terdapat janjang algebra, yang perbezaannya ialah d=1. Dengan mengandaikan bahawa bilangan log dalam setiap baris adalah ahli janjang ini,dan juga memandangkan a1=1 (hanya satu log akan muat di bahagian paling atas), kami dapati nombor a10. Kami mempunyai: a10=1 + 1(10-1)=10. Iaitu, pada baris ke-10, yang terletak di atas tanah, akan terdapat 10 batang kayu.
Jumlah keseluruhan binaan "piramid" ini boleh diperoleh menggunakan formula Gauss. Kami mendapat: S10=10/2(10+1)=55 log.
