Matriks dan penentu ditemui pada abad kelapan belas dan kesembilan belas. Pada mulanya, perkembangan mereka melibatkan transformasi objek geometri dan penyelesaian sistem persamaan linear. Dari segi sejarah, penekanan awal adalah pada penentu. Dalam kaedah pemprosesan algebra linear moden, matriks dipertimbangkan terlebih dahulu. Soalan ini patut direnungkan seketika.
Jawapan daripada bidang pengetahuan ini
Matriks menyediakan cara yang berguna secara teori dan praktikal untuk menyelesaikan banyak masalah, seperti:
- sistem persamaan linear;
- keseimbangan pepejal (dalam fizik);
- teori graf;
- Model ekonomi Leontief;
- perhutanan;
- grafik dan tomografi komputer;
- genetik;
- kriptografi;
- rangkaian elektrik;
- fraktal.
Sebenarnya, algebra matriks untuk "dummies" mempunyai takrifan yang dipermudahkan. Ia dinyatakan seperti berikut: ini adalah bidang ilmu saintifik di mananilai yang dimaksudkan dikaji, dianalisis dan diterokai sepenuhnya. Dalam bahagian algebra ini, pelbagai operasi pada matriks yang dikaji dikaji.
Cara bekerja dengan matriks
Nilai ini dianggap sama jika ia mempunyai dimensi yang sama dan setiap elemen satu sama dengan elemen sepadan yang lain. Adalah mungkin untuk mendarab matriks dengan sebarang pemalar. Ini diberi dipanggil pendaraban skalar. Contoh: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Matriks dengan saiz yang sama boleh ditambah dan ditolak dengan input, dan nilai saiz yang serasi boleh didarabkan. Contoh: tambah dua A dan B: A=[21−10]B=[1423]. Ini mungkin kerana A dan B ialah kedua-dua matriks dengan dua baris dan bilangan lajur yang sama. Ia adalah perlu untuk menambah setiap elemen dalam A kepada elemen yang sepadan dalam B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Matriks ditolak dengan cara yang sama dalam algebra.
Pendaraban matriks berfungsi sedikit berbeza. Selain itu, terdapat banyak kes dan pilihan, serta penyelesaian. Jika kita darabkan matriks Apq dan Bmn, maka hasil darab Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. Entri dalam baris gth dan lajur hth AB ialah jumlah hasil darab entri yang sepadan dalam g A dan h B. Ia hanya mungkin untuk mendarab dua matriks jika bilangan lajur dalam pertama dan baris dalam kedua adalah sama. Contoh: penuhi syarat untuk dipertimbangkan A dan B: A=[1−130]B=[2−11214]. Ini mungkin kerana matriks pertama mengandungi 2 lajur dan yang kedua mengandungi 2 baris. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Maklumat asas tentang matriks
Nilai yang dipersoalkan menyusun maklumat seperti pembolehubah dan pemalar dan menyimpannya dalam baris dan lajur, biasanya dipanggil C. Setiap kedudukan dalam matriks dipanggil elemen. Contoh: C=[1234]. Terdiri daripada dua baris dan dua lajur. Elemen 4 berada dalam baris 2 dan lajur 2. Anda biasanya boleh menamakan matriks selepas dimensinya, yang dinamakan Cmk mempunyai m baris dan k lajur.
Matriks dikembangkan
Pertimbangan ialah perkara yang sangat berguna yang muncul dalam pelbagai bidang aplikasi yang berbeza. Matriks pada asalnya berdasarkan sistem persamaan linear. Memandangkan struktur ketaksamaan berikut, matriks pelengkap berikut perlu diambil kira:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Tuliskan pekali dan nilai jawapan, termasuk semua tanda tolak. Jika elemen dengan nombor negatif, maka ia akan sama dengan "1". Iaitu, memandangkan sistem persamaan (linear), adalah mungkin untuk mengaitkan matriks (grid nombor di dalam kurungan) dengannya. Ia adalah yang mengandungi hanya pekali sistem linear. Ini dipanggil "matriks berkembang". Grid yang mengandungi pekali dari sebelah kiri setiap persamaan telah "dilapisi" dengan jawapan dari sebelah kanan setiap persamaan.
Rekod, iaitunilai B matriks sepadan dengan nilai x-, y-, dan z dalam sistem asal. Sekiranya ia disusun dengan betul, maka periksa terlebih dahulu. Kadangkala anda perlu menyusun semula istilah atau memasukkan sifar sebagai ruang letak dalam matriks yang sedang dikaji atau dikaji.
Memandangkan sistem persamaan berikut, kita boleh segera menulis matriks tambahan yang berkaitan:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Pertama, pastikan anda menyusun semula sistem sebagai:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Maka adalah mungkin untuk menulis matriks yang berkaitan sebagai: [11000113-1012]. Apabila membentuk yang dilanjutkan, adalah berbaloi menggunakan sifar untuk sebarang rekod yang tempat yang sepadan dalam sistem persamaan linear kosong.
Algebra Matriks: Sifat Operasi
Jika perlu untuk membentuk elemen hanya daripada nilai pekali, maka nilai yang dipertimbangkan akan kelihatan seperti ini: [110011-101]. Ini dipanggil "matriks pekali".
Mengambil kira algebra matriks lanjutan berikut, adalah perlu untuk memperbaikinya dan menambah sistem linear yang berkaitan. Walau bagaimanapun, adalah penting untuk diingat bahawa mereka memerlukan pembolehubah disusun dengan baik dan kemas. Dan biasanya apabila terdapat tiga pembolehubah, gunakan x, y dan z dalam susunan itu. Oleh itu, sistem linear yang berkaitan hendaklah:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Saiz matriks
Item yang dipersoalkan sering dirujuk oleh prestasinya. Saiz matriks dalam algebra diberikan sebagaiukuran, kerana bilik boleh dipanggil secara berbeza. Ukuran nilai yang diukur ialah baris dan lajur, bukan lebar dan panjang. Contohnya, matriks A:
[1234]
[2345]
[3456].
Memandangkan A mempunyai tiga baris dan empat lajur, saiz A ialah 3 × 4.
→
↓
Garisan pergi ke sisi. Lajur naik dan turun. "Baris" dan "lajur" ialah spesifikasi dan tidak boleh ditukar ganti. Saiz matriks sentiasa ditentukan dengan bilangan baris dan kemudian bilangan lajur. Berikutan konvensyen ini, B berikut:
[123]
[234] ialah 2 × 3. Jika matriks mempunyai bilangan baris yang sama dengan lajur, maka ia dipanggil "segi empat". Sebagai contoh, nilai pekali dari atas:
[110]
[011]
[-101] ialah matriks 3×3 persegi.
Notasi dan pemformatan matriks
Nota pemformatan: Contohnya, apabila anda perlu menulis matriks, adalah penting untuk menggunakan kurungan . Bar nilai mutlak || tidak digunakan kerana ia mempunyai arah yang berbeza dalam konteks ini. Tanda kurung atau kurungan kerinting {} tidak pernah digunakan. Atau beberapa simbol kumpulan lain, atau tiada langsung, kerana pembentangan ini tidak mempunyai apa-apa makna. Dalam algebra, matriks sentiasa berada di dalam kurungan segi empat sama. Hanya notasi yang betul mesti digunakan, atau jawapan boleh dianggap bercelaru.
Seperti yang dinyatakan sebelum ini, nilai yang terkandung dalam matriks dipanggil rekod. Atas sebab apa pun, unsur-unsur yang dimaksudkan biasanya ditulishuruf besar, seperti A atau B, dan entri ditentukan menggunakan huruf kecil yang sepadan, tetapi dengan subskrip. Dalam matriks A, nilai biasanya dipanggil "ai, j", di mana i ialah baris A dan j ialah lajur A. Contohnya, a3, 2=8. Entri untuk a1, 3 ialah 3.
Untuk matriks yang lebih kecil, yang mempunyai kurang daripada sepuluh baris dan lajur, koma subskrip kadangkala ditinggalkan. Contohnya, "a1, 3=3" boleh ditulis sebagai "a13=3". Jelas sekali ini tidak akan berfungsi untuk matriks besar kerana a213 akan menjadi tidak jelas.
Jenis matriks
Kadangkala dikelaskan mengikut konfigurasi rekod mereka. Sebagai contoh, matriks sedemikian yang mempunyai semua entri sifar di bawah "pepenjuru" atas-kiri-bawah-kanan pepenjuru dipanggil segi tiga atas. Antara lain, mungkin ada jenis dan jenis lain, tetapi ia tidak begitu berguna. Secara amnya, kebanyakannya dianggap sebagai segi tiga atas. Nilai dengan eksponen bukan sifar hanya secara mendatar dipanggil nilai pepenjuru. Jenis yang serupa mempunyai entri bukan sifar di mana semuanya adalah 1, jawapan sedemikian dipanggil sama (atas sebab yang akan menjadi jelas apabila ia dipelajari dan difahami bagaimana untuk mendarabkan nilai yang dipersoalkan). Terdapat banyak petunjuk penyelidikan yang serupa. Identiti 3 × 3 dilambangkan dengan I3. Begitu juga, identiti 4 × 4 ialah I4.
Algebra Matriks dan Ruang Linear
Perhatikan bahawa matriks segi tiga ialah segi empat sama. Tetapi pepenjuru adalah segi tiga. Memandangkan ini, mereka adalahsegi empat sama. Dan identiti dianggap pepenjuru dan, oleh itu, segi tiga dan segi empat sama. Apabila ia diperlukan untuk menerangkan matriks, seseorang biasanya hanya menentukan klasifikasi sendiri yang paling khusus, kerana ini membayangkan semua yang lain. Kelaskan pilihan penyelidikan berikut:sebagai 3 × 4. Dalam kes ini, ia bukan segi empat sama. Oleh itu, nilai tidak boleh menjadi apa-apa lagi. Klasifikasi berikut:mungkin sebagai 3 × 3. Tetapi ia dianggap segi empat sama, dan tiada apa-apa yang istimewa mengenainya. Pengelasan data berikut:sebagai 3 × 3 segi tiga atas, tetapi ia bukan pepenjuru. Benar, dalam nilai yang sedang dipertimbangkan mungkin terdapat sifar tambahan pada atau di atas ruang yang terletak dan ditunjukkan. Klasifikasi yang dikaji adalah lebih lanjut: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], di mana ia diwakili sebagai pepenjuru dan, lebih-lebih lagi, semua entri adalah 1. Maka ini ialah identiti 3 × 3, I3.
Memandangkan matriks analog mengikut takrifan segi empat sama, anda hanya perlu menggunakan satu indeks untuk mencari dimensinya. Untuk dua matriks menjadi sama, ia mesti mempunyai parameter yang sama dan mempunyai entri yang sama di tempat yang sama. Sebagai contoh, katakan terdapat dua elemen yang sedang dipertimbangkan: A=[1 3 0] [-2 0 0] dan B=[1 3] [-2 0]. Nilai ini tidak boleh sama kerana ia berbeza dari segi saiz.
Walaupun A dan B ialah: A=[3 6] [2 5] [1 4] dan B=[1 2 3] [4 5 6] - mereka masih tidak sama benda yang sama. A dan B masing-masing adaenam entri dan juga mempunyai nombor yang sama, tetapi ini tidak mencukupi untuk matriks. A ialah 3×2. Dan B ialah matriks 2×3. A untuk 3×2 bukan 2×3. Tidak kira sama ada A dan B mempunyai jumlah data yang sama atau nombor yang sama dengan rekod. Jika A dan B tidak sama saiz dan bentuk, tetapi mempunyai nilai yang sama di tempat yang serupa, ia tidak sama.
Operasi serupa di kawasan yang sedang dipertimbangkan
Sifat kesamaan matriks ini boleh diubah menjadi tugas untuk penyelidikan bebas. Sebagai contoh, dua matriks diberikan, dan ia ditunjukkan bahawa ia adalah sama. Dalam kes ini, anda perlu menggunakan kesamaan ini untuk meneroka dan mendapatkan jawapan bagi nilai pembolehubah.
Contoh dan penyelesaian matriks dalam algebra boleh dipelbagaikan, terutamanya apabila ia melibatkan kesamaan. Memandangkan matriks berikut dipertimbangkan, adalah perlu untuk mencari nilai x dan y. Untuk A dan B adalah sama, mereka mestilah saiz dan bentuk yang sama. Malah, mereka sedemikian, kerana setiap daripada mereka adalah 2 × 2 matriks. Dan mereka sepatutnya mempunyai nilai yang sama di tempat yang sama. Kemudian a1, 1 mesti sama dengan b1, 1, a1, 2 mesti sama dengan b1, 2, dan seterusnya. mereka). Tetapi, a1, 1=1 jelas tidak sama dengan b1, 1=x. Untuk A sama dengan B, entri mesti mempunyai a1, 1=b1, 1, jadi ia mampu menjadi 1=x. Begitu juga, indeks a2, 2=b2, 2, jadi 4=y. Maka penyelesaiannya ialah: x=1, y=4. Diberi bahawa yang berikutmatriks adalah sama, anda perlu mencari nilai x, y dan z. Untuk mempunyai A=B, pekali mesti mempunyai semua entri sama. Iaitu, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 dan seterusnya. Khususnya, mesti:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Seperti yang anda boleh lihat daripada matriks yang dipilih: dengan 1, 1-, 2, 2- dan 3, 1-elemen. Menyelesaikan ketiga-tiga persamaan ini, kita mendapat jawapan: x=4, y=-6 dan z=9. Algebra matriks dan operasi matriks adalah berbeza daripada kebiasaan semua orang, tetapi ia tidak boleh dihasilkan semula.
Maklumat tambahan di kawasan ini
Algebra matriks linear ialah kajian tentang set persamaan yang serupa dan sifat transformasinya. Bidang pengetahuan ini membolehkan anda menganalisis putaran dalam ruang, anggaran kuasa dua terkecil, menyelesaikan persamaan pembezaan yang berkaitan, menentukan bulatan yang melalui tiga titik tertentu dan menyelesaikan banyak masalah lain dalam matematik, fizik dan teknologi. Algebra linear matriks sebenarnya bukanlah pengertian teknikal bagi perkataan yang digunakan, iaitu, ruang vektor v di atas medan f, dsb.
Matriks dan penentu ialah alatan algebra linear yang sangat berguna. Salah satu tugas utama ialah penyelesaian persamaan matriks Ax=b, untuk x. Walaupun ini secara teorinya boleh diselesaikan menggunakan songsang x=A-1 b. Kaedah lain, seperti penyingkiran Gaussian, secara numerik lebih dipercayai.
Selain digunakan untuk menerangkan kajian set persamaan linear,istilah di atas juga digunakan untuk menerangkan jenis algebra tertentu. Khususnya, L di atas medan F mempunyai struktur cincin dengan semua aksiom biasa untuk penambahan dan pendaraban dalaman, bersama-sama dengan undang-undang taburan. Oleh itu, ia memberikan lebih banyak struktur daripada cincin. Algebra matriks linear juga menerima operasi luar pendaraban dengan skalar yang merupakan unsur-unsur medan asas F. Sebagai contoh, set semua transformasi yang dipertimbangkan daripada ruang vektor V kepada dirinya sendiri di atas medan F dibentuk di atas F. Satu lagi contoh linear algebra ialah set semua matriks kuasa dua nyata di atas medan R nombor nyata.
