Untuk mencari fungsi taburan pembolehubah rawak dan pembolehubahnya, adalah perlu untuk mengkaji semua ciri bidang pengetahuan ini. Terdapat beberapa kaedah yang berbeza untuk mencari nilai yang dipersoalkan, termasuk menukar pembolehubah dan menjana momen. Pengagihan ialah konsep berdasarkan unsur-unsur seperti penyebaran, variasi. Walau bagaimanapun, ia hanya mencirikan tahap amplitud serakan.
Fungsi pembolehubah rawak yang lebih penting ialah yang berkaitan dan tidak bersandar, dan teragih sama. Sebagai contoh, jika X1 ialah berat individu yang dipilih secara rawak daripada populasi lelaki, X2 ialah berat satu lagi, …, dan Xn ialah berat seorang lagi daripada populasi lelaki, maka kita perlu tahu bagaimana fungsi rawak X diedarkan. Dalam kes ini, teorem klasik yang dipanggil teorem had pusat digunakan. Ia membolehkan anda menunjukkan bahawa untuk besar n fungsi mengikut pengedaran standard.
Fungsi satu pembolehubah rawak
Teorem Had Pusat adalah untuk menganggarkan nilai diskret yang sedang dipertimbangkan seperti binomial dan Poisson. Fungsi taburan pembolehubah rawak dipertimbangkan, pertama sekali, pada nilai mudah satu pembolehubah. Contohnya, jika X ialah pembolehubah rawak berterusan yang mempunyai taburan kebarangkalian sendiri. Dalam kes ini, kita meneroka bagaimana untuk mencari fungsi ketumpatan Y menggunakan dua pendekatan berbeza, iaitu kaedah fungsi taburan dan perubahan dalam pembolehubah. Pertama, hanya nilai satu dengan satu yang dipertimbangkan. Kemudian anda perlu mengubah suai teknik menukar pembolehubah untuk mencari kebarangkaliannya. Akhir sekali, kita perlu mempelajari cara fungsi taburan kumulatif songsang boleh membantu memodelkan nombor rawak yang mengikut corak turutan tertentu.
Kaedah pengagihan nilai yang dipertimbangkan
Kaedah fungsi taburan kebarangkalian pembolehubah rawak boleh digunakan untuk mencari ketumpatannya. Apabila menggunakan kaedah ini, nilai terkumpul dikira. Kemudian, dengan membezakannya, anda boleh mendapatkan ketumpatan kebarangkalian. Sekarang kita mempunyai kaedah fungsi pengedaran, kita boleh melihat beberapa lagi contoh. Biarkan X ialah pembolehubah rawak berterusan dengan ketumpatan kebarangkalian tertentu.
Apakah fungsi ketumpatan kebarangkalian bagi x2? Jika anda melihat atau graf fungsi (atas dan kanan) y \u003d x2, anda boleh ambil perhatian bahawa ia adalah peningkatan X dan 0 <y<1. Sekarang anda perlu menggunakan kaedah yang dipertimbangkan untuk mencari Y. Pertama, fungsi taburan kumulatif ditemui, anda hanya perlu membezakan untuk mendapatkan ketumpatan kebarangkalian. Dengan berbuat demikian, kami mendapat: 0<y<1. Kaedah pengedaran telah berjaya dilaksanakan untuk mencari Y apabila Y ialah fungsi yang semakin meningkat bagi X. Dengan cara ini, f(y) bergabung menjadi 1 atas y.
Dalam contoh terakhir, berhati-hati digunakan untuk mengindeks fungsi terkumpul dan ketumpatan kebarangkalian dengan sama ada X atau Y untuk menunjukkan pembolehubah rawak yang mana ia tergolong. Contohnya, apabila mencari fungsi taburan kumulatif Y, kami mendapat X. Jika anda perlu mencari pembolehubah rawak X dan ketumpatannya, maka anda hanya perlu membezakannya.
Teknik Perubahan Boleh Ubah
Biar X ialah pembolehubah rawak berterusan yang diberikan oleh fungsi taburan dengan penyebut sepunya f (x). Dalam kes ini, jika anda meletakkan nilai y dalam X=v (Y), maka anda mendapat nilai x, contohnya v (y). Sekarang, kita perlu mendapatkan fungsi taburan pembolehubah rawak berterusan Y. Di mana kesamaan pertama dan kedua berlaku daripada takrifan kumulatif Y. Kesamaan ketiga berlaku kerana bahagian fungsi yang u (X) ≦ y adalah juga benar bahawa X ≦ v (Y). Dan yang terakhir dilakukan untuk menentukan kebarangkalian dalam pembolehubah rawak berterusan X. Sekarang kita perlu mengambil terbitan FY (y), fungsi taburan kumulatif Y, untuk mendapatkan ketumpatan kebarangkalian Y.
Generalisasi untuk fungsi penurunan
Biar X ialah pembolehubah rawak berterusan dengan f (x) sepunya ditakrifkan di atas c1<x<c2. Dan biarkan Y=u (X) ialah fungsi menurun bagi X dengan songsang X=v (Y). Oleh kerana fungsi itu berterusan dan berkurangan, terdapat fungsi songsang X=v (Y).
Untuk menangani isu ini, anda boleh mengumpul data kuantitatif dan menggunakan fungsi pengedaran kumulatif empirikal. Dengan maklumat ini dan menariknya, anda perlu menggabungkan sampel cara, sisihan piawai, data media dan sebagainya.
Begitu juga, walaupun model kebarangkalian yang agak mudah boleh mempunyai sejumlah besar hasil. Contohnya, jika anda membelek syiling sebanyak 332 kali. Kemudian bilangan hasil yang diperoleh daripada flips adalah lebih besar daripada google (10100) - satu nombor, tetapi tidak kurang daripada 100 quintillion kali lebih tinggi daripada zarah asas di alam semesta yang diketahui. Tidak berminat dengan analisis yang memberikan jawapan kepada setiap kemungkinan hasil. Konsep yang lebih mudah diperlukan, seperti bilangan kepala, atau pukulan ekor terpanjang. Untuk memberi tumpuan kepada isu yang diminati, keputusan khusus diterima. Takrifan dalam kes ini adalah seperti berikut: pembolehubah rawak ialah fungsi sebenar dengan ruang kebarangkalian.
Julat S pembolehubah rawak kadangkala dipanggil ruang keadaan. Oleh itu, jika X ialah nilai yang dimaksudkan, maka N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc, dan seterusnya. Yang terakhir ini, membundarkan X kepada nombor bulat terdekat, dipanggil fungsi lantai.
Fungsi pengedaran
Setelah fungsi taburan faedah untuk pembolehubah rawak x ditentukan, soalan biasanya menjadi: "Apakah kemungkinan X jatuh ke dalam beberapa subset nilai B?". Contohnya, B={nombor ganjil}, B={lebih besar daripada 1}, atau B={antara 2 dan 7} untuk menunjukkan keputusan yang mempunyai X, nilaipembolehubah rawak, dalam subset A. Oleh itu, dalam contoh di atas, anda boleh menerangkan peristiwa seperti berikut.
{X ialah nombor ganjil}, {X lebih besar daripada 1}={X> 1}, {X antara 2 dan 7}={2 <X <7} untuk memadankan tiga pilihan di atas untuk subset B. Banyak sifat kuantiti rawak tidak berkaitan dengan X tertentu. Sebaliknya, ia bergantung pada cara X memperuntukkan nilainya. Ini membawa kepada definisi yang berbunyi seperti ini: fungsi taburan pembolehubah rawak x adalah terkumpul dan ditentukan oleh pemerhatian kuantitatif.
Pembolehubah rawak dan fungsi pengedaran
Oleh itu, anda boleh mengira kebarangkalian bahawa fungsi taburan pembolehubah rawak x akan mengambil nilai dalam selang dengan penolakan. Fikirkan tentang memasukkan atau mengecualikan titik akhir.
Kami akan memanggil pembolehubah rawak diskret jika ia mempunyai ruang keadaan terhingga atau terbilang tak terhingga. Oleh itu, X ialah bilangan kepala pada tiga lambungan bebas bagi syiling pincang yang meningkat dengan kebarangkalian p. Kita perlu mencari fungsi taburan kumulatif bagi pembolehubah rawak diskret FX untuk X. Biarkan X ialah bilangan puncak dalam koleksi tiga kad. Kemudian Y=X3 melalui FX. FX bermula pada 0, berakhir pada 1, dan tidak berkurang apabila nilai x meningkat. Fungsi taburan FX kumulatif pembolehubah rawak diskret X adalah malar, kecuali lompatan. Apabila melompat FX adalah berterusan. Buktikan pernyataan tentang yang betulkesinambungan fungsi taburan daripada sifat kebarangkalian adalah mungkin menggunakan definisi. Bunyinya seperti ini: pembolehubah rawak malar mempunyai FX terkumpul yang boleh dibezakan.
Untuk menunjukkan cara ini boleh berlaku, kami boleh memberikan contoh: sasaran dengan jejari unit. agaknya. dart diagihkan sama rata ke atas kawasan yang ditentukan. Untuk beberapa λ> 0. Oleh itu, fungsi taburan pembolehubah rawak berterusan meningkat dengan lancar. FX mempunyai sifat fungsi pengedaran.
Seorang lelaki menunggu di perhentian bas sehingga bas tiba. Setelah membuat keputusan sendiri bahawa dia akan menolak apabila penantian mencecah 20 minit. Di sini adalah perlu untuk mencari fungsi pengedaran kumulatif untuk T. Masa apabila seseorang masih berada di stesen bas atau tidak akan pergi. Walaupun pada hakikatnya fungsi taburan kumulatif ditakrifkan untuk setiap pembolehubah rawak. Walau bagaimanapun, ciri-ciri lain akan digunakan agak kerap: jisim untuk pembolehubah diskret dan fungsi ketumpatan taburan pembolehubah rawak. Biasanya nilai dikeluarkan melalui salah satu daripada dua nilai ini.
Fungsi jisim
Nilai ini dipertimbangkan oleh sifat berikut, yang mempunyai watak umum (jisim). Yang pertama adalah berdasarkan fakta bahawa kebarangkalian tidak negatif. Yang kedua berikutan daripada pemerhatian bahawa set untuk semua x=2S, ruang keadaan untuk X, membentuk sekatan kebebasan kebarangkalian X. Contoh: melambung syiling pincang yang hasilnya bebas. Anda boleh terus lakukantindakan tertentu sehingga anda mendapat segulung kepala. Biarkan X menandakan pembolehubah rawak yang memberikan bilangan ekor di hadapan kepala pertama. Dan p menandakan kebarangkalian dalam mana-mana tindakan tertentu.
Jadi, fungsi kebarangkalian jisim mempunyai ciri ciri berikut. Oleh kerana istilah membentuk urutan berangka, X dipanggil pembolehubah rawak geometri. Skema geometri c, cr, cr2,.,,, crn mempunyai jumlah. Dan, oleh itu, sn mempunyai had sebagai n 1. Dalam kes ini, jumlah tak terhingga ialah had.
Fungsi jisim di atas membentuk jujukan geometri dengan nisbah. Oleh itu, nombor asli a dan b. Perbezaan dalam nilai dalam fungsi taburan adalah sama dengan nilai fungsi jisim.
Nilai ketumpatan yang dipertimbangkan mempunyai definisi: X ialah pembolehubah rawak yang taburan FXnya mempunyai terbitan. FX memuaskan Z xFX (x)=fX (t) dt-1 dipanggil fungsi ketumpatan kebarangkalian. Dan X dipanggil pembolehubah rawak selanjar. Dalam teorem asas kalkulus, fungsi ketumpatan ialah terbitan taburan. Anda boleh mengira kebarangkalian dengan mengira kamiran pasti.
Oleh kerana data dikumpul daripada berbilang pemerhatian, lebih daripada satu pembolehubah rawak pada satu masa mesti dipertimbangkan untuk memodelkan prosedur eksperimen. Oleh itu, set nilai ini dan taburan bersama mereka untuk dua pembolehubah X1 dan X2 bermakna melihat peristiwa. Untuk pembolehubah rawak diskret, fungsi jisim probabilistik bersama ditakrifkan. Untuk yang berterusan, fX1, X2 dianggap, di manaketumpatan kebarangkalian bersama berpuas hati.
Pembolehubah rawak bebas
Dua pembolehubah rawak X1 dan X2 adalah tidak bersandar jika mana-mana dua peristiwa yang dikaitkan dengannya adalah sama. Dalam perkataan, kebarangkalian bahawa dua peristiwa {X1 2 B1} dan {X2 2 B2} berlaku pada masa yang sama, y, adalah sama dengan hasil darab pembolehubah di atas, bahawa setiap satu daripadanya berlaku secara individu. Untuk pembolehubah rawak diskret bebas, terdapat fungsi jisim kebarangkalian bersama, yang merupakan hasil darab isipadu ion mengehadkan. Untuk pembolehubah rawak berterusan yang bebas, fungsi ketumpatan kebarangkalian bersama ialah hasil darab nilai ketumpatan marginal. Akhir sekali, kami menganggap n cerapan bebas x1, x2,.,,, xn timbul daripada ketumpatan atau fungsi jisim yang tidak diketahui f. Contohnya, parameter yang tidak diketahui dalam fungsi untuk pembolehubah rawak eksponen yang menerangkan masa menunggu untuk bas.
Tiruan pembolehubah rawak
Matlamat utama bidang teori ini adalah untuk menyediakan alat yang diperlukan untuk membangunkan prosedur inferens berdasarkan prinsip sains statistik yang kukuh. Oleh itu, satu kes penggunaan yang sangat penting untuk perisian adalah keupayaan untuk menjana pseudo-data untuk meniru maklumat sebenar. Ini memungkinkan untuk menguji dan menambah baik kaedah analisis sebelum perlu menggunakannya dalam pangkalan data sebenar. Ini diperlukan untuk meneroka sifat data melaluipemodelan. Bagi kebanyakan keluarga pembolehubah rawak yang biasa digunakan, R menyediakan arahan untuk menjananya. Untuk keadaan lain, kaedah untuk memodelkan jujukan pembolehubah rawak bebas yang mempunyai taburan sepunya akan diperlukan.
Pembolehubah rawak diskret dan corak Perintah. Perintah sampel digunakan untuk mencipta sampel rawak yang mudah dan berstrata. Akibatnya, jika urutan x adalah input, sampel(x, 40) memilih 40 rekod daripada x supaya semua pilihan saiz 40 mempunyai kebarangkalian yang sama. Ini menggunakan arahan R lalai untuk mengambil tanpa penggantian. Juga boleh digunakan untuk memodelkan pembolehubah rawak diskret. Untuk melakukan ini, anda perlu menyediakan ruang keadaan dalam vektor x dan fungsi jisim f. Panggilan untuk menggantikan=TRUE menunjukkan bahawa pensampelan berlaku dengan penggantian. Kemudian, untuk memberikan sampel n pembolehubah rawak bebas yang mempunyai fungsi jisim sepunya f, sampel (x, n, ganti=BENAR, prob=f) digunakan.
Tentukan bahawa 1 adalah nilai terkecil yang diwakili dan 4 adalah yang terbesar daripada semua. Jika perintah prob=f ditinggalkan, maka sampel akan mengambil sampel secara seragam daripada nilai dalam vektor x. Anda boleh menyemak simulasi terhadap fungsi jisim yang menjana data dengan melihat tanda sama berganda,==. Dan mengira semula pemerhatian yang mengambil setiap nilai yang mungkin untuk x. Anda boleh membuat meja. Ulangi ini untuk 1000 dan bandingkan simulasi dengan fungsi jisim yang sepadan.
Ilustrasi transformasi kebarangkalian
Pertamasimulasi fungsi taburan homogen pembolehubah rawak u1, u2,.,,, un pada selang [0, 1]. Kira-kira 10% daripada nombor hendaklah dalam lingkungan [0, 3, 0, 4]. Ini sepadan dengan 10% simulasi pada selang [0, 28, 0, 38] untuk pembolehubah rawak dengan fungsi taburan FX ditunjukkan. Begitu juga, kira-kira 10% daripada nombor rawak harus berada dalam selang [0, 7, 0, 8]. Ini sepadan dengan 10% simulasi pada selang [0, 96, 1, 51] pembolehubah rawak dengan fungsi taburan FX. Nilai ini pada paksi x boleh diperolehi dengan mengambil songsangan daripada FX. Jika X ialah pembolehubah rawak berterusan dengan ketumpatan fX positif di mana-mana dalam domainnya, maka fungsi taburan meningkat dengan tegas. Dalam kes ini, FX mempunyai fungsi FX-1 songsang yang dikenali sebagai fungsi kuantil. FX (x) u hanya apabila x FX-1 (u). Penjelmaan kebarangkalian berikutan daripada analisis pembolehubah rawak U=FX (X).
FX mempunyai julat 0 hingga 1. Ia tidak boleh di bawah 0 atau di atas 1. Untuk nilai u antara 0 dan 1. Jika U boleh disimulasikan, maka pembolehubah rawak dengan taburan FX perlu disimulasikan melalui fungsi kuantil. Ambil derivatif untuk melihat bahawa ketumpatan u berbeza-beza dalam 1. Oleh kerana pembolehubah rawak U mempunyai ketumpatan malar sepanjang selang nilai yang mungkin, ia dipanggil seragam pada selang [0, 1]. Ia dimodelkan dalam R dengan arahan runif. Identiti itu dipanggil transformasi kebarangkalian. Anda boleh melihat cara ia berfungsi dalam contoh papan dart. X antara 0 dan 1, fungsitaburan u=FX (x)=x2, dan oleh itu fungsi kuantil x=FX-1 (u). Adalah mungkin untuk memodelkan pemerhatian bebas jarak dari pusat panel dart, dan dengan itu mencipta pembolehubah rawak seragam U1, U2,.,, Un. Fungsi pengedaran dan fungsi empirikal adalah berdasarkan 100 simulasi pengedaran papan dart. Untuk pembolehubah rawak eksponen, mungkin u=FX (x)=1 - exp (- x), dan oleh itu x=- 1 ln (1 - u). Kadangkala logik terdiri daripada pernyataan yang setara. Dalam kes ini, anda perlu menggabungkan dua bahagian hujah. Identiti persilangan adalah serupa untuk semua 2 {S i i} S, bukannya beberapa nilai. Kesatuan Ci adalah sama dengan ruang keadaan S dan setiap pasangan adalah saling eksklusif. Sejak Bi - dibahagikan kepada tiga aksiom. Setiap semakan adalah berdasarkan kebarangkalian P yang sepadan. Untuk sebarang subset. Menggunakan identiti untuk memastikan jawapan tidak bergantung pada sama ada titik akhir selang disertakan.
Fungsi eksponen dan pembolehubahnya
Untuk setiap hasil dalam semua peristiwa, sifat kedua bagi kesinambungan kebarangkalian akhirnya digunakan, yang dianggap aksiomatik. Hukum taburan fungsi pembolehubah rawak di sini menunjukkan bahawa setiap satu mempunyai penyelesaian dan jawapannya sendiri.
