Kawasan kon terpenggal. Formula dan contoh masalah

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-17 05:36

Angka revolusi dalam geometri diberi perhatian khusus apabila mengkaji ciri dan sifatnya. Salah satunya ialah kon terpotong. Artikel ini bertujuan untuk menjawab soalan apakah formula yang boleh digunakan untuk mengira luas kon terpenggal.

Angka manakah yang kita bincangkan?

Sebelum menerangkan luas kon terpotong, adalah perlu untuk memberikan definisi geometri yang tepat bagi rajah ini. Dipenggal adalah kon seperti itu, yang diperoleh hasil daripada memotong puncak kon biasa oleh satah. Dalam definisi ini, beberapa nuansa harus ditekankan. Pertama, satah keratan mesti selari dengan satah tapak kon. Kedua, angka asal mestilah kon bulat. Sudah tentu, ia boleh menjadi bentuk elips, hiperbolik dan jenis lain, tetapi dalam artikel ini kita akan menyekat diri kita untuk mempertimbangkan hanya kon bulat. Yang terakhir ditunjukkan dalam rajah di bawah.

Mudah untuk meneka bahawa ia boleh diperolehi bukan sahaja dengan bantuan bahagian oleh pesawat, tetapi juga dengan bantuan operasi putaran. UntukUntuk melakukan ini, anda perlu mengambil trapezoid yang mempunyai dua sudut tepat dan putarkannya di sekeliling sisi yang bersebelahan dengan sudut tepat ini. Akibatnya, tapak trapezoid akan menjadi jejari tapak kon terpotong, dan sisi condong sisi trapezoid akan menggambarkan permukaan kon.

Pembangunan bentuk

Memandangkan luas permukaan kon terpenggal, adalah berguna untuk membawa perkembangannya, iaitu, imej permukaan rajah tiga dimensi pada satah. Di bawah ialah imbasan angka yang dikaji dengan parameter sewenang-wenangnya.

Ia boleh dilihat bahawa luas rajah itu dibentuk oleh tiga komponen: dua bulatan dan satu segmen bulatan terpotong. Jelas sekali, untuk menentukan kawasan yang diperlukan, adalah perlu untuk menambah kawasan semua angka yang dinamakan. Mari selesaikan masalah ini dalam perenggan seterusnya.

Kawasan kon terpotong

Untuk memudahkan anda memahami alasan berikut, kami memperkenalkan tatatanda berikut:

• r1, r2 - jejari masing-masing tapak besar dan kecil;
• h - ketinggian angka;
• g - generatriks kon (panjang sisi serong trapezoid).

Luas tapak kon terpotong mudah dikira. Mari tulis ungkapan yang sepadan:

S_o1=pir₁²;

S_o2=pir₂².

Luas sebahagian daripada segmen bulat agak lebih sukar untuk ditentukan. Jika kita bayangkan bahawa pusat sektor bulat ini tidak dipotong, maka jejarinya akan sama dengan nilai G. Tidak sukar untuk mengiranya jika kita mempertimbangkan yang sepadansegi tiga kon bersudut tegak yang serupa. Ia sama dengan:

G=r₁g/(r₁-r₂).

Kemudian luas keseluruhan sektor bulatan, yang dibina pada jejari G dan yang bergantung pada lengkok panjang 2pir₁, akan sama kepada:

S₁=pir₁G=pir₁ ²g/(r₁-r₂).

Sekarang mari tentukan luas sektor bulat kecil S₂, yang perlu ditolak daripada S₁. Ia sama dengan:

S₂=pir₂(G - g)=pir_{2 (r}1_g/(r1_-r2_{) - g)=pir}22^g/(r1_-r2 _).

Luas permukaan terpotong kon S_bsama dengan perbezaan antara S₁ dan S ₂. Kami mendapat:

S_b=S₁- S₂=pir ₁²g/(r₁-r₂) - pi r₂²g/(r₁-r_2)=pig(r1_+r2_).

Walaupun beberapa pengiraan yang menyusahkan, kami mendapat ungkapan yang agak mudah untuk luas permukaan sisi rajah.

Menambahkan kawasan tapak dan S_b, kami sampai pada formula untuk luas kon terpenggal:

S=S_o1+ S_o2+ S_b=pir 12 ^{+ pir}22 ^{+ pig (r}1_+r2_).

Oleh itu, untuk mengira nilai S bagi rajah yang dikaji, anda perlu mengetahui tiga parameter linearnya.

Contoh masalah

Kon lurus bulatdengan jejari 10 cm dan ketinggian 15 cm telah dipotong oleh satah supaya sebuah kon terpenggal sekata diperolehi. Mengetahui bahawa jarak antara tapak rajah terpotong ialah 10 cm, adalah perlu untuk mencari luas permukaannya.

Untuk menggunakan formula bagi luas kon terpenggal, anda perlu mencari tiga parameternya. Satu yang kami tahu:

r₁=10 sm.

Dua yang lain mudah dikira jika kita mempertimbangkan segi tiga bersudut tegak yang serupa, yang diperoleh hasil daripada bahagian paksi kon. Dengan mengambil kira keadaan masalah, kami mendapat:

r₂=105/15=3.33 sm.

Akhir sekali, panduan kon terpotong g ialah:

g=√(10²+ (r₁-r₂) ²)=12.02 sm.

Kini anda boleh menggantikan nilai r₁, r₂ dan g ke dalam formula untuk S:

S=pir₁²+ pir₂ 2^{+ pig(r}1_+r2_{)=851.93 sm} 2.

Luas permukaan rajah yang dikehendaki ialah lebih kurang 852 cm².