Apakah ini - kon? Definisi, sifat, formula dan contoh penyelesaian masalah

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-01-02 17:53

Kon ialah salah satu angka spatial putaran, ciri dan sifatnya dikaji oleh stereometri. Dalam artikel ini, kami akan mentakrifkan angka ini dan mempertimbangkan formula asas yang menghubungkan parameter linear kon dengan luas permukaan dan isipadunya.

Apakah itu kon?

Dari sudut pandangan geometri, kita bercakap tentang rajah spatial, yang dibentuk oleh satu set segmen lurus yang menghubungkan titik tertentu dalam ruang dengan semua titik lengkung rata yang licin. Lengkung ini boleh menjadi bulatan atau elips. Rajah di bawah menunjukkan sebuah kon.

Angka yang dibentangkan tidak mempunyai isipadu, kerana dinding permukaannya mempunyai ketebalan yang tidak terhingga. Walau bagaimanapun, jika ia diisi dengan bahan dan dibatasi dari atas bukan oleh lengkung, tetapi oleh rajah rata, sebagai contoh, bulatan, maka kita akan mendapat jasad isipadu pepejal, yang juga biasa dipanggil kon.

Bentuk kon sering dijumpai dalam kehidupan. Jadi, ia mempunyai kon aiskrim atau kon trafik hitam dan oren berjalur yang diletakkan di atas jalan untuk menarik perhatian peserta trafik.

Unsur kon dan jenisnya

Memandangkan kon itu bukan polyhedron, bilangan unsur yang membentuknya tidaklah sebesar untuk polyhedra. Dalam geometri, kon am terdiri daripada elemen berikut:

• asas, lengkung sempadannya dipanggil directrix, atau generatrix;
• permukaan sisi, iaitu pengumpulan semua titik segmen garis lurus (generatrices) yang menghubungkan bucu dan titik lengkung panduan;
• puncak, iaitu titik persilangan bagi penjanaan.

Perhatikan bahawa bucu tidak boleh terletak pada satah tapak, kerana dalam kes ini kon merosot menjadi angka rata.

Jika kita melukis segmen serenjang dari atas ke pangkal, kita akan mendapat ketinggian rajah itu. Jika tapak terakhir bersilang di pusat geometri, maka ia adalah kon lurus. Jika serenjang tidak bertepatan dengan pusat geometri tapak, maka rajah itu akan condong.

Kon lurus dan serong ditunjukkan dalam rajah. Di sini, ketinggian dan jejari tapak kon itu masing-masing dilambangkan dengan h dan r. Garisan yang menghubungkan bahagian atas rajah dan pusat geometri tapak ialah paksi kon. Ia boleh dilihat dari rajah bahawa untuk rajah lurus, ketinggian terletak pada paksi ini, dan untuk rajah condong, ketinggian membentuk sudut dengan paksi. Paksi kon ditunjukkan oleh huruf a.

Kon lurus dengan tapak bulat

Mungkin, kon ini adalah yang paling biasa daripada kelas angka yang dianggap. Ia terdiri daripada bulatan dan sisipermukaan. Tidak sukar untuk mendapatkannya dengan kaedah geometri. Untuk melakukan ini, ambil segi tiga tepat dan putarkannya di sekeliling paksi bertepatan dengan salah satu kaki. Jelas sekali, kaki ini akan menjadi ketinggian angka, dan panjang kaki kedua segitiga membentuk jejari pangkal kon. Rajah di bawah menunjukkan skema yang diterangkan untuk mendapatkan angka putaran yang dimaksudkan.

Segitiga yang digambarkan boleh diputar di sekeliling kaki yang lain, yang akan menghasilkan kon dengan jejari tapak yang lebih besar dan ketinggian yang lebih rendah daripada yang pertama.

Untuk menentukan dengan jelas semua parameter kon lurus bulat, seseorang harus mengetahui mana-mana dua ciri linearnya. Antaranya, jejari r, ketinggian h atau panjang generatrik g dibezakan. Semua kuantiti ini ialah panjang sisi bagi segi tiga bersudut tegak yang dianggap, oleh itu, teorem Pythagoras adalah sah untuk sambungannya:

g²=r²+ h^2.

Kawasan permukaan

Apabila mengkaji permukaan mana-mana rajah tiga dimensi, adalah mudah untuk menggunakan perkembangannya pada satah. Kon tidak terkecuali. Untuk kon bulat, perkembangan ditunjukkan di bawah.

Kami melihat bahawa pembentangan rajah itu terdiri daripada dua bahagian:

1. Bulatan yang membentuk pangkal kon.
2. Sektor bulatan, iaitu permukaan kon bagi rajah.

Kawasan bulatan mudah dicari dan formula yang sepadan diketahui oleh setiap pelajar. Bercakap mengenai sektor pekeliling, kami perhatikan bahawa iaialah sebahagian daripada bulatan dengan jejari g (panjang generatriks kon). Panjang lengkok sektor ini adalah sama dengan lilitan tapak. Parameter ini memungkinkan untuk menentukan kawasannya dengan jelas. Formula yang sepadan ialah:

S=pir2+ pirg.

Sebutan pertama dan kedua dalam ungkapan ialah kon tapak dan permukaan sisi kawasan, masing-masing.

Jika panjang penjana g tidak diketahui, tetapi ketinggian h rajah diberikan, maka formula boleh ditulis semula sebagai:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

Jumlah angka

Jika kita mengambil piramid lurus dan menambah bilangan sisi tapaknya pada infiniti, maka bentuk tapak akan cenderung kepada bulatan, dan permukaan sisi piramid akan menghampiri permukaan kon. Pertimbangan ini membolehkan kita menggunakan formula untuk isipadu piramid apabila mengira nilai yang sama untuk kon. Isipadu kon boleh didapati menggunakan formula:

V=1/3jS_o.

Formula ini sentiasa benar, tidak kira apa asas kon itu, mempunyai luas S_{o. Selain itu, formula juga digunakan pada kon serong.}

Memandangkan kita sedang mengkaji sifat rajah lurus dengan tapak bulat, kita boleh menggunakan ungkapan berikut untuk menentukan isipadunya:

V=1/3hpir2.

Formulanya jelas.

Masalah mencari luas permukaan dan isipadu

Biar diberikan sebuah kon, yang jejarinya ialah 10 cm, dan panjang generatriks ialah 20lihat Perlu menentukan isipadu dan luas permukaan untuk bentuk ini.

Untuk mengira luas S, anda boleh segera menggunakan formula yang ditulis di atas. Kami ada:

S=pir²+ pirg=942 cm^2.

Untuk menentukan isipadu, anda perlu mengetahui ketinggian h angka itu. Kami mengiranya menggunakan hubungan antara parameter linear kon. Kami mendapat:

h=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 sm.}

Kini anda boleh menggunakan formula untuk V:

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83sm}3^.

Perhatikan bahawa isipadu kon bulat ialah satu pertiga daripada silinder yang tertera di dalamnya.