Setiap pelajar pernah mendengar tentang kon bulat dan membayangkan rupa bentuk tiga dimensi ini. Artikel ini mentakrifkan pembangunan kon, menyediakan formula yang menerangkan ciri-cirinya dan menerangkan cara membinanya menggunakan kompas, protraktor dan garis lurus.
Kon bulat dalam geometri
Mari kita berikan takrifan geometri bagi rajah ini. Kon bulat ialah permukaan yang dibentuk oleh segmen garis lurus yang menghubungkan semua titik bulatan tertentu dengan satu titik dalam ruang. Titik tunggal ini tidak boleh tergolong dalam satah di mana bulatan itu terletak. Jika kita mengambil bulatan dan bukannya bulatan, maka kaedah ini juga membawa kepada kon.
Bulatan itu dipanggil pangkal rajah, lilitannya ialah directrix. Segmen yang menghubungkan titik dengan directrix dipanggil penjana atau penjana, dan titik di mana ia bersilang ialah puncak kon.
Kon bulat boleh lurus dan serong. Kedua-dua rajah ditunjukkan dalam rajah di bawah.
Perbezaan antara mereka adalah ini: jika serenjang dari bahagian atas kon jatuh tepat ke tengah bulatan, maka kon itu akan lurus. Baginya, serenjang, yang dipanggil ketinggian rajah, adalah sebahagian daripada paksinya. Dalam kes kon serong, ketinggian dan paksi membentuk sudut lancip.
Disebabkan kesederhanaan dan simetri rajah, kami akan mempertimbangkan lagi sifat-sifat kon tegak dengan tapak bulat sahaja.
Mendapatkan bentuk menggunakan putaran
Sebelum meneruskan mempertimbangkan perkembangan permukaan kon, adalah berguna untuk mengetahui bagaimana angka ruang ini boleh diperoleh menggunakan putaran.
Andaikan kita mempunyai segi tiga tepat dengan sisi a, b, c. Dua yang pertama ialah kaki, c ialah hipotenus. Mari kita letakkan segitiga pada kaki a dan mulakan memusingkannya di sekeliling kaki b. Hiptenus c kemudiannya akan menerangkan permukaan kon. Teknik kon mudah ini ditunjukkan dalam rajah di bawah.
Jelas sekali, kaki a ialah jejari tapak rajah, kaki b ialah ketinggiannya, dan hipotenus c sepadan dengan generatriks kon bulat kanan.
Pandangan perkembangan kon
Seperti yang anda rasa, kon dibentuk oleh dua jenis permukaan. Salah satunya ialah bulatan tapak rata. Katakan ia mempunyai jejari r. Permukaan kedua adalah sisi dan dipanggil kon. Biarkan penjananya sama dengan g.
Jika kita mempunyai kon kertas, maka kita boleh mengambil gunting dan memotong pangkalnya. Kemudian, permukaan kon perlu dipotongsepanjang mana-mana generatrix dan gunakannya pada pesawat. Dengan cara ini, kami memperoleh perkembangan permukaan sisi kon. Kedua-dua permukaan, bersama-sama dengan kon asal, ditunjukkan dalam rajah di bawah.
Bulatan asas digambarkan di bahagian bawah sebelah kanan. Permukaan kon yang tidak dilipat ditunjukkan di tengah. Ternyata ia sepadan dengan beberapa sektor bulatan bulatan, jejarinya sama dengan panjang generatriks g.
Sudut dan sapuan kawasan
Kini kami mendapat formula yang, menggunakan parameter g dan r yang diketahui, membolehkan kami mengira luas dan sudut kon.
Jelas sekali, lengkok sektor bulatan yang ditunjukkan di atas dalam rajah mempunyai panjang yang sama dengan lilitan tapak, iaitu:
l=2pir.
Jika seluruh bulatan dengan jejari g dibina, maka panjangnya ialah:
L=2pig.
Memandangkan panjang L sepadan dengan 2pi radian, maka sudut di mana lengkok l terletak boleh ditentukan daripada perkadaran yang sepadan:
L==>2pi;
l==> φ.
Maka sudut yang tidak diketahui φ akan sama dengan:
φ=2pil/L.
Menggantikan ungkapan untuk panjang l dan L, kita sampai pada formula untuk sudut perkembangan permukaan sisi kon:
φ=2pir/g.
Sudut φ di sini dinyatakan dalam radian.
Untuk menentukan luas Sbsektor pekeliling, kami akan menggunakan nilai φ yang ditemui. Kami membuat satu bahagian lagi, hanya untuk kawasan. Kami ada:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Dari mana untuk menyatakan Sb, dan kemudian gantikan nilai sudut φ. Kami mendapat:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Untuk luas permukaan kon, kami telah memperoleh formula yang agak padat. Nilai Sb adalah sama dengan hasil darab tiga faktor: pi, jejari rajah dan penjanaannya.
Kemudian luas seluruh permukaan rajah akan sama dengan hasil tambah Sb dan So (bulatan kawasan asas). Kami mendapat formula:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Membina sapuan kon di atas kertas
Untuk menyelesaikan tugasan ini, anda memerlukan sehelai kertas, pensel, protraktor, pembaris dan kompas.
Pertama sekali, mari kita lukis segitiga bersudut tegak dengan sisi 3 cm, 4 cm dan 5 cm. Putarannya mengelilingi kaki 3 cm akan memberikan kon yang diingini. Rajah mempunyai r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
Membina sapuan akan bermula dengan melukis bulatan dengan jejari r dengan kompas. Panjangnya akan sama dengan 6pi cm Sekarang di sebelahnya kita akan melukis bulatan lain, tetapi dengan jejari g. Panjangnya akan sepadan dengan 10pi cm Sekarang kita perlu memotong sektor bulat dari bulatan besar. Sudutnya φ ialah:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Sekarang kita ketepikan sudut ini dengan protraktor pada bulatan dengan jejari g dan lukis dua jejari yang akan mengehadkan sektor bulatan.
JadiOleh itu, kami telah membina pembangunan kon dengan parameter jejari, ketinggian dan generatrik yang ditentukan.
Contoh penyelesaian masalah geometri
Diberikan kon lurus bulat. Adalah diketahui bahawa sudut sapuan sisinya ialah 120o. Ia adalah perlu untuk mencari jejari dan generatriks rajah ini, jika diketahui bahawa ketinggian h kon itu ialah 10 cm.
Tugas itu tidak sukar jika kita ingat kon bulat ialah angka putaran segi tiga tepat. Dari segi tiga ini mengikuti hubungan yang jelas antara ketinggian, jejari dan generatriks. Mari tulis formula yang sepadan:
g2=h2+ r2.
Ungkapan kedua untuk digunakan semasa menyelesaikan ialah formula untuk sudut φ:
φ=2pir/g.
Oleh itu, kita mempunyai dua persamaan yang mengaitkan dua kuantiti yang tidak diketahui (r dan g).
Ekspresikan g daripada formula kedua dan gantikan hasilnya kepada yang pertama, kita dapat:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Sudut φ=120o dalam radian ialah 2pi/3. Kami menggantikan nilai ini, kami mendapat formula akhir untuk r dan g:
r=h /√8;
g=3j /√8.
Ia kekal untuk menggantikan nilai ketinggian dan mendapatkan jawapan kepada soalan masalah: r ≈ 3.54 cm, g ≈ 10.61 cm.
