Dalam matematik, fungsi songsang ialah ungkapan saling sepadan yang bertukar menjadi satu sama lain. Untuk memahami maksud ini, adalah wajar mempertimbangkan contoh khusus. Katakan kita mempunyai y=cos(x). Jika kita mengambil kosinus daripada hujah, maka kita boleh mencari nilai y. Jelas sekali, untuk ini anda perlu mempunyai x. Tetapi bagaimana jika pemain pada mulanya diberikan? Di sinilah ia sampai ke inti masalah. Untuk menyelesaikan masalah, penggunaan fungsi songsang diperlukan. Dalam kes kami, ini ialah kosinus arka.
Selepas semua transformasi, kita dapat: x=arccos(y).
Iaitu, untuk mencari fungsi songsang kepada fungsi tertentu, cukup sekadar menyatakan hujah daripadanya. Tetapi ini hanya berfungsi jika hasilnya akan mempunyai satu nilai (lebih lanjut mengenainya kemudian).
Secara umum, fakta ini boleh ditulis seperti berikut: f(x)=y, g(y)=x.
Definisi
Biar f sebagai fungsi yang domainnya ialah set X, danjulat nilai ialah set Y. Kemudian, jika wujud g yang domainnya melakukan tugas yang bertentangan, maka f boleh diterbalikkan.
Selain itu, dalam kes ini g adalah unik, yang bermaksud terdapat betul-betul satu fungsi yang memenuhi sifat ini (tidak lebih, tidak kurang). Kemudian ia dipanggil fungsi songsang, dan secara bertulis ia dilambangkan seperti berikut: g(x)=f -1(x).
Dengan kata lain, ia boleh dilihat sebagai hubungan binari. Kebolehbalikan berlaku hanya apabila satu elemen set sepadan dengan satu nilai daripada yang lain.
Tidak selalu ada fungsi songsang. Untuk melakukan ini, setiap elemen y є Y mesti sepadan dengan paling banyak satu x є X. Kemudian f dipanggil satu-dengan-satu atau suntikan. Jika f -1 kepunyaan Y, maka setiap elemen set ini mesti sepadan dengan beberapa x ∈ X. Fungsi dengan sifat ini dipanggil surjection. Ia dipegang mengikut definisi jika Y ialah imej f, tetapi ini tidak selalu berlaku. Untuk menjadi songsang, fungsi mestilah suntikan dan surjection. Ungkapan sedemikian dipanggil bijection.
Contoh: fungsi kuasa dua dan punca
Fungsi ditakrifkan pada [0, ∞) dan diberikan oleh formula f (x)=x2.
Maka ia bukan injektif, kerana setiap kemungkinan hasil Y (kecuali 0) sepadan dengan dua X berbeza - satu positif dan satu negatif, jadi ia tidak boleh diterbalikkan. Dalam kes ini, adalah mustahil untuk mendapatkan data awal daripada yang diterima, yang bercanggahteori. Ia bukan suntikan.
Jika domain definisi dihadkan secara bersyarat kepada nilai bukan negatif, maka semuanya akan berfungsi seperti sebelumnya. Kemudian ia adalah bijektif dan oleh itu boleh terbalik. Fungsi songsang di sini dipanggil positif.
Nota pada entri
Biarkan sebutan f -1 (x) boleh mengelirukan seseorang, tetapi ia tidak sepatutnya digunakan seperti ini: (f (x)) - 1 . Ia merujuk kepada konsep matematik yang berbeza sama sekali dan tiada kaitan dengan fungsi songsang.
Sebagai peraturan umum, sesetengah pengarang menggunakan ungkapan seperti sin-1 (x).
Walau bagaimanapun, ahli matematik lain percaya bahawa ini boleh menyebabkan kekeliruan. Untuk mengelakkan kesukaran sedemikian, fungsi trigonometri songsang sering dilambangkan dengan awalan "arka" (daripada arka Latin). Dalam kes kita, kita bercakap tentang arcsine. Anda juga kadangkala boleh melihat awalan "ar" atau "inv" untuk beberapa fungsi lain.
