Tidak mungkin ramai orang berfikir sama ada mungkin untuk mengira peristiwa yang lebih kurang rawak. Secara ringkasnya, adakah realistik untuk mengetahui bahagian mata yang mana dalam dadu akan jatuh seterusnya. Soalan inilah yang ditanya oleh dua saintis hebat, yang meletakkan asas bagi sains seperti teori kebarangkalian, di mana kebarangkalian sesuatu peristiwa dikaji dengan agak meluas.
Asalusul
Jika anda cuba mentakrifkan konsep sedemikian sebagai teori kebarangkalian, anda mendapat perkara berikut: ini adalah salah satu cabang matematik yang mengkaji ketekalan peristiwa rawak. Sudah tentu, konsep ini tidak benar-benar mendedahkan keseluruhan intipati, jadi perlu mempertimbangkannya dengan lebih terperinci.
Saya ingin bermula dengan pencipta teori. Seperti yang dinyatakan di atas, terdapat dua daripada mereka, ini ialah Pierre Fermat dan Blaise Pascal. Mereka adalah antara orang pertama yang cuba mengira keputusan sesuatu peristiwa menggunakan formula dan pengiraan matematik. Secara keseluruhannya, asas-asas sains ini muncul seawalnyaPertengahan umur. Pada masa itu, pelbagai pemikir dan saintis cuba menganalisis perjudian, seperti rolet, craps, dan sebagainya, dengan itu mewujudkan corak dan peratusan nombor tertentu yang jatuh. Asas itu diletakkan pada abad ketujuh belas oleh saintis yang disebutkan di atas.
Pada mulanya, kerja mereka tidak boleh dikaitkan dengan pencapaian hebat dalam bidang ini, kerana semua yang mereka lakukan hanyalah fakta empirikal, dan eksperimen ditetapkan secara visual, tanpa menggunakan formula. Dari masa ke masa, ia ternyata mencapai keputusan yang hebat, yang muncul sebagai hasil daripada memerhatikan lontaran dadu. Alat inilah yang membantu mendapatkan formula pertama yang boleh difahami.
Rakan Sekerja
Adalah mustahil untuk tidak menyebut orang seperti Christian Huygens, dalam proses mempelajari topik yang dipanggil "teori kebarangkalian" (kebarangkalian sesuatu peristiwa dibincangkan dengan tepat dalam sains ini). Orang ini sangat menarik. Dia, seperti para saintis yang dibentangkan di atas, cuba mendapatkan keteraturan kejadian rawak dalam bentuk formula matematik. Perlu diperhatikan bahawa dia tidak melakukan ini bersama Pascal dan Fermat, iaitu, semua karyanya tidak sama sekali bersilang dengan fikiran ini. Huygens memperoleh konsep asas teori kebarangkalian.
Fakta yang menarik ialah kerjanya keluar jauh sebelum hasil kerja perintis, atau lebih tepat, dua puluh tahun lebih awal. Antara konsep yang ditetapkan, yang paling terkenal ialah:
- konsep kebarangkalian sebagai magnitud peluang;
- jangkaan untuk diskretkes;
- teorem pendaraban dan penambahan kebarangkalian.
Ia juga mustahil untuk tidak mengingati Jacob Bernoulli, yang juga memberi sumbangan penting kepada kajian masalah itu. Menjalankan ujian sendiri, bebas daripada sesiapa pun, dia berjaya mengemukakan bukti hukum bilangan besar. Sebaliknya, saintis Poisson dan Laplace, yang bekerja pada awal abad kesembilan belas, dapat membuktikan teorem asal. Dari saat inilah teori kebarangkalian mula digunakan untuk menganalisis ralat semasa pemerhatian. Para saintis Rusia, atau lebih tepatnya Markov, Chebyshev dan Dyapunov, juga tidak dapat memintas sains ini. Berdasarkan kerja yang dilakukan oleh jenius yang hebat, mereka menetapkan subjek ini sebagai cabang matematik. Angka-angka ini telah bekerja pada penghujung abad kesembilan belas, dan terima kasih kepada sumbangan mereka, fenomena seperti:
- hukum nombor besar;
- Teori rantai Markov;
- teorem had pusat.
Jadi, dengan sejarah kelahiran sains dan dengan orang-orang utama yang mempengaruhinya, semuanya lebih kurang jelas. Kini tiba masanya untuk mengukuhkan semua fakta.
Konsep asas
Sebelum menyentuh undang-undang dan teorem, adalah wajar untuk mengkaji konsep asas teori kebarangkalian. Acara itu mengambil peranan utama di dalamnya. Topik ini agak besar, tetapi tanpa topik ini tidak mungkin untuk memahami segala-galanya.
Peristiwa dalam teori kebarangkalian ialah sebarang set hasil eksperimen. Tidak begitu banyak konsep fenomena ini. Jadi, saintis Lotman,bekerja di kawasan ini, mengatakan bahawa dalam kes ini kita bercakap tentang sesuatu yang "berlaku, walaupun ia mungkin tidak berlaku."
Peristiwa rawak (teori kebarangkalian memberi perhatian khusus kepada mereka) ialah konsep yang membayangkan secara mutlak sebarang fenomena yang mempunyai keupayaan untuk berlaku. Atau, sebaliknya, senario ini mungkin tidak berlaku apabila banyak syarat dipenuhi. Perlu juga diketahui bahawa peristiwa rawak yang menangkap keseluruhan volum fenomena yang telah berlaku. Teori kebarangkalian menunjukkan bahawa semua keadaan boleh diulang secara berterusan. Kelakuan merekalah yang dipanggil "pengalaman" atau "ujian".
Peristiwa tertentu ialah peristiwa yang 100% akan berlaku dalam ujian tertentu. Oleh itu, peristiwa yang mustahil adalah peristiwa yang tidak akan berlaku.
Gabungan sepasang tindakan (secara konvensional kes A dan kes B) ialah fenomena yang berlaku serentak. Mereka ditetapkan sebagai AB.
Jumlah pasangan peristiwa A dan B ialah C, dengan kata lain, jika sekurang-kurangnya satu daripadanya berlaku (A atau B), maka C akan diperoleh. Formula fenomena yang diterangkan ditulis seperti berikut: C=A + B.
Peristiwa berpisah dalam teori kebarangkalian membayangkan bahawa dua kes adalah saling eksklusif. Mereka tidak boleh berlaku pada masa yang sama. Peristiwa bersama dalam teori kebarangkalian adalah antipodanya. Ini menunjukkan bahawa jika A berlaku, maka ia tidak mengganggu B.
Peristiwa bertentangan (teori kebarangkalian membincangkannya dengan sangat terperinci) mudah difahami. Adalah lebih baik untuk berurusan dengan mereka secara perbandingan. Mereka hampir sama dengandan peristiwa tidak serasi dalam teori kebarangkalian. Tetapi perbezaan mereka terletak pada fakta bahawa salah satu daripada banyak fenomena mesti berlaku.
Peristiwa yang setara ialah tindakan tersebut, yang kemungkinannya adalah sama. Untuk menjadikannya lebih jelas, kita boleh bayangkan lambungan syiling: kejatuhan salah satu sisinya berkemungkinan sama untuk jatuh dari sisi yang lain.
Acara bertuah lebih mudah dilihat dengan contoh. Katakan terdapat episod B dan episod A. Yang pertama ialah balingan dadu dengan rupa nombor ganjil, dan yang kedua ialah penampilan nombor lima pada dadu. Kemudian ternyata A lebih menyukai B.
Peristiwa bebas dalam teori kebarangkalian diunjurkan hanya pada dua atau lebih kes dan membayangkan kebebasan sebarang tindakan daripada yang lain. Sebagai contoh, A ialah kehilangan ekor apabila syiling dilambung, dan B ialah lukisan bicu dari geladak. Ia adalah peristiwa bebas dalam teori kebarangkalian. Dengan detik ini ia menjadi lebih jelas.
Peristiwa bergantung dalam teori kebarangkalian juga boleh diterima hanya untuk setnya. Mereka membayangkan pergantungan antara satu sama lain, iaitu, fenomena B boleh berlaku hanya jika A telah berlaku atau, sebaliknya, tidak berlaku, apabila ini adalah syarat utama untuk B.
Hasil eksperimen rawak yang terdiri daripada satu komponen ialah peristiwa asas. Teori kebarangkalian menjelaskan bahawa ini adalah fenomena yang berlaku sekali sahaja.
Formula asas
Jadi, konsep "peristiwa", "teori kebarangkalian",takrifan istilah asas sains ini turut diberikan. Kini tiba masanya untuk berkenalan secara langsung dengan formula penting. Ungkapan ini secara matematik mengesahkan semua konsep utama dalam subjek yang sukar seperti teori kebarangkalian. Kebarangkalian acara memainkan peranan yang besar di sini juga.
Lebih baik bermula dengan formula asas kombinatorik. Dan sebelum meneruskan kepada mereka, adalah wajar mempertimbangkan apa itu.
Kombinatorik terutamanya merupakan cabang matematik, ia berkaitan dengan kajian sejumlah besar integer, serta pelbagai pilih atur kedua-dua nombor itu sendiri dan elemennya, pelbagai data, dsb., yang membawa kepada kemunculan beberapa kombinasi. Selain teori kebarangkalian, cabang ini penting untuk statistik, sains komputer dan kriptografi.
Jadi sekarang kita boleh meneruskan untuk mempersembahkan formula itu sendiri dan mentakrifkannya.
Yang pertama ialah ungkapan untuk bilangan pilih atur, ia kelihatan seperti ini:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Persamaan hanya terpakai jika unsur berbeza mengikut susunan sahaja.
Kini formula peletakan akan dipertimbangkan, ia kelihatan seperti ini:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Ungkapan ini digunakan bukan sahaja pada susunan unsur, tetapi juga pada komposisinya.
Persamaan ketiga daripada kombinatorik, dan ia juga yang terakhir, dipanggil formula untuk bilangan gabungan:
C_n^m=n !:((n -m))!:m !
Kombinasi ialah pilihan yang tidak dipesan, masing-masing dan peraturan ini terpakai kepada mereka.
Ternyata mudah untuk mengetahui formula kombinatorik, kini kita boleh beralih kepada takrifan klasik kebarangkalian. Ungkapan ini kelihatan seperti ini:
P(A)=m: n.
Dalam formula ini, m ialah bilangan keadaan yang sesuai untuk peristiwa A, dan n ialah bilangan mutlak semua hasil asas dan kemungkinan yang sama.
Terdapat sejumlah besar ungkapan, artikel itu tidak akan merangkumi kesemuanya, tetapi yang paling penting daripadanya akan disentuh, seperti, sebagai contoh, kebarangkalian jumlah peristiwa:
P(A + B)=P(A) + P(B) - teorem ini adalah untuk menambah peristiwa yang tidak serasi sahaja;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - dan yang ini adalah untuk menambah yang serasi sahaja.
Kebarangkalian menghasilkan acara:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – teorem ini adalah untuk peristiwa bebas;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - dan yang ini adalah untuk penagih.
Formula acara menamatkan senarai. Teori kebarangkalian memberitahu kita tentang teorem Bayes, yang kelihatan seperti ini:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
Dalam formula ini, H1, H2, …, H ialah kumpulan lengkap hipotesis.
Mari berhenti di sini, kemudian contoh penggunaan formula untuk menyelesaikan masalah khusus daripada amalan akan dipertimbangkan.
Contoh
Jika anda teliti mana-mana bahagianmatematik, ia tidak berfungsi tanpa latihan dan penyelesaian sampel. Begitu juga teori kebarangkalian: peristiwa, contoh di sini adalah komponen penting yang mengesahkan pengiraan saintifik.
Formula untuk bilangan pilih atur
Katakanlah terdapat tiga puluh kad dalam dek kad, bermula dengan nilai muka satu. Soalan seterusnya. Berapa banyak cara yang ada untuk menyusun dek supaya kad dengan nilai muka satu dan dua tidak bersebelahan?
Tugas telah ditetapkan, sekarang mari kita teruskan untuk menyelesaikannya. Mula-mula anda perlu menentukan bilangan pilih atur tiga puluh elemen, untuk ini kita mengambil formula di atas, ternyata P_30=30!.
Berdasarkan peraturan ini, kita akan mengetahui berapa banyak pilihan yang ada untuk melipat dek dengan cara yang berbeza, tetapi kita perlu menolak daripada mereka yang mana kad pertama dan kedua adalah seterusnya. Untuk melakukan ini, mari kita mulakan dengan pilihan apabila yang pertama berada di atas yang kedua. Ternyata kad pertama boleh mengambil dua puluh sembilan tempat - dari yang pertama hingga dua puluh sembilan, dan kad kedua dari yang kedua hingga yang ketiga puluh, ternyata dua puluh sembilan tempat untuk sepasang kad. Sebaliknya, selebihnya boleh mengambil dua puluh lapan tempat, dan dalam sebarang susunan. Iaitu, untuk pilih atur dua puluh lapan kad, terdapat dua puluh lapan pilihan P_28=28!
Akibatnya, ternyata jika kita mempertimbangkan penyelesaian apabila kad pertama melebihi yang kedua, terdapat 29 ⋅ 28 kemungkinan tambahan!=29!
Menggunakan kaedah yang sama, anda perlu mengira bilangan pilihan berlebihan untuk kes apabila kad pertama berada di bawah yang kedua. Ia juga ternyata 29 ⋅ 28!=29!
Ia berikutan bahawa terdapat 2 ⋅ 29 pilihan tambahan!, manakala terdapat 30 cara yang diperlukan untuk membina geladak! - 2 ⋅ 29!. Ia hanya tinggal untuk mengira.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Kini anda perlu mendarab semua nombor daripada satu hingga dua puluh sembilan bersama-sama, dan kemudian pada akhirnya darab semuanya dengan 28. Jawapannya ialah 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Penyelesaian contoh. Formula untuk Nombor Peletakan
Dalam masalah ini, anda perlu mengetahui berapa banyak cara yang ada untuk meletakkan lima belas jilid pada satu rak, tetapi dengan syarat terdapat tiga puluh jilid kesemuanya.
Masalah ini mempunyai penyelesaian yang lebih mudah sedikit daripada yang sebelumnya. Menggunakan formula yang telah diketahui, adalah perlu untuk mengira jumlah bilangan lokasi daripada tiga puluh jilid lima belas.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 8439 ⋅
Jawapannya, masing-masing, ialah 202 843 204 931 727 360 000.
Sekarang mari kita lakukan tugas dengan lebih sukar. Anda perlu mengetahui berapa banyak cara yang ada untuk menyusun tiga puluh buku di dua rak buku, dengan syarat hanya lima belas jilid boleh diletakkan di satu rak.
Sebelum memulakan penyelesaian, saya ingin menjelaskan bahawa sesetengah masalah diselesaikan dalam beberapa cara, jadi terdapat dua cara dalam yang ini, tetapi formula yang sama digunakan dalam kedua-duanya.
Dalam masalah ini, anda boleh mengambil jawapan daripada yang sebelumnya, kerana di sana kami mengira berapa kali anda boleh mengisi rak dengan lima belas buku untuk-berbeza. Ternyata A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Kami akan mengira rak kedua menggunakan formula pilih atur, kerana lima belas buku diletakkan di dalamnya, manakala hanya tinggal lima belas. Gunakan formula P_15=15!.
Ternyata jumlahnya ialah A_30^15 ⋅ P_15 cara, tetapi, sebagai tambahan, hasil darab semua nombor daripada tiga puluh hingga enam belas perlu didarab dengan hasil darab nombor daripada satu hingga lima belas, sebagai hasil, hasil darab semua nombor daripada satu hingga tiga puluh, jadi jawapannya ialah 30!
Tetapi masalah ini boleh diselesaikan dengan cara yang berbeza - lebih mudah. Untuk melakukan ini, anda boleh membayangkan bahawa terdapat satu rak untuk tiga puluh buku. Kesemuanya diletakkan di atas kapal terbang ini, tetapi oleh kerana syaratnya memerlukan dua rak, kami memotong satu panjang menjadi dua, ternyata dua lima belas setiap satu. Daripada ini ternyata pilihan peletakan boleh P_30=30!.
Penyelesaian contoh. Formula untuk nombor gabungan
Sekarang kita akan mempertimbangkan varian masalah ketiga daripada kombinatorik. Anda perlu mengetahui berapa banyak cara yang ada untuk menyusun lima belas buku, dengan syarat anda perlu memilih daripada tiga puluh buku yang sama sekali.
Untuk penyelesaian, sudah tentu, formula untuk bilangan gabungan akan digunakan. Daripada syarat itu menjadi jelas bahawa susunan lima belas buku yang sama adalah tidak penting. Oleh itu, pada mulanya anda perlu mengetahui jumlah gabungan tiga puluh buku daripada lima belas.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: lima belas !=155 117 520
Itu sahaja. Menggunakan formula ini, dalam masa yang sesingkat mungkin ia adalah mungkinselesaikan masalah sedemikian, jawapannya, masing-masing, ialah 155 117 520.
Penyelesaian contoh. Takrif klasik kebarangkalian
Dengan formula di atas, anda boleh mencari jawapan kepada masalah mudah. Tetapi ini akan membantu untuk melihat dan mengikuti tindakan secara visual.
Diberikan dalam masalah bahawa terdapat sepuluh bola yang benar-benar serupa dalam urn. Daripada jumlah ini, empat berwarna kuning dan enam berwarna biru. Satu bola diambil dari urn. Anda perlu mengetahui kebarangkalian mendapat warna biru.
Untuk menyelesaikan masalah, adalah perlu untuk menetapkan mendapatkan bola biru sebagai acara A. Pengalaman ini boleh mempunyai sepuluh hasil, yang seterusnya, adalah asas dan kemungkinan yang sama. Pada masa yang sama, daripada sepuluh, enam adalah sesuai untuk acara A. Kami menyelesaikan mengikut formula:
P(A)=6: 10=0, 6
Menggunakan formula ini, kami mendapati bahawa kebarangkalian untuk mendapatkan bola biru ialah 0.6.
Penyelesaian contoh. Kebarangkalian jumlah peristiwa
Kini varian akan dibentangkan, yang diselesaikan menggunakan formula untuk kebarangkalian jumlah peristiwa. Jadi, dalam keadaan yang diberikan bahawa terdapat dua kotak, yang pertama mengandungi satu bola kelabu dan lima bola putih, dan yang kedua mengandungi lapan bola kelabu dan empat bola putih. Akibatnya, salah satu daripadanya telah diambil dari kotak pertama dan kedua. Anda perlu mengetahui apakah kemungkinan bola yang anda dapat akan menjadi kelabu dan putih.
Untuk menyelesaikan masalah ini, anda perlu melabelkan peristiwa tersebut.
- Jadi, A - ambil bola kelabu dari kotak pertama: P(A)=1/6.
- A’ – ambil bola putih juga dari kotak pertama: P(A')=5/6.
- B – bola kelabu telah dikeluarkan dari kotak kedua: P(B)=2/3.
- B’ – ambil bola kelabu dari kotak kedua: P(B')=1/3.
Mengikut keadaan masalah, salah satu fenomena mesti berlaku: AB' atau A'B. Dengan menggunakan formula, kita dapat: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Kini formula pendaraban kebarangkalian telah digunakan. Seterusnya, untuk mengetahui jawapannya, anda perlu menggunakan persamaan untuk penambahan mereka:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Beginilah, menggunakan formula, anda boleh menyelesaikan masalah yang sama.
Keputusan
Artikel tersebut memberikan maklumat tentang topik "Teori Kebarangkalian", di mana kebarangkalian sesuatu peristiwa memainkan peranan penting. Sudah tentu, tidak semuanya diambil kira, tetapi, berdasarkan teks yang dibentangkan, seseorang secara teorinya boleh membiasakan diri dengan bahagian matematik ini. Sains yang dimaksudkan boleh berguna bukan sahaja dalam kerja profesional, tetapi juga dalam kehidupan seharian. Dengan bantuannya, anda boleh mengira sebarang kemungkinan sebarang acara.
Teks itu juga menyentuh tarikh penting dalam sejarah pembentukan teori kebarangkalian sebagai sains, dan nama orang yang kerja-kerjanya dilaburkan di dalamnya. Ini adalah bagaimana rasa ingin tahu manusia membawa kepada fakta bahawa orang belajar mengira walaupun peristiwa rawak. Dahulu mereka hanya berminat dengannya, tetapi hari ini semua orang sudah tahu mengenainya. Dan tiada siapa yang akan mengatakan apa yang menanti kita pada masa hadapan, apakah penemuan cemerlang lain yang berkaitan dengan teori yang sedang dipertimbangkan akan dibuat. Tetapi satu perkara yang pasti - penyelidikan tidak kekal!
