Sifat dan kaedah untuk mencari punca persamaan kuadratik

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-17 05:36

Dunia disusun sedemikian rupa sehingga penyelesaian sejumlah besar masalah datang kepada mencari punca-punca persamaan kuadratik. Punca-punca persamaan adalah penting untuk menerangkan pelbagai corak. Ini diketahui walaupun kepada juruukur Babylon purba. Ahli astronomi dan jurutera juga terpaksa menyelesaikan masalah tersebut. Kembali pada abad ke-6 Masihi, saintis India Aryabhata membangunkan asas untuk mencari punca persamaan kuadratik. Formula telah disiapkan pada abad ke-19.

Konsep umum

Kami menjemput anda untuk membiasakan diri dengan ketetapan asas kesamaan kuadratik. Secara umum, kesaksamaan boleh ditulis seperti berikut:

ax2 + bx + c=0, Bilangan punca persamaan kuadratik boleh sama dengan satu atau dua. Analisis pantas boleh dilakukan menggunakan konsep diskriminasi:

D=b2 - 4ac

Bergantung pada nilai yang dikira, kami mendapat:

• Apabila D > 0 terdapat dua punca berbeza. Formula umum untuk menentukan punca-punca persamaan kuadratik kelihatan seperti (-b± √D) / (2a).
• D=0, dalam kes ini puncanya adalah satu dan sepadan dengan nilai x=-b / (2a)
• D < 0, untuk nilai negatif diskriminasi, tiada penyelesaian kepada persamaan.

Nota: jika diskriminasi adalah negatif, persamaan tidak mempunyai punca hanya dalam rantau nombor nyata. Jika algebra dilanjutkan kepada konsep punca kompleks, maka persamaan itu mempunyai penyelesaian.

Mari berikan rangkaian tindakan yang mengesahkan formula untuk mencari punca.

Daripada bentuk umum persamaan, ia berikut:

ax2 + bx=-c

Kami mendarab bahagian kanan dan kiri dengan 4a dan menambah b2, kami mendapat

4a²x² + 4abx + b² =-4ac+b ²

Ubah bahagian kiri ke segi empat sama polinomial (2ax + b)². Kami mengekstrak punca kuasa dua bagi kedua-dua belah persamaan 2ax + b=-b ± √(-4ac + b^{2), pindahkan pekali b ke sebelah kanan, kita dapat:}

2ax=-b ± √(-4ac + b2)

Dari sini berikut:

x=(-b ± √(b2 - 4ac))

Apa yang perlu ditunjukkan.

Kes khas

Dalam beberapa kes, penyelesaian masalah boleh dipermudahkan. Jadi, untuk pekali genap b kita mendapat formula yang lebih mudah.

Nyatakan k=1/2b, maka formula bentuk am punca-punca persamaan kuadratik mengambil bentuk:

x=(-k ± √(k2 -ac)) / a

Apabila D=0, kita dapat x=-k / a

Satu lagi kes istimewa ialah penyelesaian persamaan dengan a=1.

Untuk bentuk x² + bx + c=0 puncanya ialah x=-k ± √(k^{2 - c) dengan diskriminasi lebih besar daripada 0. Untuk kes apabila D=0, punca akan ditentukan oleh formula mudah: x=-k.}

Gunakan carta

Mana-mana orang, tanpa mengetahuinya, sentiasa berhadapan dengan fenomena fizikal, kimia, biologi dan juga sosial yang digambarkan dengan baik oleh fungsi kuadratik.

Nota: lengkung yang dibina berdasarkan fungsi kuadratik dipanggil parabola.

Berikut ialah beberapa contoh.

1. Apabila mengira trajektori peluru, sifat pergerakan sepanjang parabola jasad yang ditembak pada sudut ke ufuk digunakan.
2. Sifat parabola untuk mengagihkan beban secara sama rata digunakan secara meluas dalam seni bina.

Memahami kepentingan fungsi parabola, mari kita fikirkan cara menggunakan graf untuk meneroka sifatnya, menggunakan konsep "diskriminan" dan "akar bagi persamaan kuadratik".

Bergantung pada nilai pekali a dan b, terdapat hanya enam pilihan untuk kedudukan lengkung:

1. Diskriminan adalah positif, a dan b mempunyai tanda yang berbeza. Cabang-cabang parabola melihat ke atas, persamaan kuadratik mempunyai dua penyelesaian.
2. Diskriminan dan pekali b adalah sama dengan sifar, pekali a lebih besar daripada sifar. Graf berada dalam zon positif, persamaan mempunyai 1 punca.
3. Pendiskriminasi dan semua pekali adalah positif. Persamaan kuadratik tidak mempunyai penyelesaian.
4. Diskriminan dan pekali a adalah negatif, b lebih besar daripada sifar. Cabang-cabang graf diarahkan ke bawah, persamaan mempunyai dua punca.
5. Mendiskriminasi danpekali b adalah sama dengan sifar, pekali a adalah negatif. Parabola melihat ke bawah, persamaan mempunyai satu punca.
6. Nilai-nilai diskriminasi dan semua pekali adalah negatif. Tiada penyelesaian, nilai fungsi berada dalam zon negatif sepenuhnya.

Nota: pilihan a=0 tidak dipertimbangkan, kerana dalam kes ini parabola merosot menjadi garis lurus.

Semua perkara di atas digambarkan dengan baik oleh rajah di bawah.

Contoh penyelesaian masalah

Syarat: menggunakan sifat umum, buat persamaan kuadratik yang puncanya adalah sama antara satu sama lain.

Penyelesaian:

mengikut keadaan masalah x₁ =x₂, atau -b + √(b^{2- 4ac) / (2a)=-b + √(b}2 ^{- 4ac) / (2a). Memudahkan tatatanda:}

-b + √(b² - 4ac) / (2a) - (-b - √(b² - 4ac) / (2a))=0, buka kurungan dan berikan sebutan seperti. Persamaan menjadi 2√(b² - 4ac)=0. Pernyataan ini benar apabila b² - 4ac=0, maka b ^{2=4ac, maka nilai b=2√(ac) digantikan ke dalam persamaan}

ax² + 2√(ac)x + c=0, dalam bentuk terkecil kita mendapat x^{2 + 2√(c / a)x + c=0.}

Jawapan:

untuk tidak sama dengan 0 dan mana-mana c, hanya terdapat satu penyelesaian jika b=2√(c / a).

Persamaan kuadrik, untuk semua kesederhanaan mereka, adalah sangat penting dalam pengiraan kejuruteraan. Hampir semua proses fizikal boleh diterangkan dengan beberapa anggaran menggunakanfungsi kuasa perintah n. Persamaan kuadratik akan menjadi penghampiran pertama sedemikian.