Persamaan kuadrik sering muncul dalam beberapa masalah dalam matematik dan fizik, jadi setiap pelajar seharusnya dapat menyelesaikannya. Artikel ini memperincikan kaedah utama untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, dan juga menyediakan contoh penggunaannya.
Apakah persamaan yang dipanggil kuadratik
Pertama sekali, kami akan menjawab soalan perenggan ini untuk memahami dengan lebih baik tentang maksud artikel tersebut. Jadi, persamaan kuadratik mempunyai bentuk umum berikut: c + bx+ax2=0, dengan a, b, c ialah beberapa nombor, yang dipanggil pekali. Di sini a≠0 ialah syarat wajib, jika tidak, persamaan yang ditunjukkan merosot menjadi satu linear. Pekali selebihnya (b, c) boleh mengambil sebarang nilai, termasuk sifar. Oleh itu, ungkapan seperti ax2=0, dengan b=0 dan c=0, atau c+ax2=0, dengan b=0, atau bx+ax2=0, dengan c=0 juga merupakan persamaan kuadratik, yang dipanggil tidak lengkap, kerana sama ada pekali linear b di dalamnya adalah sifar atau sifarialah istilah percuma c, atau kedua-duanya hilang.
Persamaan di mana a=1 dipanggil terkurang, iaitu, ia mempunyai bentuk: x2 + с/a + (b/a)x=0.
Penyelesaian persamaan kuadratik ialah mencari nilai x sedemikian yang memenuhi kesamaannya. Nilai-nilai ini dipanggil akar. Oleh kerana persamaan yang sedang dipertimbangkan ialah ungkapan darjah kedua, ini bermakna bilangan maksimum puncanya tidak boleh melebihi dua.
Apakah kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuasa dua wujud
Secara amnya, terdapat 4 kaedah penyelesaian. Nama mereka disenaraikan di bawah:
- Pemfaktoran.
- Tambahan pada petak.
- Menggunakan formula yang diketahui (melalui diskriminasi).
- Kaedah penyelesaian adalah geometri.
Seperti yang anda boleh lihat daripada senarai di atas, tiga kaedah pertama adalah algebra, jadi ia digunakan lebih kerap daripada yang terakhir, yang melibatkan pemplotan fungsi.
Terdapat cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuasa dua menggunakan teorem Vieta. Ia boleh dimasukkan ke tempat ke-5 dalam senarai di atas, bagaimanapun, ini tidak dilakukan, kerana teorem Vieta adalah akibat mudah daripada kaedah ke-3.
Kemudian dalam artikel kami akan mempertimbangkan dengan lebih terperinci kaedah penyelesaian yang dinamakan, dan juga memberikan contoh penggunaannya untuk mencari punca persamaan tertentu.
Kaedah 1. Pemfaktoran
Untuk kaedah ini dalam matematik persamaan kuadratik, terdapatnama: pemfaktoran. Intipati kaedah ini adalah seperti berikut: adalah perlu untuk membentangkan persamaan kuadratik sebagai hasil darab dua sebutan (ungkapan), yang mesti sama dengan sifar. Selepas perwakilan sedemikian, anda boleh menggunakan sifat produk, yang akan sama dengan sifar hanya apabila satu atau lebih (semua) ahlinya adalah sifar.
Sekarang pertimbangkan urutan tindakan khusus yang perlu dilakukan untuk mencari punca persamaan:
- Alihkan semua ahli ke satu bahagian ungkapan (contohnya, ke kiri) supaya hanya tinggal 0 di bahagian lain (kanan).
- Wakilkan jumlah sebutan dalam satu bahagian persamaan sebagai hasil darab dua persamaan linear.
- Tetapkan setiap ungkapan linear kepada sifar dan selesaikannya.
Seperti yang anda lihat, algoritma pemfaktoran agak mudah, namun, kebanyakan pelajar menghadapi kesukaran semasa pelaksanaan mata ke-2, jadi kami akan menerangkannya dengan lebih terperinci.
Untuk meneka 2 ungkapan linear, apabila didarab dengan satu sama lain, akan memberikan persamaan kuadratik yang diingini, anda perlu mengingati dua peraturan mudah:
- Pekali linear bagi dua ungkapan linear, apabila didarab dengan satu sama lain, harus memberikan pekali pertama persamaan kuadratik, iaitu nombor a.
- Sebutan bebas bagi ungkapan linear, apabila didarab, harus memberikan nombor c bagi persamaan yang diingini.
Selepas semua nombor faktor dipilih, ia hendaklah didarabkan, dan jika ia memberikan persamaan yang diingini, kemudian pergi ke langkah 3 dalamalgoritma di atas, jika tidak, anda harus menukar pengganda, tetapi anda perlu melakukan ini supaya peraturan di atas sentiasa diikuti.
Contoh penyelesaian dengan kaedah pemfaktoran
Mari tunjukkan dengan jelas bagaimana algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadratik adalah untuk mengarang dan mencari punca yang tidak diketahui. Biarkan ungkapan arbitrari diberikan, sebagai contoh, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Mari kita beralih kepada penyelesaiannya, memerhatikan urutan mata dari 1 hingga 3, yang dinyatakan dalam perenggan sebelumnya artikel.
Item 1. Gerakkan semua sebutan ke sebelah kiri dan susunkannya dalam urutan klasik untuk persamaan kuadratik. Kami mempunyai kesamaan berikut: 2x+(-8)+x2=0.
Item 2. Kami memecahkannya menjadi hasil darab persamaan linear. Oleh kerana a=1, dan c=-8, maka kita akan memilih, sebagai contoh, produk sedemikian (x-2)(x+4). Ia memenuhi peraturan untuk mencari faktor jangkaan yang ditetapkan dalam perenggan di atas. Jika kita membuka kurungan, kita mendapat: -8+2x+x2, iaitu, kita mendapat ungkapan yang sama seperti di sebelah kiri persamaan. Ini bermakna kita telah meneka pengganda dengan betul dan kita boleh meneruskan ke langkah ke-3 algoritma.
Item 3. Samakan setiap faktor dengan sifar, kita dapat: x=-4 dan x=2.
Jika terdapat sebarang keraguan tentang keputusan, disyorkan untuk menyemak dengan menggantikan punca yang ditemui ke dalam persamaan asal. Dalam kes ini, kami mempunyai: 22+22-8=0 dan 2(-4)+(-4)2 -8=0. Akar ditemui dengan betul.
Oleh itu, dengan menggunakan kaedah pemfaktoran, kami mendapati bahawa persamaan yang diberikan mempunyai dua punca yang berbezamempunyai: 2 dan -4.
Kaedah 2. Lengkapkan petak penuh
Dalam algebra persamaan kuasa dua, kaedah pengganda tidak boleh selalu digunakan, kerana dalam kes nilai pecahan pekali persamaan kuadratik, kesukaran timbul dalam pelaksanaan perenggan 2 algoritma.
Kaedah kuasa dua penuh pula adalah universal dan boleh digunakan pada sebarang jenis persamaan kuadratik. Intipatinya adalah untuk melaksanakan operasi berikut:
- Syarat persamaan yang mengandungi pekali a dan b mesti dipindahkan ke satu bahagian persamaan, dan sebutan bebas c ke bahagian lain.
- Seterusnya, bahagian kesamaan (kanan dan kiri) hendaklah dibahagikan dengan pekali a, iaitu, tunjukkan persamaan dalam bentuk terkecil (a=1).
- Jumlah sebutan dengan pekali a dan b untuk mewakili sebagai segi empat sama persamaan linear. Oleh kerana a \u003d 1, maka pekali linear akan sama dengan 1, bagi sebutan bebas persamaan linear, maka ia harus sama dengan separuh pekali linear persamaan kuadratik yang dikurangkan. Selepas segi empat sama ungkapan linear telah disediakan, adalah perlu untuk menambah nombor yang sepadan ke sebelah kanan kesamaan, di mana istilah bebas terletak, yang diperoleh dengan mengembangkan segi empat sama.
- Ambil punca kuasa dua dengan tanda "+" dan "-" dan selesaikan persamaan linear yang telah diperolehi.
Algoritma yang diterangkan pada pandangan pertama mungkin dianggap agak rumit, namun dalam praktiknya ia lebih mudah untuk dilaksanakan daripada kaedah pemfaktoran.
Contoh penyelesaian menggunakan pelengkap persegi penuh
Mari kita berikan contoh persamaan kuadratik untuk melatih penyelesaiannya dengan kaedah yang diterangkan dalam perenggan sebelumnya. Biarkan persamaan kuadratik -10 - 6x+5x2=0 diberikan. Kami mula menyelesaikannya mengikut algoritma yang diterangkan di atas.
Item 1. Kami menggunakan kaedah pemindahan apabila menyelesaikan persamaan kuasa dua, kami mendapat: - 6x+5x2=10.
Titik 2. Bentuk terkecil bagi persamaan ini diperoleh dengan membahagi dengan nombor 5 setiap ahlinya (jika kedua-dua bahagian dibahagikan atau didarab dengan nombor yang sama, maka kesamaan akan dikekalkan). Hasil daripada transformasi, kita mendapat: x2 - 6/5x=2.
Item 3. Separuh daripada pekali - 6/5 ialah -6/10=-3/5, gunakan nombor ini untuk melengkapkan petak, kita dapat: (-3/5+x) 2 . Kami mengembangkannya dan sebutan bebas yang terhasil hendaklah ditolak dari bahagian kiri kesamaan untuk memenuhi bentuk asal persamaan kuadratik, yang bersamaan dengan menambahkannya ke bahagian kanan. Hasilnya, kami mendapat: (-3/5+x)2=59/25.
Item 4. Kira punca kuasa dua dengan tanda positif dan negatif dan cari punca: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Dua punca yang ditemui mempunyai nilai berikut: x1=(√59+3)/5 dan x1=(3-√59)/5.
Memandangkan pengiraan yang dilakukan adalah berkaitan dengan punca, terdapat kebarangkalian tinggi untuk melakukan kesilapan. Oleh itu, adalah disyorkan untuk menyemak ketepatan akar x2 dan x1. Kami mendapat untuk x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Gantikan sekarangx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Oleh itu, kami telah menunjukkan bahawa punca persamaan yang ditemui adalah benar.
Kaedah 3. Penggunaan formula yang terkenal
Kaedah menyelesaikan persamaan kuadratik ini mungkin yang paling mudah, kerana ia terdiri daripada menggantikan pekali ke dalam formula yang diketahui. Untuk menggunakannya, anda tidak perlu berfikir tentang menyusun algoritma penyelesaian, cukup untuk mengingati hanya satu formula. Ia ditunjukkan dalam gambar di atas.
Dalam formula ini, ungkapan radikal (b2-4ac) dipanggil diskriminasi (D). Dari nilainya bergantung pada akar apa yang diperoleh. Terdapat 3 kes:
- D>0, maka persamaan punca dua mempunyai persamaan nyata dan berbeza.
- D=0, kemudian seseorang mendapat punca, yang boleh dikira daripada ungkapan x=-b/(a2).
- D<0, kemudian anda mendapat dua punca khayalan berbeza, yang diwakili sebagai nombor kompleks. Sebagai contoh, nombor 3-5i adalah kompleks, manakala unit khayalan i memenuhi sifat: i2=-1.
Contoh penyelesaian dengan mengira diskriminasi
Mari kita berikan contoh persamaan kuadratik untuk diamalkan menggunakan formula di atas. Cari punca untuk -3x2-6+3x+4x=0. Mula-mula, hitung nilai diskriminasi, kita dapat: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Memandangkan D<0 diperoleh, ini bermakna punca-punca persamaan yang dipertimbangkan ialah nombor kompleks. Mari cari mereka dengan menggantikan nilai yang ditemui D ke dalam formula yang diberikan dalam perenggan sebelumnya (ia juga ditunjukkan dalam foto di atas). Kami dapat: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Kaedah 4. Menggunakan Graf Fungsi
Ia juga dipanggil kaedah grafik untuk menyelesaikan persamaan kuasa dua. Perlu dikatakan bahawa, sebagai peraturan, ia digunakan bukan untuk kuantitatif, tetapi untuk analisis kualitatif persamaan yang sedang dipertimbangkan.
Intipati kaedah ialah memplot fungsi kuadratik y=f(x), iaitu parabola. Kemudian, adalah perlu untuk menentukan pada titik mana parabola bersilang dengan paksi-x (X), ia akan menjadi punca-punca persamaan yang sepadan.
Untuk mengetahui sama ada parabola akan bersilang dengan paksi X, cukup untuk mengetahui kedudukan minimum (maksimum) dan arah cabangnya (sama ada boleh meningkat atau menurun). Terdapat dua sifat lengkung ini yang perlu diingat:
- Jika a>0 - parabola cabang diarahkan ke atas, sebaliknya, jika a<0, maka ia turun.
- Koordinat minimum (maksimum) parabola sentiasa x=-b/(2a).
Sebagai contoh, anda perlu menentukan sama ada persamaan -4x+5x2+10=0 mempunyai punca. Parabola yang sepadan akan diarahkan ke atas, kerana a=5>0. Ekstremnya mempunyai koordinat: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Sejak minimum lengkung terletak di atas paksi-x (y=9, 2), maka ia tidak bersilang dengan yang kedua untuk sebarangnilai x. Iaitu, persamaan yang diberikan tidak mempunyai punca sebenar.
teorem Vieta
Seperti yang dinyatakan di atas, teorem ini adalah akibat daripada kaedah No. 3, yang berdasarkan penggunaan formula dengan diskriminasi. Intipati teorem Vieta ialah ia membolehkan anda menyambungkan pekali persamaan dan puncanya kepada kesamaan. Mari dapatkan kesamaan yang sepadan.
Mari kita gunakan formula untuk mengira punca melalui diskriminasi. Tambahkan dua punca, kita dapat: x1+x2=-b/a. Sekarang mari kita darabkan punca dengan satu sama lain: x1x2, selepas beberapa siri pemudahan kita mendapat nombor c/a.
Oleh itu, untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan teorem Vieta, anda boleh menggunakan dua kesamaan yang diperolehi. Jika ketiga-tiga pekali persamaan diketahui, maka punca-puncanya boleh didapati dengan menyelesaikan sistem yang sesuai bagi kedua-dua persamaan ini.
Contoh penggunaan teorem Vieta
Anda perlu menulis persamaan kuadratik jika anda tahu bahawa ia mempunyai bentuk x2+c=-bx dan puncanya ialah 3 dan -4.
Memandangkan a=1 dalam persamaan yang sedang dipertimbangkan, formula Vieta akan kelihatan seperti: x2+x1=-b dan x2x1=hlm. Menggantikan nilai akar yang diketahui, kita dapat: b=1 dan c=-12. Akibatnya, persamaan terkurang kuadratik yang dipulihkan akan kelihatan seperti: x2-12=-1x. Anda boleh menggantikan nilai akar ke dalamnya dan memastikan kesamaan itu berlaku.
Aplikasi terbalik teorem Vieta, iaitu, pengiraan punca denganbentuk persamaan yang diketahui, membolehkan integer kecil a, b dan c mencari penyelesaian dengan cepat (secara intuitif).
