Sesetengah masalah matematik memerlukan keupayaan untuk mengira punca kuasa dua. Masalah ini termasuk menyelesaikan persamaan tertib kedua. Dalam artikel ini, kami membentangkan kaedah yang berkesan untuk mengira punca kuasa dua dan menggunakannya apabila bekerja dengan formula untuk punca persamaan kuadratik.
Apakah punca kuasa dua?
Dalam matematik, konsep ini sepadan dengan simbol √. Data sejarah mengatakan bahawa ia mula digunakan buat kali pertama sekitar separuh pertama abad ke-16 di Jerman (karya Jerman pertama mengenai algebra oleh Christoph Rudolf). Para saintis percaya bahawa simbol ini ialah huruf Latin r yang diubah (radix bermaksud "akar" dalam bahasa Latin).
Punca sebarang nombor adalah sama dengan nilai sedemikian, yang kuasa duanya sepadan dengan ungkapan akar. Dalam bahasa matematik, takrifan ini akan kelihatan seperti ini: √x=y jika y2=x.
Punca nombor positif (x > 0) juganombor positif (y > 0), tetapi jika punca diambil daripada nombor negatif (x < 0), maka hasilnya akan menjadi nombor kompleks, termasuk unit khayalan i.
Berikut ialah dua contoh mudah:
√9=3 kerana 32 =9; √(-9)=3i kerana i2=-1.
Formula lelaran Heron untuk mencari punca kuasa dua
Contoh di atas sangat mudah, dan mengira punca di dalamnya tidak sukar. Kesukaran mula muncul apabila mencari nilai akar untuk sebarang nilai yang tidak boleh diwakili sebagai kuasa dua nombor asli, contohnya √10, √11, √12, √13, apatah lagi fakta bahawa dalam amalan ia adalah perlu untuk mencari punca bagi nombor bukan integer: contohnya √(12, 15), √(8, 5) dan seterusnya.
Dalam semua kes di atas, kaedah khas untuk mengira punca kuasa dua harus digunakan. Pada masa ini, beberapa kaedah sedemikian diketahui: contohnya, pengembangan dalam siri Taylor, pembahagian dengan lajur, dan beberapa yang lain. Daripada semua kaedah yang diketahui, mungkin yang paling mudah dan paling berkesan ialah penggunaan formula lelaran Heron, yang juga dikenali sebagai kaedah Babylon untuk menentukan punca kuasa dua (terdapat bukti bahawa orang Babylon kuno menggunakannya dalam pengiraan praktikal mereka).
Biarlah perlu untuk menentukan nilai √x. Formula untuk mencari punca kuasa dua adalah seperti berikut:
an+1=1/2(a+x/a), di mana limn->∞(a)=> x.
Huraikan tatatanda matematik ini. Untuk mengira √x, anda harus mengambil beberapa nombor a0 (ia boleh sewenang-wenangnya, tetapi untuk hasil yang cepat, anda harus memilihnya sedemikian rupa sehingga (a0) 2 adalah sedekat mungkin dengan x, kemudian gantikannya ke dalam formula punca kuasa dua yang ditentukan dan dapatkan nombor baharu a1, yang sudah pun lebih dekat dengan nilai yang dikehendaki. adalah perlu untuk menggantikan 1 ke dalam ungkapan dan dapatkan 2 Prosedur ini perlu diulang sehingga ketepatan yang diperlukan diperolehi.
Contoh penggunaan formula lelaran Heron
Algoritma yang diterangkan di atas untuk mendapatkan punca kuasa dua bagi beberapa nombor tertentu mungkin kedengaran agak rumit dan mengelirukan bagi kebanyakan orang, tetapi pada hakikatnya semuanya ternyata lebih mudah, kerana formula ini menumpu dengan sangat cepat (terutamanya jika nombor bertuah dipilih sebagai0).
Mari kita ambil contoh mudah: kita perlu mengira √11. Kami memilih0=3, kerana 32=9, iaitu lebih hampir kepada 11 daripada 42=16. Menggantikan ke dalam formula, kita dapat:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Tiada gunanya meneruskan pengiraan, kerana kami telah memperoleh bahawa a2 dan a3 mula berbeza hanya dalam perpuluhan ke-5 tempat. Oleh itu, cukup untuk menggunakan hanya 2 kali ganda formulahitung √11 hingga dalam 0.0001.
Pada masa ini, kalkulator dan komputer digunakan secara meluas untuk mengira punca, namun, adalah berguna untuk mengingati formula yang ditanda agar dapat mengira nilai tepatnya secara manual.
Persamaan tertib kedua
Memahami apa itu punca kuasa dua dan keupayaan untuk mengiranya digunakan semasa menyelesaikan persamaan kuadratik. Persamaan ini ialah persamaan dengan satu yang tidak diketahui, bentuk umumnya ditunjukkan dalam rajah di bawah.
Di sini c, b dan a ialah beberapa nombor, dan a mestilah tidak sama dengan sifar, dan nilai c dan b boleh menjadi sewenang-wenangnya, termasuk sifar.
Sebarang nilai x yang memenuhi kesamaan yang ditunjukkan dalam rajah dipanggil puncanya (konsep ini tidak boleh dikelirukan dengan punca kuasa dua √). Memandangkan persamaan yang sedang dipertimbangkan mempunyai tertib ke-2 (x2), maka tidak boleh ada lebih daripada dua nombor untuk puncanya. Mari lihat cara mencari punca ini kemudian dalam artikel.
Mencari punca bagi persamaan kuadratik (formula)
Kaedah menyelesaikan jenis kesamaan yang dipertimbangkan ini juga dipanggil universal, atau kaedah melalui diskriminasi. Ia boleh digunakan untuk mana-mana persamaan kuadratik. Formula untuk diskriminasi dan punca persamaan kuadratik adalah seperti berikut:
Ia menunjukkan bahawa punca bergantung pada nilai setiap tiga pekali persamaan. Lebih-lebih lagi, pengiraanx1 berbeza daripada pengiraan x2 hanya dengan tanda sebelum punca kuasa dua. Ungkapan radikal, yang sama dengan b2 - 4ac, tidak lebih daripada diskriminasi kesamaan yang dianggap. Diskriminasi dalam formula untuk punca-punca persamaan kuadratik memainkan peranan penting kerana ia menentukan bilangan dan jenis penyelesaian. Jadi, jika ia adalah sifar, maka hanya akan ada satu penyelesaian, jika ia positif, maka persamaan mempunyai dua punca nyata, akhirnya, diskriminasi negatif membawa kepada dua punca kompleks x1 dan x 2.
Teorem Vieta atau beberapa sifat punca persamaan tertib kedua
Pada penghujung abad ke-16, salah seorang pengasas algebra moden, Perancis Francois Viet, mengkaji persamaan tertib kedua, dapat memperoleh sifat-sifat akarnya. Secara matematik, mereka boleh ditulis seperti ini:
x1 + x2=-b / a dan x1 x 2=c / a.
Kedua-dua kesamaan boleh diperolehi dengan mudah oleh sesiapa sahaja, untuk ini hanya perlu melakukan operasi matematik yang sesuai dengan punca yang diperoleh melalui formula dengan diskriminasi.
Gabungan kedua-dua ungkapan ini boleh dipanggil formula kedua bagi punca-punca persamaan kuadratik, yang memungkinkan untuk meneka penyelesaiannya tanpa menggunakan diskriminasi. Perlu diingatkan di sini bahawa walaupun kedua-dua ungkapan sentiasa sah, adalah mudah untuk menggunakannya untuk menyelesaikan persamaan hanya jika ia boleh difaktorkan.
Tugas untuk menyatukan pengetahuan yang diperoleh
Mari kita selesaikan masalah matematik di mana kita akan menunjukkan semua teknik yang dibincangkan dalam artikel. Syarat masalah adalah seperti berikut: anda perlu mencari dua nombor yang hasil darabnya ialah -13, dan jumlahnya ialah 4.
Keadaan ini segera mengingatkan teorem Vieta, menggunakan formula untuk jumlah punca kuasa dua dan hasil darabnya, kami menulis:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Andaikan a=1, kemudian b=-4 dan c=-13. Pekali ini membolehkan kita menulis persamaan tertib kedua:
x2 - 4x - 13=0.
Gunakan formula dengan diskriminasi, kita mendapat punca berikut:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Iaitu, tugasan dikurangkan kepada mencari nombor √68. Ambil perhatian bahawa 68=417, kemudian menggunakan sifat punca kuasa dua, kita dapat: √68=2√17.
Sekarang mari kita gunakan formula punca kuasa dua yang dipertimbangkan: a0=4, kemudian:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Tidak perlu mengira a3 kerana nilai yang ditemui berbeza sebanyak 0.02 sahaja. Oleh itu, √68=8.246. Menggantikannya ke dalam formula untuk x 1, 2, kami dapat:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 dan x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Seperti yang anda lihat, jumlah nombor yang ditemui sememangnya 4, tetapi jika anda menemui hasil darabnya, ia akan bersamaan dengan -12,999, yang memenuhi keadaan masalah dengan ketepatan 0.001.
