Isipadu piramid segi empat sekata. Formula dan contoh tugasan

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-17 05:36

Apabila mengkaji secara mutlak mana-mana angka spatial, adalah penting untuk mengetahui cara mengira isipadunya. Artikel ini menyediakan formula untuk isipadu piramid segi empat biasa dan juga menunjukkan cara formula ini harus digunakan menggunakan contoh penyelesaian masalah.

Piramid manakah yang kita bincangkan?

Setiap pelajar sekolah menengah tahu bahawa piramid ialah polihedron yang terdiri daripada segi tiga dan poligon. Yang terakhir adalah asas angka itu. Segitiga mempunyai satu sisi sepunya dengan tapak dan bersilang pada satu titik, iaitu bahagian atas piramid.

Setiap piramid dicirikan oleh panjang sisi tapak, panjang tepi sisi dan ketinggian. Yang terakhir ialah segmen berserenjang, diturunkan ke pangkal dari bahagian atas rajah.

Piramid segi empat biasa ialah rajah dengan tapak segi empat sama, yang ketinggiannya bersilang dengan segi empat sama ini di tengahnya. Mungkin contoh yang paling terkenal bagi jenis piramid ini ialah struktur batu Mesir kuno. Di bawah adalah fotopiramid Cheops.

Rajah yang dikaji mempunyai lima muka, empat daripadanya ialah segi tiga sama kaki. Ia juga dicirikan oleh lima bucu, empat daripadanya tergolong dalam tapak dan lapan tepi (4 tepi tapak dan 4 tepi muka sisi).

Rumus untuk isipadu piramid segi empat tepat adalah betul

Isipadu rajah yang dimaksudkan ialah sebahagian daripada ruang yang dihadkan oleh lima sisi. Untuk mengira isipadu ini, kami menggunakan kebergantungan berikut bagi luas hirisan yang selari dengan tapak piramid S_z pada koordinat menegak z:

S_z=S_o (j - z/j)²

Di sini S_o ialah luas tapak segi empat sama. Jika kita menggantikan z=h ke dalam ungkapan bertulis, maka kita akan mendapat nilai sifar untuk S_z. Nilai z ini sepadan dengan kepingan yang hanya akan mengandungi bahagian atas piramid. Jika z=0, maka kita mendapat nilai kawasan asas S_o.

Adalah mudah untuk mencari isipadu piramid jika anda mengetahui fungsi S_z(z), untuk ini ia sudah cukup untuk memotong angka itu kepada nombor yang tidak terhingga lapisan selari dengan pangkalan, dan kemudian menjalankan operasi penyepaduan. Saya mengikuti teknik ini, kami dapat:

V=∫₀^h(S_z)dz=-S ₀(h-z)³ / (3j²)|₀ ^h=1/3S₀h.

Kerana S₀ ialahluas tapak segi empat sama, kemudian, menandakan sisi segi empat sama dengan huruf a, kita memperoleh formula untuk isipadu piramid segiempat biasa:

V=1/3a²j.

Sekarang mari kita gunakan contoh penyelesaian masalah untuk menunjukkan cara ungkapan ini harus digunakan.

Masalah menentukan isipadu piramid melalui apotem dan tepi sisi

Apotema piramid ialah ketinggian segi tiga sisinya, yang diturunkan ke sisi tapak. Oleh kerana semua segi tiga adalah sama dalam piramid biasa, apotema mereka juga akan sama. Mari kita nyatakan panjangnya dengan simbol h_b. Nyatakan tepi sisi sebagai b.

Mengetahui bahawa apotema piramid ialah 12 cm, dan tepi sisinya ialah 15 cm, cari isipadu piramid segi empat sekata.

Formula untuk isipadu rajah yang ditulis dalam perenggan sebelumnya mengandungi dua parameter: panjang sisi a dan tinggi h. Pada masa ini, kami tidak mengenali mana-mana daripada mereka, jadi mari kita lihat pengiraan mereka.

Panjang sisi segi empat sama a mudah dikira jika anda menggunakan teorem Pythagoras untuk segi tiga tegak, di mana hipotenus ialah tepi b, dan kaki ialah apotema h _b dan separuh daripada sisi tapak a/2. Kami mendapat:

b²=h_b²+ a² /4=>

a=2√(b²- h_b²).

Menggantikan nilai yang diketahui daripada keadaan, kita mendapat nilai a=18 cm.

Untuk mengira ketinggian h piramid, anda boleh melakukan dua perkara: pertimbangkan segi empat tepatsegi tiga dengan tepi hipotenus-sisi atau dengan hipotenus-apotema. Kedua-dua kaedah adalah sama dan melibatkan prestasi bilangan operasi matematik yang sama. Marilah kita memikirkan tentang segi tiga, di mana hipotenus ialah apotema h_b. Kaki di dalamnya akan menjadi h dan a / 2. Kemudian kita dapat:

h=√(h_b²-a²/4)=√(12 ²- 18²/4)=7, 937 sm.

Kini anda boleh menggunakan formula untuk volum V:

V=1/3a²h=1/318²7, 937=857, 196 sm ³.

Oleh itu, isipadu piramid segi empat biasa adalah lebih kurang 0.86 liter.

Isipadu piramid Cheops

Sekarang mari kita selesaikan masalah yang menarik dan boleh dikatakan penting: cari isipadu piramid terbesar di Giza. Dari kesusasteraan diketahui bahawa ketinggian asal bangunan itu ialah 146.5 meter, dan panjang tapaknya ialah 230.363 meter. Nombor ini membolehkan kami menggunakan formula untuk mengira V. Kami mendapat:

V=1/3a²h=1/3230, 363²146, 5 ≈ 2591444 m ³.

Nilai yang terhasil hampir 2.6 juta m³. Isipadu ini sepadan dengan isipadu kubus yang sisinya ialah 137.4 meter.