Sudut dihedral piramid dan kaedah pengiraannya

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-01-02 17:53

Parameter linear biasa mana-mana piramid ialah panjang sisi tapak, ketinggian, tepi sisi dan apotemanya. Walau bagaimanapun, terdapat satu lagi ciri yang dikaitkan dengan parameter yang diperhatikan - ini adalah sudut dihedral. Pertimbangkan dalam artikel apa itu dan cara mencarinya.

Piramid angka ruang

Setiap pelajar mempunyai idea yang baik tentang perkara yang dipertaruhkan apabila dia mendengar perkataan "piramid". Ia boleh dibina secara geometri seperti berikut: pilih poligon tertentu, kemudian tetapkan titik dalam ruang dan sambungkannya ke setiap sudut poligon. Angka tiga dimensi yang terhasil akan menjadi piramid jenis arbitrari. Poligon yang membentuknya dipanggil tapak, dan titik di mana semua sudutnya disambungkan ialah puncak rajah. Rajah di bawah secara skematik menunjukkan piramid pentagonal.

Ia boleh dilihat bahawa permukaannya dibentuk bukan sahaja oleh pentagon, tetapi juga oleh lima segi tiga. Secara umum, bilangan segi tiga ini akan sama dengan nomborsisi tapak poligon.

Sudut dihedral rajah

Apabila masalah geometri dipertimbangkan pada satah, sebarang sudut dibentuk oleh dua garis lurus atau segmen yang bersilang. Di ruang angkasa, sudut dihedral ditambah pada sudut linear ini, dibentuk oleh persilangan dua satah.

Jika takrifan sudut yang ditanda dalam ruang digunakan pada rajah yang dimaksudkan, maka kita boleh mengatakan bahawa terdapat dua jenis sudut dihedral:

Di dasar piramid. Ia dibentuk oleh satah tapak dan mana-mana muka sisi (segi tiga). Ini bermakna sudut tapak piramid ialah n, dengan n ialah bilangan sisi poligon.
Antara sisi (segi tiga). Bilangan sudut dihedral ini juga ialah n keping.

Perhatikan bahawa jenis sudut pertama yang dipertimbangkan dibina pada tepi tapak, jenis kedua - pada tepi sisi.

Bagaimana untuk mengira sudut piramid?

Sudut linear bagi sudut dihedral ialah ukuran sudut yang terakhir. Tidak mudah untuk mengiranya, kerana muka piramid, tidak seperti muka prisma, tidak bersilang pada sudut tepat dalam kes umum. Ia paling boleh dipercayai untuk mengira nilai sudut dihedral menggunakan persamaan satah dalam bentuk umum.

Dalam ruang tiga dimensi, satah diberikan oleh ungkapan berikut:

Ax + By + Cz + D=0

Di mana A, B, C, D ialah beberapa nombor nyata. Kemudahan persamaan ini ialah tiga nombor bertanda pertama ialah koordinat vektor,yang berserenjang dengan satah yang diberikan, iaitu:

n¯=[A; B; C]

Jika koordinat tiga titik kepunyaan satah diketahui, maka dengan mengambil hasil darab vektor dua vektor yang dibina pada titik ini, seseorang boleh mendapatkan koordinat n¯. Vektor n¯ dipanggil panduan untuk kapal terbang.

Mengikut takrifan, sudut dihedral yang dibentuk oleh persilangan dua satah adalah sama dengan sudut linear antara vektor arahnya. Katakan kita mempunyai dua satah yang vektor normalnya adalah sama:

₁¯=[A₁; B₁; C₁];

₂¯=[A₂; B₂; C₂]

Untuk mengira sudut φ antara mereka, anda boleh menggunakan sifat produk skalar, kemudian formula yang sepadan menjadi:

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n₂¯|))

Atau dalam bentuk koordinat:

φ=arccos(|A₁A₂+ B₁B ₂+ C₁C₂|/(√(A₁ 2 ^{+ B}12^+C12 ^)√(A22 ^{+ B}22+ C²₂)))

Mari tunjukkan cara menggunakan kaedah di atas untuk mengira sudut dihedral semasa menyelesaikan masalah geometri.

Sudut piramid segi empat sekata

Andaikan terdapat sebuah piramid sekata, di pangkalnya terdapat segi empat sama dengan sisi 10 cm. Ketinggian rajah itu ialah12 cm. Adalah perlu untuk mengira sudut dihedral pada dasar piramid dan untuk sisinya.

Oleh kerana rajah yang diberikan dalam keadaan masalah adalah betul, iaitu mempunyai simetri yang tinggi, maka semua sudut di tapak adalah sama antara satu sama lain. Sudut yang dibentuk oleh muka sisi juga sama. Untuk mengira sudut dihedral yang diperlukan, kita mencari vektor arah untuk tapak dan dua satah sisi. Nyatakan panjang sisi tapak dengan huruf a dan tinggi h.

Gambar di atas menunjukkan piramid sekata empat segi empat. Mari kita tulis koordinat titik A, B, C dan D mengikut sistem koordinat yang dimasukkan:

A(a/2; -a/2; 0);

B(a/2; a/2; 0);

C(-a/2; a/2; 0);

D(0; 0; h)

Sekarang kita dapati vektor arah untuk satah asas ABC dan kedua-dua belah ABD dan BCD mengikut kaedah yang diterangkan dalam perenggan di atas:

Untuk ABC:

AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n₁¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a²)

Untuk ABD:

AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n₂¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a²/2)

Untuk BCD:

BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n₃¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a²/2)

Kini tinggal menggunakan formula yang sesuai untuk sudut φ dan menggantikan nilai sisi dan ketinggian daripada pernyataan masalah:

Sudut antara ABC danABD:

(n₁¯n₂¯)=a⁴/2; |n₁¯|=a²; |n₂¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/2/(a²a√(h^{2+ a}2^{/4)))=arccos(a/(2√(h}2 ^{+ a}2 /4)))=67, 38^o

Sudut antara ABD dan BDC:

(n₂¯n₃¯)=a⁴/4; |n₂¯|=a√(h² + a²/4); |n₃¯|=a√(h² + a²/4);

φ=arccos(a⁴/(4a²(h²+ a²/4))=arccos(a²/(4(h²+a 2^{/4)))=81, 49}o

Kami mengira nilai sudut yang perlu dicari mengikut keadaan masalah. Rumus yang diperoleh dalam menyelesaikan masalah boleh digunakan untuk menentukan sudut dihedral bagi piramid sekata segi empat dengan sebarang nilai a dan h.

Sudut piramid sekata segi tiga

Rajah di bawah menunjukkan sebuah piramid yang tapaknya ialah segi tiga sekata. Adalah diketahui bahawa sudut dihedral antara sisi adalah betul. Ia adalah perlu untuk mengira luas tapak jika diketahui bahawa ketinggian rajah ialah 15 cm.

Sudut dihedral bersamaan dengan 90^o dilambangkan sebagai ABC dalam rajah. Anda boleh menyelesaikan masalah menggunakan kaedah di atas, tetapi dalam kes ini kami akan melakukannya dengan lebih mudah. Mari kita nyatakan sisi segi tiga a, ketinggian rajah - h, apotema - h_b dan sisirusuk - b. Kini anda boleh menulis formula berikut:

S=1/2ah_b;

b²=h_b²+ a² /4;

b²=h² + a²/3

Memandangkan dua segi tiga sisi dalam piramid adalah sama, sisi AB dan CB adalah sama dan ialah kaki bagi segi tiga ABC. Mari kita nyatakan panjangnya dengan x, kemudian: