Geometri ialah cabang matematik yang mengkaji struktur dalam angkasa dan hubungan antaranya. Sebaliknya, ia juga terdiri daripada bahagian, dan salah satunya ialah stereometri. Ia memperuntukkan kajian tentang sifat angka isipadu yang terletak di angkasa: kubus, piramid, bola, kon, silinder, dsb.
Kon ialah badan dalam ruang Euclidean yang membatasi permukaan kon dan satah di mana hujung penjananya terletak. Pembentukannya berlaku dalam proses putaran segitiga bersudut tegak di sekeliling mana-mana kakinya, oleh itu ia tergolong dalam badan revolusi.
Komponen kon
Jenis kon berikut dibezakan: serong (atau serong) dan lurus. Serong ialah paksi yang bersilang dengan pusat tapaknya bukan pada sudut tepat. Atas sebab ini, ketinggian dalam kon sedemikian tidak bertepatan dengan paksi, kerana ia adalah segmen yang diturunkan dari bahagian atas badan ke satahnyaasas pada 90°.
Kon itu, yang paksinya berserenjang dengan tapaknya, dipanggil kon lurus. Paksi dan ketinggian dalam badan geometri sedemikian bertepatan kerana fakta bahawa bucu di dalamnya terletak di atas pusat diameter tapak.
Kon terdiri daripada unsur berikut:
- Bulatan yang menjadi pangkalnya.
- Tepi.
- Titik yang tidak terletak pada satah tapak, dipanggil bahagian atas kon.
- Segmen yang menghubungkan titik bulatan pangkal badan geometri dan bahagian atasnya.
Semua segmen ini adalah penjanaan kon. Mereka condong ke pangkal jasad geometri, dan dalam kes kon tegak unjuran mereka adalah sama, kerana bucu adalah sama jarak dari titik bulatan tapak. Oleh itu, kita boleh membuat kesimpulan bahawa dalam kon biasa (lurus), penjana adalah sama, iaitu, ia mempunyai panjang yang sama dan membentuk sudut yang sama dengan paksi (atau ketinggian) dan tapak.
Memandangkan dalam badan revolusi serong (atau condong) bucu disesarkan berbanding dengan pusat satah asas, penjana dalam badan sedemikian mempunyai panjang dan unjuran yang berbeza, kerana setiap satu daripadanya berada pada jarak yang berbeza daripada mana-mana dua titik bulatan asas. Selain itu, sudut di antaranya dan ketinggian kon juga berbeza.
Panjang penjana dalam kon kanan
Seperti yang ditulis sebelum ini, ketinggian dalam badan revolusi geometri lurus adalah berserenjang dengan satah tapak. Oleh itu, generatrik, tinggi dan jejari tapak menghasilkan segi tiga tepat dalam kon.
Iaitu, mengetahui jejari tapak dan ketinggian, menggunakan formula daripada teorem Pythagoras, anda boleh mengira panjang generatriks, yang akan sama dengan jumlah kuasa dua jejari tapak dan ketinggian:
l2 =r2+ h2 atau l=√r 2 + h2
di mana saya ialah generatriks;
r – jejari;
j – tinggi.
Generatif dalam kon serong
Berdasarkan fakta bahawa dalam kon serong atau serong penjana tidak mempunyai panjang yang sama, ia tidak akan dapat dikira tanpa pembinaan dan pengiraan tambahan.
Pertama sekali, anda perlu mengetahui ketinggian, panjang paksi dan jejari tapak.
Mempunyai data ini, anda boleh mengira bahagian jejari yang terletak di antara paksi dan ketinggian, menggunakan formula daripada teorem Pythagoras:
r1=√k2 - h2
di mana r1 ialah bahagian jejari antara paksi dan ketinggian;
k – panjang gandar;
j – tinggi.
Akibat daripada menambah jejari (r) dan bahagiannya yang terletak di antara paksi dan ketinggian (r1), anda boleh mengetahui bahagian penuh sebelah kanan segi tiga yang dibentuk oleh generatriks kon, ketinggian dan bahagian diameternya:
R=r + r1
di mana R ialah kaki segi tiga yang dibentuk oleh ketinggian, generatriks dan sebahagian daripada diameter tapak;
r – jejari tapak;
r1 – sebahagian daripada jejari antara paksi dan ketinggian.
Menggunakan formula yang sama daripada teorem Pythagoras, anda boleh mencari panjang generatriks kon:
l=√h2+ R2
atau, tanpa mengira R secara berasingan, gabungkan dua formula menjadi satu:
l=√h2 + (r + r1)2.
Walaupun sama ada kon lurus atau serong dan jenis data input, semua kaedah untuk mencari panjang generatrik sentiasa turun kepada satu hasil - penggunaan teorem Pythagoras.
Bahagian kon
Bahagian paksi kon ialah satah yang melalui paksi atau ketinggiannya. Dalam kon kanan, bahagian tersebut ialah segi tiga sama kaki, di mana ketinggian segi tiga ialah ketinggian badan, sisinya ialah penjana, dan tapak ialah diameter tapak. Dalam badan geometri sama sisi, bahagian paksi ialah segi tiga sama sisi, kerana dalam kon ini diameter tapak dan penjana adalah sama.
Satah keratan paksi dalam kon lurus ialah satah simetrinya. Sebabnya ialah bahagian atasnya berada di atas pusat tapaknya, iaitu, satah bahagian paksi membahagikan kon kepada dua bahagian yang sama.
Memandangkan ketinggian dan paksi tidak sepadan dalam pepejal condong, satah bahagian paksi mungkin tidak termasuk ketinggian. Sekiranya mungkin untuk membina satu set bahagian paksi dalam kon sedemikian, kerana hanya satu syarat yang mesti diperhatikan untuk ini - ia mesti melalui hanya paksi, maka hanya satu bahagian paksi pesawat, yang akan tergolong dalam ketinggian kon ini, boleh dilukis, kerana bilangan keadaan bertambah, dan, seperti yang diketahui, dua baris (bersama-sama) boleh menjadi milikhanya satu kapal terbang.
Kawasan bahagian
Bahagian paksi kon yang disebut tadi ialah segi tiga. Berdasarkan ini, luasnya boleh dikira menggunakan formula untuk luas segi tiga:
S=1/2dh atau S=1/22rh
di mana S ialah luas keratan rentas;
d – diameter tapak;
r – jejari;
j – tinggi.
Dalam kon serong atau serong, bahagian sepanjang paksi juga ialah segi tiga, jadi luas keratan rentas di dalamnya dikira sama.
Jilid
Memandangkan kon ialah angka tiga dimensi dalam ruang tiga dimensi, kita boleh mengira isipadunya. Isipadu kon ialah nombor yang mencirikan badan ini dalam unit isipadu, iaitu, dalam m3. Pengiraan tidak bergantung pada sama ada ia lurus atau serong (serong), kerana formula untuk kedua-dua jenis badan ini tidak berbeza.
Seperti yang dinyatakan sebelum ini, pembentukan kon tegak berlaku disebabkan oleh putaran segitiga tegak di sepanjang salah satu kakinya. Kon condong atau serong terbentuk secara berbeza, kerana ketinggiannya dialihkan dari pusat satah asas badan. Walau bagaimanapun, perbezaan struktur sedemikian tidak menjejaskan kaedah pengiraan isipadunya.
Pengiraan volum
Formula untuk isipadu mana-mana kon kelihatan seperti ini:
V=1/3πhr2
di mana V ialah isipadu kon;
h – tinggi;
r – jejari;
π - pemalar sama dengan 3, 14.
Untuk mengira isipadu kon, anda perlu mempunyai data tentang ketinggian dan jejari pangkal badan.
Untuk mengira ketinggian jasad, anda perlu mengetahui jejari tapak dan panjang generatriknya. Oleh kerana jejari, tinggi dan generatrik digabungkan menjadi segi tiga tepat, ketinggian boleh dikira menggunakan formula daripada teorem Pythagoras (a2+ b2=c 2 atau dalam kes kami h2+ r2=l2 , di mana l - generatrix). Dalam kes ini, ketinggian akan dikira dengan mengekstrak punca kuasa dua perbezaan antara kuasa dua hipotenus dan kaki yang satu lagi:
a=√c2- b2
Iaitu, ketinggian kon akan sama dengan nilai yang diperoleh selepas mengekstrak punca kuasa dua daripada perbezaan antara kuasa dua panjang generatrix dan kuasa dua jejari tapak:
h=√l2 - r2
Mengira ketinggian menggunakan kaedah ini dan mengetahui jejari tapaknya, anda boleh mengira isipadu kon. Dalam kes ini, generatrix memainkan peranan penting, kerana ia berfungsi sebagai elemen tambahan dalam pengiraan.
Begitu juga, jika anda mengetahui ketinggian badan dan panjang generatriksnya, anda boleh mencari jejari tapaknya dengan mengekstrak punca kuasa dua perbezaan antara kuasa dua generatriks dan kuasa dua ketinggian:
r=√l2 - h2
Kemudian, menggunakan formula yang sama seperti di atas, hitung isipadu kon itu.
Isipadu kon condong
Memandangkan formula untuk isipadu kon adalah sama untuk semua jenis badan revolusi, perbezaan dalam pengiraannya ialah pencarian ketinggian.
Untuk mengetahui ketinggian kon condong, data input mesti termasuk panjang generatriks, jejari tapak dan jarak antara pusattapak dan persilangan ketinggian jasad dengan satah tapaknya. Mengetahui perkara ini, anda boleh mengira dengan mudah bahagian diameter tapak itu, yang akan menjadi tapak segi tiga bersudut tegak (dibentuk oleh ketinggian, generatrik dan satah tapak). Kemudian, sekali lagi menggunakan teorem Pythagoras, hitung ketinggian kon, dan seterusnya isipadunya.
