Konsep prisma. Formula isipadu untuk prisma pelbagai jenis: sekata, lurus dan serong. Penyelesaian masalah

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-17 05:36

Volume ialah ciri mana-mana rajah yang mempunyai dimensi bukan sifar dalam ketiga-tiga dimensi ruang. Dalam artikel ini, dari sudut pandangan stereometri (geometri angka ruang), kami akan mempertimbangkan prisma dan menunjukkan cara mencari isipadu prisma pelbagai jenis.

Apakah itu prisma?

Stereometri mempunyai jawapan yang tepat untuk soalan ini. Prisma di dalamnya difahami sebagai rajah yang dibentuk oleh dua muka poligon yang sama dan beberapa segi empat selari. Gambar di bawah menunjukkan empat prisma berbeza.

Setiap daripadanya boleh diperoleh seperti berikut: anda perlu mengambil poligon (segi tiga, segi empat dan seterusnya) dan segmen dengan panjang tertentu. Kemudian setiap bucu poligon hendaklah dipindahkan menggunakan segmen selari ke satah lain. Dalam satah baharu, yang akan selari dengan satah asal, poligon baharu akan diperoleh, sama seperti yang dipilih pada mulanya.

Prisma boleh terdiri daripada pelbagai jenis. Jadi, mereka boleh lurus, serong dan betul. Jika tepi sisi prisma (segmen,menyambungkan bucu tapak) berserenjang dengan tapak rajah, maka yang terakhir ialah garis lurus. Oleh itu, jika syarat ini tidak dipenuhi, maka kita bercakap tentang prisma condong. Angka sekata ialah prisma tegak dengan tapak segi empat sama dan sama sisi.

Kemudian dalam artikel kami akan menunjukkan cara mengira isipadu setiap jenis prisma ini.

Isipadu prisma biasa

Mari kita mulakan dengan kes yang paling mudah. Kami memberikan formula untuk isipadu prisma sekata dengan tapak n-gonal. Formula isipadu V untuk mana-mana rajah kelas yang sedang dipertimbangkan adalah seperti berikut:

V=S_oh.

Iaitu, untuk menentukan isipadu, cukup untuk mengira luas salah satu tapak S_o dan darabkannya dengan ketinggian h angka itu.

Dalam kes prisma sekata, mari kita nyatakan panjang sisi tapaknya dengan huruf a, dan tinggi, yang sama dengan panjang tepi sisi, dengan huruf h. Jika pangkal n-gon adalah betul, maka cara paling mudah untuk mengira luasnya ialah menggunakan formula universal berikut:

S=n/4a²ctg(pi/n).

Menggantikan nilai bilangan sisi n dan panjang satu sisi a kepada kesamaan, anda boleh mengira luas tapak n-gonal. Ambil perhatian bahawa fungsi kotangen di sini dikira untuk sudut pi/n, yang dinyatakan dalam radian.

Memandangkan kesamaan yang ditulis untuk S, kami memperoleh formula akhir untuk isipadu prisma sekata:

V=n/4a²hctg(pi/n).

Untuk setiap kes tertentu, anda boleh menulis formula yang sepadan untuk V, tetapi semuanyaunik mengikuti daripada ungkapan umum bertulis. Sebagai contoh, untuk prisma segi empat sekata biasa, yang dalam kes umum ialah segiempat selari, kita dapat:

V₄=4/4a²hctg(pi/4)=a² h.

Jika kita mengambil h=a dalam ungkapan ini, maka kita mendapat formula untuk isipadu kubus.

Isipadu prisma terus

Kami segera ambil perhatian bahawa untuk angka lurus tidak ada formula umum untuk mengira isipadu, yang diberikan di atas untuk prisma biasa. Apabila mencari nilai yang dimaksudkan, ungkapan asal harus digunakan:

V=S_oh.

Di sini h ialah panjang tepi sisi, seperti dalam kes sebelumnya. Bagi kawasan asas S_o, ia boleh mengambil pelbagai nilai. Tugas mengira prisma lurus isipadu dikurangkan untuk mencari luas tapaknya.

Pengiraan nilai S_ohendaklah dilakukan berdasarkan ciri tapak itu sendiri. Sebagai contoh, jika ia adalah segi tiga, maka luasnya boleh dikira seperti ini:

S_o3=1/2ah_a.

Di sini h_a ialah apotem bagi segi tiga, iaitu ketinggiannya diturunkan ke tapak a.

Jika tapak ialah segi empat, maka ia boleh menjadi trapezium, segi empat selari, segi empat tepat atau jenis arbitrari sepenuhnya. Untuk semua kes ini, anda harus menggunakan formula planimetri yang sesuai untuk menentukan kawasan. Sebagai contoh, untuk trapezoid, formula ini kelihatan seperti:

S_o4=1/2(a₁+ a₂)h _a.

Di mana h_a ialah ketinggian trapezoid, a₁ dan a₂ ialah panjang sisi selarinya.

Untuk menentukan luas bagi poligon tertib yang lebih tinggi, anda harus membahagikannya kepada bentuk mudah (segi tiga, segi empat) dan mengira hasil tambah luas bagi poligon tersebut.

Volume Prisma Senget

Ini adalah kes paling sukar untuk mengira isipadu prisma. Formula umum untuk angka tersebut juga terpakai:

V=S_oh.

Walau bagaimanapun, kepada kerumitan mencari luas tapak yang mewakili jenis poligon sewenang-wenangnya, masalah menentukan ketinggian rajah ditambah. Ia sentiasa kurang daripada panjang tepi sisi dalam prisma condong.

Cara paling mudah untuk mencari ketinggian ini ialah jika anda mengetahui mana-mana sudut rajah (rata atau dihedral). Jika sudut sedemikian diberikan, maka seseorang harus menggunakannya untuk membina segitiga bersudut tegak di dalam prisma, yang akan mengandungi ketinggian h sebagai salah satu sisi dan, menggunakan fungsi trigonometri dan teorem Pythagoras, cari nilai h.

Masalah volum geometri

Diberi sebuah prisma sekata dengan tapak segi tiga, mempunyai ketinggian 14 cm dan panjang sisi 5 cm. Berapakah isipadu prisma segi tiga itu?

Memandangkan kita bercakap tentang angka yang betul, kita mempunyai hak untuk menggunakan formula yang terkenal. Kami ada:

V₃=3/4a²hctg(pi/3)=3/45²141/√3=√3/42514=151.55 sm³.

Prisma segi tiga ialah rajah yang agak simetri, dalam bentuk pelbagai struktur seni bina sering dibuat. Prisma kaca ini digunakan dalam optik.