Bagaimana untuk mengira luas piramid: tapak, sisi dan penuh?

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-17 05:36

Semasa membuat persediaan untuk peperiksaan dalam matematik, pelajar perlu mensistematikkan pengetahuan mereka tentang algebra dan geometri. Saya ingin menggabungkan semua maklumat yang diketahui, sebagai contoh, cara mengira luas piramid. Lebih-lebih lagi, bermula dari pangkal dan muka sisi ke seluruh kawasan permukaan. Jika keadaan jelas dengan muka sisi, kerana ia adalah segi tiga, maka tapaknya sentiasa berbeza.

Bagaimana untuk mencari luas pangkalan piramid?

Ia boleh dalam bentuk apa-apa sahaja: daripada segi tiga arbitrari kepada n-gon. Dan asas ini, sebagai tambahan kepada perbezaan bilangan sudut, boleh menjadi angka biasa atau salah. Dalam tugas USE yang menarik minat pelajar sekolah, terdapat hanya tugas dengan angka yang betul di pangkalan. Oleh itu, kami hanya akan bercakap tentang mereka.

Segitiga Biasa

Itu adalah sama sisi. Satu di mana semua sisi adalah sama dan dilambangkan dengan huruf "a". Dalam kes ini, luas tapak piramid dikira dengan formula:

S=(a2√3) / 4.

Petak

Formula untuk mengira luasnya adalah yang paling mudah,di sini "a" ialah sebelah lagi:

S=a2.

n-gon biasa sewenang-wenangnya

Sisi poligon mempunyai sebutan yang sama. Untuk bilangan sudut, huruf Latin n digunakan.

S=(na2) / (4tg (180º/n)).

Bagaimana untuk mengira sisi dan jumlah luas permukaan?

Memandangkan tapak adalah angka biasa, semua sisi piramid adalah sama. Lebih-lebih lagi, setiap daripada mereka adalah segitiga sama kaki, kerana tepi sisi adalah sama. Kemudian, untuk mengira kawasan sisi piramid, anda memerlukan formula yang terdiri daripada jumlah monomial yang sama. Bilangan sebutan ditentukan oleh bilangan sisi tapak.

Luas segi tiga sama kaki dikira dengan formula di mana separuh hasil darab tapak didarab dengan ketinggian. Ketinggian dalam piramid ini dipanggil apotema. Namanya ialah "A". Formula umum untuk luas permukaan sisi ialah:

S=½ PA, dengan P ialah perimeter tapak piramid.

Terdapat situasi apabila sisi tapak tidak diketahui, tetapi tepi sisi (c) dan sudut rata pada bucunya (α) diberikan. Maka ia sepatutnya menggunakan formula ini untuk mengira luas sisi piramid:

S=n/2dalam2 dosa α.

Masalah 1

Keadaan. Cari jumlah luas piramid jika tapaknya ialah segi tiga sama sisi dengan sisi 4 cm, dan apotema ialah √3 cm.

Keputusan. miliknyaAnda perlu bermula dengan mengira perimeter tapak. Oleh kerana ini adalah segitiga biasa, maka P \u003d 34 \u003d 12 cm Memandangkan apotema diketahui, anda boleh segera mengira luas keseluruhan permukaan sisi: ½12√3=6 √3 sm 2.

Untuk segi tiga di tapak, anda mendapat nilai kawasan berikut: (4²√3) / 4=4√3 cm^2.

Untuk menentukan jumlah kawasan, anda perlu menambah dua nilai yang terhasil: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.

Jawapan. 10√3sm2.

Masalah 2

Keadaan. Terdapat piramid segi empat biasa. Panjang sisi pangkalan ialah 7 mm, tepi sisi ialah 16 mm. Anda perlu mengetahui luas permukaannya.

Keputusan. Oleh kerana polihedron adalah segi empat tepat dan sekata, maka tapaknya ialah segi empat sama. Setelah mempelajari kawasan asas dan muka sisi, adalah mungkin untuk mengira luas piramid. Formula untuk segi empat sama diberikan di atas. Dan pada muka sisi, semua sisi segitiga diketahui. Oleh itu, anda boleh menggunakan formula Heron untuk mengira kawasannya.

Pengiraan pertama adalah mudah dan membawa kepada nombor ini: 49 mm². Untuk nilai kedua, anda perlu mengira separuh perimeter: (7 + 162): 2=19.5 mm. Kini anda boleh mengira luas segi tiga sama kaki: √(19.5(19.5-7)(19.5-16)²)=√2985.9375=54.644 mm ^{2. Terdapat hanya empat segi tiga sedemikian, jadi apabila mengira nombor akhir, anda perlu mendarabnya dengan 4.}

Ternyata: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.

Jawapan. Nilai yang dikehendaki 267, 576mm2.

Masalah 3

Keadaan. Untuk piramid segi empat biasa, anda perlu mengira luasnya. Ia mengetahui sisi segi empat sama - 6 cm dan tinggi - 4 cm.

Keputusan. Cara paling mudah ialah menggunakan formula dengan hasil darab perimeter dan apotema. Nilai pertama mudah dicari. Yang kedua lebih sukar sedikit.

Kita perlu mengingati teorem Pythagoras dan mempertimbangkan segi tiga tepat. Ia dibentuk oleh ketinggian piramid dan apotema, iaitu hipotenus. Kaki kedua adalah sama dengan separuh sisi segi empat sama, kerana ketinggian polihedron jatuh ke tengahnya.

Apotema yang diingini (hipotenus segi tiga tegak) ialah √(3² + 4^{2)=5 (cm).}

Kini anda boleh mengira nilai yang diperlukan: ½(46)5+6²=96 (lihat^2).

Jawapan. 96 sm2.

Masalah 4

Keadaan. Diberi piramid heksagon biasa. Sisi pangkalannya ialah 22 mm, rusuk sisi adalah 61 mm. Berapakah luas permukaan sisi polihedron ini?

Keputusan. Alasan di dalamnya adalah sama seperti yang diterangkan dalam masalah No. Hanya terdapat piramid dengan segi empat sama di pangkalnya, dan kini ia adalah heksagon.

Pertama sekali, luas tapak dikira menggunakan formula di atas: (622²) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 sm^2.

Kini anda perlu mengetahui separuh perimeter segi tiga sama kaki, iaitu muka sisi. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm. Ia kekal untuk mengira luas kawasan tersebutsegi tiga, dan kemudian darabnya dengan enam dan tambahkannya pada yang ternyata untuk tapak.

Pengiraan mengikut formula Heron: √(72(72-22)(72-61)²)=√435600=660 sm² . Pengiraan yang akan memberikan luas permukaan sisi: 6606=3960 cm². Ia kekal untuk menambahnya untuk mengetahui keseluruhan permukaan: 5217, 47≈5217 cm^2.

Jawapan. Tapak - 726√3sm², permukaan sisi - 3960sm², jumlah luas - 5217sm^2.