Masalah matematik digunakan dalam banyak sains. Ini termasuk bukan sahaja fizik, kimia, kejuruteraan dan ekonomi, tetapi juga perubatan, ekologi dan disiplin lain. Satu konsep penting untuk dikuasai bagi mencari penyelesaian kepada dilema penting ialah terbitan bagi sesuatu fungsi. Makna fizikalnya sama sekali tidak sukar untuk dijelaskan kerana ia mungkin kelihatan kepada mereka yang belum mengetahui intipati isu tersebut. Cukuplah untuk mencari contoh yang sesuai dalam kehidupan sebenar dan situasi harian biasa. Malah, mana-mana pemandu menghadapi tugas yang sama setiap hari apabila dia melihat meter kelajuan, menentukan kelajuan keretanya pada saat tertentu dalam masa tetap. Lagipun, dalam parameter inilah intipati makna fizikal terbitan itu.
Cara mencari kelajuan
Tentukan kelajuan seseorang di jalan raya, mengetahui jarak perjalanan dan masa perjalanan, mana-mana pelajar darjah lima boleh dengan mudah. Untuk melakukan ini, yang pertama daripada nilai yang diberikan dibahagikan dengan yang kedua. Tetapitidak setiap ahli matematik muda tahu bahawa dia sedang mencari nisbah kenaikan fungsi dan hujah. Sesungguhnya, jika kita membayangkan pergerakan dalam bentuk graf, memplot laluan di sepanjang paksi-y, dan masa di sepanjang abscissa, ia akan menjadi betul-betul seperti ini.
Walau bagaimanapun, kelajuan pejalan kaki atau mana-mana objek lain yang kami tentukan pada bahagian besar laluan, memandangkan pergerakan itu seragam, mungkin berubah. Terdapat banyak bentuk gerakan dalam fizik. Ia boleh dilakukan bukan sahaja dengan pecutan yang berterusan, tetapi perlahan dan meningkat dengan cara yang sewenang-wenangnya. Perlu diingatkan bahawa dalam kes ini garis yang menggambarkan pergerakan tidak lagi menjadi garis lurus. Secara grafik, ia boleh mengambil konfigurasi yang paling kompleks. Tetapi untuk mana-mana titik pada graf, kita sentiasa boleh melukis tangen yang diwakili oleh fungsi linear.
Untuk menjelaskan parameter perubahan anjakan bergantung pada masa, adalah perlu untuk memendekkan segmen yang diukur. Apabila ia menjadi sangat kecil, kelajuan yang dikira akan serta-merta. Pengalaman ini membantu kami untuk menentukan derivatif. Makna fizikalnya juga mengikut logik daripada penaakulan sedemikian.
Dari segi geometri
Adalah diketahui bahawa semakin besar kelajuan jasad, semakin curam graf pergantungan sesaran pada masa, dan dengan itu sudut kecondongan tangen kepada graf pada titik tertentu. Penunjuk perubahan tersebut boleh menjadi tangen sudut antara paksi-x dan garis tangen. Ia hanya menentukan nilai terbitan dan dikira dengan nisbah panjangbertentangan dengan kaki bersebelahan dalam segi tiga tegak yang dibentuk oleh serenjang yang dijatuhkan dari satu titik ke paksi-x.
Ini ialah makna geometri bagi terbitan pertama. Fizikal didedahkan dalam fakta bahawa nilai kaki bertentangan dalam kes kami ialah jarak perjalanan, dan yang bersebelahan ialah masa. Nisbah mereka adalah kelajuan. Dan sekali lagi kita sampai pada kesimpulan bahawa kelajuan serta-merta, ditentukan apabila kedua-dua jurang cenderung sangat kecil, adalah intipati konsep derivatif, yang menunjukkan makna fizikalnya. Derivatif kedua dalam contoh ini ialah pecutan badan, yang seterusnya menunjukkan kadar perubahan kelajuan.
Contoh mencari derivatif dalam fizik
Terbitan ialah penunjuk kadar perubahan mana-mana fungsi, walaupun kita tidak bercakap tentang pergerakan dalam erti kata literal. Untuk menunjukkan ini dengan jelas, mari kita ambil beberapa contoh konkrit. Katakan kekuatan semasa, bergantung pada masa, berubah mengikut undang-undang berikut: I=0, 4t2. Ia diperlukan untuk mencari nilai kadar perubahan parameter ini pada penghujung saat ke-8 proses. Ambil perhatian bahawa nilai yang diingini itu sendiri, seperti yang boleh dinilai daripada persamaan, sentiasa meningkat.
Untuk menyelesaikannya, anda perlu mencari terbitan pertama, yang makna fizikalnya telah dipertimbangkan sebelum ini. Di sini dI / dt=0.8t. Seterusnya, kita dapati pada t \u003d 8, kita mendapat bahawa kadar perubahan kekuatan semasa ialah 6.4 A / c. Di sini ia dianggap begituarus diukur dalam ampere, dan masa, masing-masing, dalam saat.
Semuanya berubah
Dunia sekeliling yang boleh dilihat, yang terdiri daripada jirim, sentiasa mengalami perubahan, sedang bergerak dalam pelbagai proses yang berlaku di dalamnya. Pelbagai parameter boleh digunakan untuk menerangkannya. Jika mereka disatukan oleh pergantungan, maka mereka ditulis secara matematik sebagai fungsi yang jelas menunjukkan perubahan mereka. Dan apabila terdapat pergerakan (dalam apa jua bentuk ia dinyatakan), terdapat juga terbitan, makna fizikal yang sedang kita pertimbangkan pada masa ini.
Pada kesempatan ini, contoh berikut. Katakan suhu badan berubah mengikut hukum T=0, 2 t 2. Anda harus mencari kadar pemanasannya pada penghujung saat ke-10. Masalah diselesaikan dengan cara yang sama seperti yang diterangkan dalam kes sebelumnya. Iaitu, kami mencari derivatif dan menggantikan nilai untuk t \u003d 10 ke dalamnya, kami mendapat T \u003d 0, 4 t \u003d 4. Ini bermakna jawapan akhir ialah 4 darjah sesaat, iaitu proses pemanasan dan perubahan suhu, diukur dalam darjah, berlaku dengan tepat pada kelajuan sedemikian.
Menyelesaikan masalah praktikal
Sudah tentu, dalam kehidupan sebenar segala-galanya jauh lebih rumit daripada masalah teori. Dalam amalan, nilai kuantiti biasanya ditentukan semasa eksperimen. Dalam kes ini, instrumen digunakan yang memberikan bacaan semasa pengukuran dengan ralat tertentu. Oleh itu, dalam pengiraan, seseorang perlu berurusan dengan nilai anggaran parameter dan menggunakan nombor yang menyusahkan,serta penyederhanaan lain. Setelah mengambil kira perkara ini, kami sekali lagi akan meneruskan kepada masalah tentang makna fizikal terbitan, memandangkan ia hanyalah sejenis model matematik proses paling kompleks yang berlaku di alam semula jadi.
Letusan Gunung Berapi
Mari bayangkan gunung berapi meletus. Betapa berbahayanya dia? Untuk menjawab soalan ini, banyak faktor perlu dipertimbangkan. Kami akan cuba untuk menampung salah satu daripadanya.
Dari mulut "raksasa berapi" batu dilemparkan secara menegak ke atas, mempunyai kelajuan awal dari saat ia keluar ke luar 120 m/s. Anda perlu mengira apa yang mereka boleh capai ketinggian maksimum.
Untuk mencari nilai yang diingini, kami akan menyusun persamaan untuk pergantungan ketinggian H, diukur dalam meter, pada nilai lain. Ini termasuk kelajuan dan masa awal. Nilai pecutan dianggap diketahui dan lebih kurang sama dengan 10 m/s2.
Terbitan separa
Sekarang mari kita pertimbangkan makna fizikal terbitan fungsi dari sudut yang sedikit berbeza, kerana persamaan itu sendiri boleh mengandungi bukan satu, tetapi beberapa pembolehubah. Sebagai contoh, dalam masalah sebelumnya, pergantungan ketinggian batu yang dikeluarkan dari bolong gunung berapi ditentukan bukan sahaja oleh perubahan ciri masa, tetapi juga oleh nilai halaju awal. Yang terakhir dianggap sebagai nilai tetap dan tetap. Tetapi dalam tugas lain dengan keadaan yang sama sekali berbeza, semuanya mungkin berbeza. Jika kuantiti yang kompleksfungsi, beberapa, pengiraan dibuat mengikut formula di bawah.
Makna fizikal terbitan kerap hendaklah ditentukan seperti dalam kes biasa. Ini ialah kadar perubahan fungsi pada satu titik tertentu apabila parameter pembolehubah meningkat. Ia dikira sedemikian rupa sehingga semua komponen lain diambil sebagai pemalar, hanya satu dianggap sebagai pembolehubah. Kemudian semuanya berlaku mengikut peraturan biasa.
Penasihat yang amat diperlukan dalam banyak isu
Memahami makna fizikal terbitan, tidak sukar untuk memberikan contoh penyelesaian masalah yang rumit dan kompleks, di mana jawapannya boleh didapati dengan pengetahuan sedemikian. Jika kita mempunyai fungsi yang menerangkan penggunaan bahan api bergantung pada kelajuan kereta, kita boleh mengira pada parameter yang terakhir penggunaan petrol paling sedikit.
Dalam bidang perubatan, anda boleh meramalkan bagaimana tubuh manusia akan bertindak balas terhadap ubat yang ditetapkan oleh doktor. Pengambilan dadah menjejaskan pelbagai parameter fisiologi. Ini termasuk perubahan dalam tekanan darah, kadar denyutan jantung, suhu badan dan banyak lagi. Kesemuanya bergantung kepada dos ubat yang diambil. Pengiraan ini membantu untuk meramalkan perjalanan rawatan, kedua-duanya dalam manifestasi yang menggalakkan dan dalam kemalangan yang tidak diingini yang boleh menjejaskan perubahan yang membawa maut dalam badan pesakit.
Tidak dinafikan, adalah penting untuk memahami maksud fizikal terbitan dalam teknikalisu, khususnya dalam kejuruteraan elektrik, elektronik, reka bentuk dan pembinaan.
Jarak brek
Mari kita pertimbangkan masalah seterusnya. Bergerak pada kelajuan tetap, kereta itu, yang menghampiri jambatan, terpaksa memperlahankan 10 saat sebelum pintu masuk, kerana pemandu melihat papan tanda jalan yang melarang pergerakan pada kelajuan lebih 36 km/j. Adakah pemandu melanggar peraturan jika jarak brek boleh diterangkan dengan formula S=26t - t2?
Mengira terbitan pertama, kita dapati formula untuk kelajuan, kita dapat v=28 – 2t. Seterusnya, gantikan nilai t=10 ke dalam ungkapan yang ditentukan.
Memandangkan nilai ini dinyatakan dalam saat, kelajuan ialah 8 m/s, yang bermaksud 28.8 km/j. Ini membolehkan anda memahami bahawa pemandu mula memperlahankan masa dan tidak melanggar peraturan lalu lintas, dan oleh itu had yang ditunjukkan pada papan tanda kelajuan.
Ini membuktikan kepentingan makna fizikal terbitan. Contoh penyelesaian masalah ini menunjukkan keluasan penggunaan konsep ini dalam pelbagai bidang kehidupan. Termasuk dalam situasi harian.
Derivatif dalam ekonomi
Sehingga abad ke-19, kebanyakan ahli ekonomi beroperasi secara purata, sama ada produktiviti buruh atau harga keluaran. Tetapi dari satu ketika, mengehadkan nilai menjadi lebih diperlukan untuk membuat ramalan yang berkesan dalam bidang ini. Ini termasuk utiliti marginal, pendapatan atau kos. Memahami ini memberi dorongan kepada penciptaan alat yang sama sekali baru dalam penyelidikan ekonomi,yang telah wujud dan berkembang selama lebih seratus tahun.
Untuk membuat pengiraan sedemikian, di mana konsep seperti minimum dan maksimum mendominasi, adalah perlu untuk memahami makna geometri dan fizikal terbitan. Di antara pencipta asas teori disiplin ini, seseorang boleh menamakan ahli ekonomi Inggeris dan Austria yang terkenal seperti US Jevons, K. Menger dan lain-lain. Sudah tentu, mengehadkan nilai dalam pengiraan ekonomi tidak selalunya mudah digunakan. Dan, sebagai contoh, laporan suku tahunan tidak semestinya sesuai dengan skema sedia ada, tetapi masih, aplikasi teori sedemikian dalam banyak kes berguna dan berkesan.
