Formula isipadu piramid penuh dan terpotong. Isipadu piramid Cheops

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-17 05:36

Keupayaan untuk mengira isipadu angka spatial adalah penting dalam menyelesaikan beberapa masalah praktikal dalam geometri. Salah satu bentuk yang paling biasa ialah piramid. Dalam artikel ini, kami akan mempertimbangkan formula untuk isipadu piramid, kedua-dua penuh dan terpotong.

Piramid sebagai rajah tiga dimensi

Semua orang tahu tentang piramid Mesir, jadi mereka mempunyai idea yang baik tentang angka yang akan dibincangkan. Walau bagaimanapun, struktur batu Mesir hanyalah kes khas bagi kelas piramid yang besar.

Objek geometri yang dianggap dalam kes umum ialah tapak poligon, setiap bucunya disambungkan ke beberapa titik dalam ruang yang bukan milik satah tapak. Takrifan ini membawa kepada angka yang terdiri daripada satu n-gon dan n segi tiga.

Mana-mana piramid terdiri daripada n+1 muka, 2n tepi dan n+1 bucu. Memandangkan angka yang dipertimbangkan adalah polihedron yang sempurna, bilangan elemen bertanda mematuhi kesamaan Euler:

2n=(n+1) + (n+1) - 2.

Polygon di dasar memberikan nama piramid,contohnya, segi tiga, pentagon, dan sebagainya. Satu set piramid dengan tapak yang berbeza ditunjukkan dalam foto di bawah.

Titik di mana n segi tiga rajah itu disambungkan dipanggil bahagian atas piramid. Jika serenjang diturunkan darinya ke pangkalan dan ia bersilang di pusat geometri, maka angka tersebut akan dipanggil garis lurus. Jika syarat ini tidak dipenuhi, maka terdapat piramid condong.

Rajah lurus yang tapaknya dibentuk oleh n-gon sama sisi (segiempat) dipanggil sekata.

Rumus isipadu piramid

Untuk mengira isipadu piramid, kami menggunakan kalkulus kamiran. Untuk melakukan ini, kami membahagikan angka itu dengan satah pemisah selari dengan pangkalan ke dalam bilangan lapisan nipis yang tidak terhingga. Rajah di bawah menunjukkan piramid segi empat dengan ketinggian h dan panjang sisi L, di mana lapisan nipis keratan ditandakan dengan segi empat.

Kawasan setiap lapisan tersebut boleh dikira menggunakan formula:

A(z)=A₀(h-z)²/h².

Di sini A₀ ialah luas tapak, z ialah nilai koordinat menegak. Dapat dilihat bahawa jika z=0, maka formula memberikan nilai A₀.

Untuk mendapatkan formula bagi isipadu piramid, anda harus mengira kamiran ke atas keseluruhan ketinggian rajah, iaitu:

V=∫^h₀(A(z)dz).

Menggantikan pergantungan A(z) dan mengira antiderivatif, kita sampai pada ungkapan:

V=-A₀(h-z)³/(3j²)| ^h₀=1/3A₀h.

Kami mendapat formula untuk isipadu piramid. Untuk mencari nilai V, cukup untuk mendarabkan ketinggian angka dengan luas tapak, dan kemudian membahagikan hasilnya dengan tiga.

Perhatikan bahawa ungkapan yang terhasil adalah sah untuk mengira isipadu piramid jenis arbitrari. Iaitu, ia boleh condong, dan tapaknya boleh menjadi n-gon sewenang-wenangnya.

Piramid yang betul dan isipadunya

Formula umum untuk isipadu yang diperolehi dalam perenggan di atas boleh diperhalusi dalam kes piramid dengan tapak yang betul. Luas tapak sedemikian dikira menggunakan formula berikut:

A₀=n/4L²ctg(pi/n).

Di sini L ialah panjang sisi poligon sekata dengan n bucu. Simbol pi ialah nombor pi.

Menggantikan ungkapan untuk A₀ ke dalam formula am, kita mendapat isipadu piramid biasa:

V=1/3n/4L²hctg(pi/n)=n/12 L²hctg(pi/n).

Sebagai contoh, untuk piramid segi tiga, formula ini membawa kepada ungkapan berikut:

V₃=3/12L²hctg(60^o)=√3/12L²j.

Untuk piramid segi empat biasa, formula isipadu menjadi:

V₄=4/12L²hctg(45^o)=1/3L²j.

Menentukan isipadu piramid sekata memerlukan mengetahui sisi tapaknya dan ketinggian rajah itu.

Piramid terpotong

Andaikan kami mengambilpiramid sewenang-wenangnya dan potong bahagian permukaan sisinya yang mengandungi bahagian atas. Angka yang tinggal dipanggil piramid terpotong. Ia sudah terdiri daripada dua tapak n-gonal dan n trapezoid yang menghubungkannya. Jika satah pemotongan selari dengan tapak rajah, maka piramid terpotong dibentuk dengan tapak serupa yang selari. Iaitu, panjang sisi salah satu daripadanya boleh diperolehi dengan mendarab panjang sisi yang lain dengan beberapa pekali k.

Gambar di atas menunjukkan piramid heksagon sekata terpotong. Ia boleh dilihat bahawa tapak atasnya, seperti yang lebih rendah, dibentuk oleh heksagon sekata.

Rumus untuk isipadu piramid terpotong, yang boleh diterbitkan menggunakan kalkulus kamiran yang serupa dengan yang diberikan, ialah:

V=1/3j(A₀+ A₁+ √(A₀ A₁)).

Di mana A₀ dan A₁ ialah kawasan tapak bawah (besar) dan atas (kecil). Pembolehubah h ialah ketinggian piramid terpotong.

Isipadu piramid Cheops

Adalah menarik untuk menyelesaikan masalah menentukan isipadu yang terkandung dalam piramid Mesir terbesar.

Pada tahun 1984, pakar Mesir British Mark Lehner dan Jon Goodman mewujudkan dimensi tepat piramid Cheops. Ketinggian asalnya ialah 146.50 meter (kini kira-kira 137 meter). Panjang purata setiap empat sisi struktur ialah 230.363 meter. Tapak piramid adalah segi empat sama dengan ketepatan yang tinggi.

Mari kita gunakan angka yang diberikan untuk menentukan isipadu gergasi batu ini. Oleh kerana piramid ialah segi empat biasa, maka formula itu sah untuknya:

V₄=1/3L²j.

Gantikan nombor, kita dapat:

V₄=1/3(230, 363)²146, 5 ≈ 2591444 m ³.

Jumlah piramid Cheops hampir 2.6 juta m³. Sebagai perbandingan, kami ambil perhatian bahawa kolam Olimpik mempunyai volum 2.5 ribu m³. Iaitu, untuk mengisi keseluruhan piramid Cheops, lebih daripada 1000 kolam ini akan diperlukan!