Pada tahun 1900, salah seorang saintis terhebat abad yang lalu, David Hilbert, menyusun senarai 23 masalah yang belum diselesaikan dalam matematik. Kerja ke atas mereka mempunyai impak yang besar terhadap perkembangan bidang pengetahuan manusia ini. 100 tahun kemudian, Institut Matematik Tanah Liat membentangkan senarai 7 masalah yang dikenali sebagai Masalah Milenium. Setiap daripada mereka ditawarkan hadiah $1 juta.
Satu-satunya masalah yang muncul di antara kedua-dua senarai teka-teki yang telah menghantui saintis selama lebih daripada satu abad ialah hipotesis Riemann. Dia masih menunggu keputusannya.
Nota biografi ringkas
Georg Friedrich Bernhard Riemann dilahirkan pada tahun 1826 di Hannover, dalam keluarga besar seorang paderi miskin, dan hidup hanya 39 tahun. Beliau berjaya menerbitkan 10 karya. Walau bagaimanapun, semasa hayatnya, Riemann telah dianggap sebagai pengganti gurunya Johann Gauss. Pada usia 25 tahun, saintis muda itu mempertahankan disertasinya "Asas teori fungsi pembolehubah kompleks." Kemudian dia merumushipotesisnya yang terkenal.
Nombor perdana
Matematik muncul apabila manusia belajar mengira. Pada masa yang sama, idea pertama tentang nombor timbul, yang kemudiannya cuba diklasifikasikan. Sebahagian daripada mereka telah diperhatikan mempunyai sifat yang sama. Khususnya, di antara nombor asli, iaitu, yang digunakan dalam mengira (penomboran) atau menetapkan bilangan objek, kumpulan dibezakan yang hanya boleh dibahagikan dengan satu dan oleh mereka sendiri. Mereka dipanggil mudah. Bukti elegan teorem infiniti bagi set nombor tersebut telah diberikan oleh Euclid dalam Elemennya. Pada masa ini, pencarian mereka diteruskan. Khususnya, bilangan terbesar yang telah diketahui ialah 274 207 281 – 1.
Formula Euler
Seiring dengan konsep ketakterhinggaan set nombor perdana, Euclid juga menentukan teorem kedua mengenai satu-satunya kemungkinan penguraian kepada faktor perdana. Menurutnya, sebarang integer positif adalah hasil darab hanya satu set nombor perdana. Pada tahun 1737, ahli matematik Jerman yang hebat Leonhard Euler menyatakan teorem infiniti pertama Euclid seperti formula di bawah.
Ia dipanggil fungsi zeta, dengan s ialah pemalar dan p mengambil semua nilai perdana. Kenyataan Euclid tentang keunikan pengembangan itu secara langsung diikuti daripadanya.
Fungsi Riemann Zeta
Formula Euler, apabila diperiksa lebih dekat, adalah sepenuhnyamengejutkan kerana ia mentakrifkan hubungan antara nombor perdana dan integer. Lagipun, banyak ungkapan yang hanya bergantung pada nombor perdana didarab di sebelah kirinya dan jumlah yang dikaitkan dengan semua integer positif terletak di sebelah kanan.
Riemann pergi lebih jauh daripada Euler. Untuk mencari kunci kepada masalah taburan nombor, beliau mencadangkan untuk mentakrifkan formula untuk kedua-dua pembolehubah nyata dan kompleks. Dialah yang kemudiannya menerima nama fungsi Riemann zeta. Pada tahun 1859, saintis itu menerbitkan artikel bertajuk "Tentang bilangan nombor perdana yang tidak melebihi nilai tertentu", di mana beliau meringkaskan semua ideanya.
Riemann mencadangkan menggunakan siri Euler, yang menumpu untuk mana-mana s>1 sebenar. Jika formula yang sama digunakan untuk kompleks s, maka siri itu akan menumpu untuk sebarang nilai pembolehubah ini dengan bahagian nyata lebih besar daripada 1. Riemann menggunakan prosedur kesinambungan analitik, melanjutkan definisi zeta kepada semua nombor kompleks, tetapi "dibuang" unit itu. Ia dikecualikan kerana pada s=1 fungsi zeta meningkat kepada infiniti.
Perasaan praktikal
Persoalan logik timbul: mengapa fungsi zeta, yang merupakan kunci dalam kerja Riemann mengenai hipotesis nol, menarik dan penting? Seperti yang anda ketahui, pada masa ini tiada corak mudah telah dikenal pasti yang akan menerangkan taburan nombor perdana antara nombor asli. Riemann dapat menemui bahawa nombor pi(x) prima yang tidak melebihi x dinyatakan dalam sebutan taburan sifar bukan remeh bagi fungsi zeta. Selain itu, hipotesis Riemann ialahsyarat yang diperlukan untuk membuktikan anggaran masa untuk operasi beberapa algoritma kriptografi.
Hipotesis Riemann
Salah satu rumusan pertama masalah matematik ini, yang belum dibuktikan sehingga hari ini, berbunyi seperti ini: fungsi 0 zeta bukan remeh ialah nombor kompleks dengan bahagian nyata bersamaan dengan ½. Dalam erti kata lain, ia terletak pada baris Re s=½.
Terdapat juga hipotesis Riemann umum, yang merupakan pernyataan yang sama, tetapi untuk generalisasi fungsi zeta, yang biasanya dipanggil fungsi-Dirichlet L (lihat foto di bawah).
Dalam formula χ(n) - beberapa aksara berangka (modulo k).
Pernyataan Riemannian dianggap sebagai hipotesis nol, kerana ia telah diuji untuk konsistensi dengan data sampel sedia ada.
Seperti yang dihujahkan Riemann
Pernyataan ahli matematik Jerman itu pada asalnya menggunakan perkataan yang agak santai. Hakikatnya ialah pada masa itu saintis akan membuktikan teorem mengenai taburan nombor perdana, dan dalam konteks ini, hipotesis ini tidak mempunyai kepentingan tertentu. Walau bagaimanapun, peranannya dalam menyelesaikan banyak isu lain adalah sangat besar. Itulah sebabnya andaian Riemann kini diiktiraf oleh ramai saintis sebagai yang paling penting dalam masalah matematik yang belum terbukti.
Seperti yang telah disebutkan, hipotesis Riemann penuh tidak diperlukan untuk membuktikan teorem pengedaran, dan ia cukup untuk mewajarkan secara logik bahawa bahagian sebenar mana-mana sifar bukan remeh bagi fungsi zeta berada dalamantara 0 dan 1. Ia berikutan daripada sifat ini bahawa jumlah ke atas semua 0 fungsi zeta yang muncul dalam formula tepat di atas ialah pemalar terhingga. Untuk nilai x yang besar, ia mungkin hilang sama sekali. Satu-satunya ahli formula yang kekal sama walaupun untuk x yang sangat besar ialah x itu sendiri. Selebihnya istilah kompleks hilang secara asimtotik berbanding dengannya. Jadi jumlah wajaran cenderung kepada x. Keadaan ini boleh dianggap sebagai pengesahan kebenaran teorem pada taburan nombor perdana. Oleh itu, sifar fungsi Riemann zeta mempunyai peranan khas. Ia terdiri daripada membuktikan bahawa nilai sedemikian tidak boleh memberi sumbangan yang ketara kepada formula penguraian.
Pengikut Riemann
Kematian tragis akibat batuk kering tidak membenarkan saintis ini membawa programnya ke penghujung logiknya. Bagaimanapun, Sh-Zh mengambil alih daripadanya. de la Vallée Poussin dan Jacques Hadamard. Secara bebas antara satu sama lain, mereka menyimpulkan teorem mengenai taburan nombor perdana. Hadamard dan Poussin berjaya membuktikan bahawa semua fungsi 0 zeta yang bukan remeh berada dalam jalur kritikal.
Terima kasih kepada kerja saintis ini, hala tuju baharu dalam matematik telah muncul - teori analitik nombor. Kemudian, beberapa lagi bukti primitif teorem yang sedang diusahakan oleh Riemann telah diperoleh oleh penyelidik lain. Khususnya, Pal Erdős dan Atle Selberg juga menemui rantaian logik yang sangat kompleks yang mengesahkannya, yang tidak memerlukan penggunaan analisis yang kompleks. Walau bagaimanapun, pada ketika ini, beberapa pentingteorem, termasuk penghampiran banyak fungsi teori nombor. Dalam hal ini, karya baharu Erdős dan Atle Selberg secara praktikalnya tidak menjejaskan apa-apa.
Salah satu bukti paling mudah dan paling indah tentang masalah itu ditemui pada tahun 1980 oleh Donald Newman. Ia berdasarkan teorem Cauchy yang terkenal.
Adakah hipotesis Riemannian mengancam asas kriptografi moden
Penyulitan data timbul bersama-sama dengan kemunculan hieroglif, lebih tepat lagi, ia sendiri boleh dianggap sebagai kod pertama. Pada masa ini, terdapat keseluruhan bidang kriptografi digital, yang sedang membangunkan algoritma penyulitan.
Nombor perdana dan "separuh perdana", iaitu nombor yang hanya boleh dibahagikan dengan 2 nombor lain daripada kelas yang sama, membentuk asas sistem kunci awam yang dikenali sebagai RSA. Ia mempunyai aplikasi terluas. Khususnya, ia digunakan apabila menjana tandatangan elektronik. Bercakap dalam istilah yang boleh diakses oleh dummies, hipotesis Riemann menegaskan kewujudan sistem dalam pengagihan nombor perdana. Oleh itu, kekuatan kunci kriptografi, yang bergantung kepada keselamatan urus niaga dalam talian dalam bidang e-dagang, berkurangan dengan ketara.
Masalah matematik lain yang belum diselesaikan
Adalah berbaloi untuk menyelesaikan artikel dengan menumpukan beberapa perkataan untuk sasaran milenium yang lain. Ini termasuk:
- Kesamaan kelas P dan NP. Masalahnya dirumuskan seperti berikut: jika jawapan positif kepada soalan tertentu disemak dalam masa polinomial, maka benarkah jawapan kepada soalan ini sendiriboleh ditemui dengan cepat?
- Tekaan Hodge. Dalam perkataan mudah, ia boleh dirumuskan seperti berikut: untuk beberapa jenis varieti algebra unjuran (ruang), kitaran Hodge ialah gabungan objek yang mempunyai tafsiran geometri, iaitu, kitaran algebra.
- Tekaan Poincaré. Ini adalah satu-satunya Cabaran Milenium yang telah terbukti setakat ini. Menurutnya, mana-mana objek 3 dimensi yang mempunyai sifat khusus sfera 3 dimensi mestilah sfera, sehingga ubah bentuk.
- Pengesahan teori kuantum Yang - Mills. Ia diperlukan untuk membuktikan bahawa teori kuantum yang dikemukakan oleh saintis ini untuk ruang R 4 wujud dan mempunyai kecacatan jisim ke-0 untuk mana-mana kumpulan tolok padat ringkas G.
- HipotesisBirch-Swinnerton-Dyer. Ini adalah satu lagi isu yang berkaitan dengan kriptografi. Ia menyentuh lengkung elips.
- Masalah kewujudan dan kelancaran penyelesaian kepada persamaan Navier-Stokes.
Sekarang anda tahu hipotesis Riemann. Secara ringkasnya, kami telah merumuskan beberapa Cabaran Milenium yang lain. Bahawa mereka akan diselesaikan atau ia akan dibuktikan bahawa mereka tidak mempunyai penyelesaian adalah masalah masa. Lebih-lebih lagi, ia tidak mungkin perlu menunggu terlalu lama, kerana matematik semakin menggunakan keupayaan pengkomputeran komputer. Walau bagaimanapun, tidak semuanya tertakluk kepada teknologi, dan pertama sekali, gerak hati dan kreativiti diperlukan untuk menyelesaikan masalah saintifik.
