Garis lurus ialah objek geometri utama pada satah dan dalam ruang tiga dimensi. Ia adalah dari garis lurus yang banyak angka dibina, contohnya: segi empat selari, segi tiga, prisma, piramid, dan sebagainya. Pertimbangkan dalam artikel pelbagai cara untuk menetapkan persamaan garis.
Takrifan garis lurus dan jenis persamaan untuk menerangkannya
Setiap pelajar mempunyai idea yang baik tentang objek geometri yang mereka perkatakan. Garis lurus boleh diwakili sebagai koleksi titik, dan jika kita menyambung setiap satu daripadanya secara bergilir-gilir dengan semua yang lain, maka kita mendapat satu set vektor selari. Dalam erti kata lain, adalah mungkin untuk sampai ke setiap titik garis dari salah satu titik tetapnya, memindahkannya ke beberapa vektor unit didarab dengan nombor nyata. Takrifan garis lurus ini digunakan untuk mentakrifkan kesamaan vektor untuk penerangan matematiknya dalam satah dan dalam ruang tiga dimensi.
Garis lurus boleh diwakili secara matematik oleh jenis persamaan berikut:
- umum;
- vektor;
- parametrik;
- dalam segmen;
- simetri (kanonik).
Seterusnya, kami akan mempertimbangkan semua jenis yang dinamakan dan menunjukkan cara bekerja dengannya menggunakan contoh penyelesaian masalah.
Vektor dan perihalan parametrik bagi garis lurus
Mari kita mulakan dengan menentukan garis lurus melalui vektor yang diketahui. Katakan terdapat titik tetap dalam ruang M(x0; y0; z0). Adalah diketahui bahawa garis lurus melaluinya dan diarahkan sepanjang segmen vektor v¯(a; b; c). Bagaimana untuk mencari titik sewenang-wenang garis daripada data ini? Jawapan kepada soalan ini akan memberikan persamaan berikut:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Di mana λ ialah nombor arbitrari.
Ungkapan serupa boleh ditulis untuk kes dua dimensi, dengan koordinat vektor dan titik diwakili oleh set dua nombor:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Persamaan bertulis dipanggil persamaan vektor, dan segmen berarah v¯ sendiri ialah vektor arah untuk garis lurus.
Dari ungkapan bertulis, persamaan parametrik yang sepadan diperolehi dengan mudah, ia cukup untuk menulis semula secara eksplisit. Sebagai contoh, untuk kes dalam ruang, kita mendapat persamaan berikut:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb;
z=z0+ λc
Adalah mudah untuk menggunakan persamaan parametrik jika anda perlu menganalisis tingkah lakusetiap koordinat. Ambil perhatian bahawa walaupun parameter λ boleh mengambil nilai sewenang-wenangnya, ia mestilah sama dalam ketiga-tiga kesamaan.
Persamaan am
Cara lain untuk mentakrifkan garis lurus, yang sering digunakan untuk berfungsi dengan objek geometri yang dipertimbangkan, adalah dengan menggunakan persamaan am. Untuk kes dua dimensi, ia kelihatan seperti:
Ax + By + C=0
Di sini huruf Latin besar mewakili nilai berangka tertentu. Kemudahan kesamaan ini dalam menyelesaikan masalah terletak pada fakta bahawa ia secara eksplisit mengandungi vektor yang berserenjang dengan garis lurus. Jika kita menandakannya dengan n¯, maka kita boleh menulis:
n¯=[A; B]
Selain itu, ungkapan ini mudah digunakan untuk menentukan jarak dari garis lurus ke beberapa titik P(x1; y1). Formula untuk jarak d ialah:
d=|Ax1+ By1+ C| / √(A2+ B2)
Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa jika kita menyatakan pembolehubah y secara eksplisit daripada persamaan am, kita mendapat bentuk penulisan garis lurus berikut yang terkenal:
y=kx + b
Di mana k dan b ditentukan secara unik oleh nombor A, B, C.
Persamaan dalam segmen dan kanonik
Persamaan dalam segmen paling mudah diperoleh daripada paparan umum. Kami akan menunjukkan kepada anda cara melakukannya.
Andaikan kita mempunyai baris berikut:
Ax + By + C=0
Pindahkan istilah bebas ke sebelah kanan kesamaan, kemudian bahagikan keseluruhan persamaan dengannya, kita dapat:
Ax + By=-C;
x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;
x / q + y / p=1, dengan q=-C / A, p=-C / B
Kami mendapat persamaan yang dipanggil dalam segmen. Ia mendapat namanya kerana fakta bahawa penyebut yang mana setiap pembolehubah dibahagikan menunjukkan nilai koordinat persilangan garis dengan paksi yang sepadan. Adalah mudah untuk menggunakan fakta ini untuk menggambarkan garis lurus dalam sistem koordinat, serta menganalisis kedudukan relatifnya berhubung dengan objek geometri lain (garis lurus, titik).
Sekarang mari kita teruskan untuk mendapatkan persamaan kanonik. Ini lebih mudah dilakukan jika kita mempertimbangkan pilihan parametrik. Untuk kes di dalam pesawat kami ada:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Kami menyatakan parameter λ dalam setiap kesamaan, kemudian kami menyamakannya, kami mendapat:
λ=(x - x0) / a;
λ=(y - y0) / b;
(x - x0) / a=(y - y0) / b
Ini ialah persamaan yang dikehendaki ditulis dalam bentuk simetri. Sama seperti ungkapan vektor, ia secara eksplisit mengandungi koordinat vektor arah dan koordinat salah satu titik yang dimiliki oleh garisan.
Dapat dilihat bahawa dalam perenggan ini kami telah memberikan persamaan untuk kes dua dimensi. Begitu juga, anda boleh menulis persamaan garis lurus dalam ruang. Perlu diperhatikan di sini bahawa jika bentuk kanonikrekod dan ungkapan dalam segmen akan mempunyai bentuk yang sama, maka persamaan am dalam ruang untuk garis lurus diwakili oleh sistem dua persamaan untuk satah bersilang.
Masalah membina persamaan garis lurus
Daripada geometri, setiap pelajar tahu bahawa melalui dua titik anda boleh melukis satu garisan. Andaikan bahawa titik berikut diberikan dalam satah koordinat:
M1(1; 2);
M2(-1; 3)
Adalah perlu untuk mencari persamaan garis di mana kedua-dua titik tergolong, dalam segmen, dalam bentuk vektor, kanonik dan am.
Mari kita dapatkan persamaan vektor dahulu. Untuk melakukan ini, tentukan untuk vektor arah langsung M1M2¯:
M1M2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)
Kini anda boleh mencipta persamaan vektor dengan mengambil salah satu daripada dua titik yang dinyatakan dalam pernyataan masalah, sebagai contoh, M2:
(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)
Untuk mendapatkan persamaan kanonik, cukup untuk mengubah kesamaan yang ditemui ke dalam bentuk parametrik dan mengecualikan parameter λ. Kami ada:
x=-1 - 2λ, oleh itu λ=x + 1 / (-2);
y=3 + λ, maka kita dapat λ=y - 3;
x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1
Baki dua persamaan (umum dan dalam segmen) boleh didapati daripada persamaan kanonik dengan mengubahnya seperti berikut:
x + 1=-2y + 6;
persamaan am: x + 2y - 5=0;
dalam persamaan segmen: x / 5 + y / 2, 5=1
Persamaan yang terhasil menunjukkan bahawa vektor (1; 2) mestilah berserenjang dengan garis. Sesungguhnya, jika anda menemui hasil kali skalarnya dengan vektor arah, maka ia akan sama dengan sifar. Persamaan segmen garis mengatakan bahawa garis itu bersilang dengan paksi-x pada (5; 0) dan paksi-y pada (2, 5; 0).
Masalah menentukan titik persilangan garis
Dua garis lurus diberikan pada satah oleh persamaan berikut:
2x + y -1=0;
(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)
Adalah perlu untuk menentukan koordinat titik di mana garis-garis ini bersilang.
Terdapat dua cara untuk menyelesaikan masalah:
- Ubah persamaan vektor kepada bentuk umum, kemudian selesaikan sistem dua persamaan linear.
- Jangan lakukan sebarang transformasi, tetapi cuma gantikan koordinat titik persilangan, yang dinyatakan melalui parameter λ, ke dalam persamaan pertama. Kemudian cari nilai parameter.
Mari kita lakukan cara kedua. Kami ada:
x=-λ;
y=-1 + 3λ;
2(-λ) + (-1) + 3λ - 1=0;
λ=2
Gantikan nombor yang terhasil ke dalam persamaan vektor:
(x; y)=(0; -1) + 2(-1; 3)=(-2; 5)
Oleh itu, satu-satunya titik yang dimiliki oleh kedua-dua garis ialah titik dengan koordinat (-2; 5). Garis bersilang di dalamnya.
