Teori kebarangkalian ialah cabang khas matematik, yang hanya dipelajari oleh pelajar institusi pengajian tinggi. Adakah anda suka pengiraan dan formula? Adakah anda tidak takut dengan prospek berkenalan dengan taburan normal, entropi ensembel, jangkaan matematik dan varians pembolehubah rawak diskret? Kemudian subjek ini akan sangat menarik minat anda. Mari kita berkenalan dengan beberapa konsep asas yang paling penting dalam bahagian sains ini.
Ingat perkara asas
Walaupun anda mengingati konsep teori kebarangkalian yang paling mudah, jangan abaikan perenggan pertama artikel. Hakikatnya ialah tanpa pemahaman yang jelas tentang asas, anda tidak akan dapat bekerja dengan formula yang dibincangkan di bawah.
Jadi, terdapat beberapa peristiwa rawak, beberapa percubaan. Hasil daripada tindakan yang dilakukan, kita boleh memperoleh beberapa hasil - sesetengah daripadanya lebih biasa, yang lain kurang biasa. Kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah nisbah bilangan hasil yang sebenarnya diterima bagi satu jenis kepada jumlah bilangan yang mungkin. Hanya mengetahui definisi klasik konsep ini, anda boleh mula mengkaji jangkaan matematik dan varians berterusanpembolehubah rawak.
Min aritmetik
Malah di sekolah, dalam pelajaran matematik, anda mula bekerja dengan min aritmetik. Konsep ini digunakan secara meluas dalam teori kebarangkalian, dan oleh itu ia tidak boleh diabaikan. Perkara utama bagi kami pada masa ini ialah kami akan menemuinya dalam formula untuk jangkaan matematik dan varians pembolehubah rawak.
Kami mempunyai urutan nombor dan ingin mencari min aritmetik. Apa yang diperlukan daripada kita ialah menjumlahkan semua yang ada dan membahagikan dengan bilangan unsur dalam urutan itu. Biarkan kita mempunyai nombor dari 1 hingga 9. Jumlah unsur ialah 45, dan kita akan membahagikan nilai ini dengan 9. Jawapan: - 5.
Penyebaran
Secara saintifik, varians ialah min kuasa dua bagi sisihan nilai ciri yang diperoleh daripada min aritmetik. Satu dilambangkan dengan huruf Latin besar D. Apakah yang diperlukan untuk mengiranya? Untuk setiap elemen jujukan, kami mengira perbezaan antara nombor yang tersedia dan min aritmetik dan kuasa duakannya. Akan ada nilai yang sama banyaknya dengan hasil untuk acara yang sedang kita pertimbangkan. Seterusnya, kami meringkaskan semua yang diterima dan bahagikan dengan bilangan elemen dalam urutan. Jika kita mempunyai lima kemungkinan hasil, kemudian bahagikan dengan lima.
Dispersi juga mempunyai ciri-ciri yang perlu anda ingat untuk mengaplikasikannya semasa menyelesaikan masalah. Sebagai contoh, jika pembolehubah rawak dinaikkan sebanyak X kali, varians meningkat sebanyak X kali kuasa dua (iaitu, XX). Ia tidak pernah kurang daripada sifar dan tidak bergantung kepadamenukar nilai dengan nilai yang sama ke atas atau ke bawah. Selain itu, untuk percubaan bebas, varians jumlah adalah sama dengan jumlah varians.
Kini kita pasti perlu mempertimbangkan contoh varians pembolehubah rawak diskret dan jangkaan matematik.
Andaikan kami menjalankan 21 percubaan dan mendapat 7 hasil yang berbeza. Kami memerhati setiap daripada mereka, masing-masing, 1, 2, 2, 3, 4, 4 dan 5 kali. Apakah variansnya?
Pertama, mari kita hitung min aritmetik: jumlah unsur, sudah tentu, ialah 21. Bahagikannya dengan 7, dapatkan 3. Sekarang tolak 3 daripada setiap nombor dalam urutan asal, kuasa duakan setiap nilai dan tambah hasilnya bersama-sama. Ternyata 12. Sekarang tinggal untuk kita membahagikan nombor dengan bilangan elemen, dan, nampaknya, itu sahaja. Tetapi ada tangkapan! Mari kita bincangkannya.
Pergantungan pada bilangan percubaan
Ternyata apabila mengira varians, penyebut boleh menjadi salah satu daripada dua nombor: sama ada N atau N-1. Di sini N ialah bilangan eksperimen yang dilakukan atau bilangan unsur dalam jujukan (yang, sebenarnya, adalah sama). Bergantung pada apa?
Jika bilangan ujian diukur dalam ratusan, maka kita mesti meletakkan N dalam penyebut. Jika dalam unit, maka N-1. Para saintis memutuskan untuk melukis sempadan secara simbolik: hari ini ia berjalan sepanjang nombor 30. Jika kami menjalankan kurang daripada 30 eksperimen, maka kami akan membahagikan jumlah itu dengan N-1, dan jika lebih, maka dengan N.
Tugas
Mari kita kembali kepada contoh menyelesaikan masalah varians dan jangkaan. Kamimenerima nombor perantaraan 12, yang perlu dibahagikan dengan N atau N-1. Memandangkan kami menjalankan 21 eksperimen, iaitu kurang daripada 30, kami akan memilih pilihan kedua. Jadi jawapannya ialah: varians ialah 12 / 2=2.
Jangkaan
Mari kita beralih kepada konsep kedua, yang mesti kita pertimbangkan dalam artikel ini. Jangkaan matematik adalah hasil daripada menambah semua hasil yang mungkin didarab dengan kebarangkalian yang sepadan. Adalah penting untuk memahami bahawa nilai yang terhasil, serta hasil pengiraan varians, diperoleh sekali sahaja untuk keseluruhan tugasan, tidak kira berapa banyak hasil yang dianggapnya.
Formula jangkaan agak mudah: kami mengambil hasil, darabkannya dengan kebarangkaliannya, tambahkan yang sama untuk hasil kedua, ketiga, dsb. Semua yang berkaitan dengan konsep ini mudah dikira. Sebagai contoh, jumlah jangkaan matematik adalah sama dengan jangkaan matematik jumlah itu. Perkara yang sama berlaku untuk kerja. Tidak setiap kuantiti dalam teori kebarangkalian membenarkan operasi mudah sedemikian dilakukan. Mari kita ambil tugas dan hitung nilai dua konsep yang telah kita pelajari sekaligus. Di samping itu, kami terganggu oleh teori - sudah tiba masanya untuk berlatih.
Contoh lain
Kami menjalankan 50 percubaan dan mendapat 10 jenis hasil - nombor dari 0 hingga 9 - muncul dalam peratusan yang berbeza. Ini adalah, masing-masing: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Ingat bahawa untuk mendapatkan kebarangkalian, anda perlu membahagikan nilai peratusan sebanyak 100. Oleh itu, kita mendapat 0.02; 0, 1, dsb. Mari kita mewakili bagi varians rawaknilai dan jangkaan matematik contoh penyelesaian masalah.
Kira min aritmetik menggunakan formula yang kita ingat dari sekolah rendah: 50/10=5.
Sekarang mari menterjemahkan kebarangkalian kepada bilangan hasil "sebahagian" untuk memudahkan pengiraan. Kami mendapat 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 dan 9. Tolak min aritmetik daripada setiap nilai yang diperoleh, selepas itu kita kuasa duakan setiap keputusan yang diperolehi. Lihat cara melakukan ini menggunakan elemen pertama sebagai contoh: 1 - 5=(-4). Selanjutnya: (-4)(-4)=16. Untuk nilai lain, lakukan sendiri operasi ini. Jika anda melakukan semuanya dengan betul, maka selepas menambah semua hasil perantaraan anda akan mendapat 90.
Teruskan mengira varians dan min dengan membahagikan 90 dengan N. Mengapa kita memilih N dan bukan N-1? Betul, kerana bilangan eksperimen yang dilakukan melebihi 30. Jadi: 90/10=9. Kami mendapat penyebaran. Jika anda mendapat nombor yang berbeza, jangan putus asa. Kemungkinan besar, anda membuat kesilapan cetek dalam pengiraan. Semak semula apa yang telah anda tulis, dan semuanya pasti akan sesuai.
Akhir sekali, mari kita ingat formula jangkaan. Kami tidak akan memberikan semua pengiraan, kami hanya akan menulis jawapan yang boleh anda semak selepas menyelesaikan semua prosedur yang diperlukan. Jangkaan akan sama dengan 5, 48. Kami hanya mengingati cara menjalankan operasi, menggunakan contoh elemen pertama: 00, 02 + 10, 1… dan seterusnya. Seperti yang anda lihat, kami hanya mendarabkan nilai hasil dengan kebarangkaliannya.
Penyimpangan
Konsep lain yang berkait rapat dengan varians dan nilai jangkaan ialahsisihan piawai. Ia dilambangkan sama ada dengan huruf Latin sd, atau dengan huruf kecil Yunani "sigma". Konsep ini menunjukkan bagaimana, secara purata, nilai menyimpang daripada ciri pusat. Untuk mencari nilainya, anda perlu mengira punca kuasa dua varians.
Jika anda membina graf bagi taburan normal dan ingin melihat nilai sisihan piawai terus padanya, ini boleh dilakukan dalam beberapa peringkat. Ambil separuh daripada imej ke kiri atau kanan mod (nilai pusat), lukiskan serenjang dengan paksi mendatar supaya kawasan angka yang terhasil adalah sama. Nilai segmen antara tengah taburan dan unjuran yang terhasil pada paksi mendatar akan menjadi sisihan piawai.
Perisian
Seperti yang anda boleh lihat daripada huraian formula dan contoh yang dibentangkan, mengira varians dan jangkaan matematik bukanlah prosedur yang paling mudah dari sudut aritmetik. Agar tidak membuang masa, masuk akal untuk menggunakan program yang digunakan dalam pendidikan tinggi - ia dipanggil "R". Ia mempunyai fungsi yang membolehkan anda mengira nilai untuk banyak konsep daripada statistik dan teori kebarangkalian.
Sebagai contoh, anda mentakrifkan vektor nilai. Ini dilakukan seperti berikut: vektor <-c(1, 5, 2…). Sekarang, apabila anda perlu mengira beberapa nilai untuk vektor ini, anda menulis fungsi dan memberikannya sebagai hujah. Untuk mencari varians, anda perlu menggunakan var. Contoh diapenggunaan: var(vektor). Kemudian anda hanya tekan "masuk" dan dapatkan hasilnya.
Kesimpulannya
Variance dan jangkaan matematik ialah konsep asas teori kebarangkalian, tanpanya sukar untuk mengira apa-apa pada masa hadapan. Dalam kursus utama kuliah di universiti, mereka dianggap sudah dalam bulan pertama mempelajari subjek tersebut. Justru kerana kekurangan pemahaman tentang konsep mudah ini dan ketidakupayaan untuk mengiranya menyebabkan ramai pelajar serta-merta mula ketinggalan dalam program dan kemudiannya menerima gred buruk pada penghujung sesi, yang menyebabkan mereka tidak mendapat biasiswa.
Berlatih sekurang-kurangnya satu minggu selama setengah jam sehari, menyelesaikan masalah yang serupa dengan yang dibentangkan dalam artikel ini. Kemudian pada mana-mana ujian teori kebarangkalian, anda akan menghadapi contoh tanpa petua dan helaian curang.
