Matriks ialah objek istimewa dalam matematik. Ia digambarkan dalam bentuk jadual segi empat tepat atau segi empat sama, terdiri daripada bilangan baris dan lajur tertentu. Dalam matematik, terdapat pelbagai jenis matriks, berbeza dari segi saiz atau kandungan. Nombor baris dan lajurnya dipanggil pesanan. Objek ini digunakan dalam matematik untuk mengatur penulisan sistem persamaan linear dan mencari keputusannya dengan mudah. Persamaan menggunakan matriks diselesaikan menggunakan kaedah Carl Gauss, Gabriel Cramer, penambahan minor dan algebra, dan banyak cara lain. Kemahiran asas apabila bekerja dengan matriks adalah untuk membawanya ke bentuk standard. Walau bagaimanapun, pertama sekali, mari kita fikirkan jenis matriks yang dibezakan oleh ahli matematik.
Jenis nol
Semua komponen matriks jenis ini adalah sifar. Sementara itu, bilangan baris dan lajurnya berbeza sama sekali.
Jenis segi empat sama
Bilangan lajur dan baris jenis matriks ini adalah sama. Dalam erti kata lain, ia adalah jadual bentuk "persegi". Bilangan lajurnya (atau baris) dipanggil tertib. Kes khas ialah kewujudan matriks tertib kedua (matriks 2x2), tertib keempat (4x4), kesepuluh (10x10), ketujuh belas (17x17) dan seterusnya.
Vektor lajur
Ini ialah salah satu jenis matriks yang paling mudah, mengandungi hanya satu lajur, yang merangkumi tiga nilai berangka. Ia mewakili satu siri sebutan bebas (nombor bebas daripada pembolehubah) dalam sistem persamaan linear.
Vektor baris
Lihat serupa dengan yang sebelumnya. Terdiri daripada tiga elemen berangka, seterusnya disusun dalam satu baris.
Jenis pepenjuru
Hanya komponen pepenjuru utama (diserlahkan dalam warna hijau) mengambil nilai berangka dalam bentuk pepenjuru matriks. Diagonal utama bermula dengan elemen di sudut kiri atas dan berakhir dengan elemen di bahagian bawah kanan, masing-masing. Selebihnya komponen adalah sifar. Jenis pepenjuru hanyalah matriks segi empat sama dengan susunan tertentu. Di antara matriks bentuk pepenjuru, seseorang boleh memilih skalar. Semua komponennya mengambil nilai yang sama.
Matriks identiti
A subspesies matriks pepenjuru. Semua nilai berangkanya adalah unit. Menggunakan satu jenis jadual matriks, lakukan transformasi asasnya atau cari songsang matriks kepada yang asal.
Jenis kanonik
Bentuk kanonik matriks dianggap sebagai salah satu yang utama; pemutus kepadanya selalunya diperlukan untuk berfungsi. Bilangan baris dan lajur dalam matriks kanonik adalah berbeza, ia tidak semestinya tergolong dalam jenis segi empat sama. Ia agak serupa dengan matriks identiti, bagaimanapun, dalam kesnya, tidak semua komponen pepenjuru utama mengambil nilai yang sama dengan satu. Terdapat dua atau empat unit pepenjuru utama (semuanya bergantung pada panjang dan lebar matriks). Atau mungkin tiada unit langsung (maka ia dianggap sifar). Baki komponen jenis kanonik, serta unsur pepenjuru dan identiti, adalah sama dengan sifar.
Jenis segitiga
Salah satu jenis matriks yang paling penting, digunakan semasa mencari penentunya dan semasa melakukan operasi mudah. Jenis segi tiga berasal dari jenis pepenjuru, jadi matriksnya juga segi empat sama. Pandangan segi tiga matriks terbahagi kepada segi tiga atas dan segitiga bawah.
Dalam matriks segi tiga atas (Rajah 1), hanya unsur yang berada di atas pepenjuru utama mengambil nilai bersamaan dengan sifar. Komponen pepenjuru itu sendiri dan bahagian matriks di bawahnya mengandungi nilai berangka.
Dalam matriks segi tiga bawah (Rajah 2), sebaliknya, unsur-unsur yang terletak di bahagian bawah matriks adalah sama dengan sifar.
Matriks Langkah
Pandangan diperlukan untuk mencari pangkat matriks, serta untuk operasi asas padanya (bersama-sama dengan jenis segi tiga). Matriks langkah dinamakan sedemikian kerana ia mengandungi "langkah" ciri sifar (seperti yang ditunjukkan dalam rajah). Dalam jenis bertingkat, pepenjuru sifar terbentuk (tidak semestinya yang utama), dan semua elemen di bawah pepenjuru ini juga mempunyai nilai yang sama dengan sifar. Prasyarat adalah yang berikut: jika terdapat baris sifar dalam matriks langkah, maka baris yang tinggal di bawahnya juga tidak mengandungi nilai berangka.
Oleh itu, kami telah mempertimbangkan jenis matriks paling penting yang diperlukan untuk berfungsi dengannya. Sekarang mari kita uruskan tugas menukar matriks ke dalam bentuk yang diperlukan.
Kurangkan kepada bentuk segi tiga
Bagaimana hendak membawa matriks kepada bentuk segi tiga? Selalunya, dalam tugasan, anda perlu menukar matriks kepada bentuk segi tiga untuk mencari penentunya, atau dipanggil penentu. Apabila melakukan prosedur ini, adalah sangat penting untuk "memelihara" pepenjuru utama matriks, kerana penentu matriks segi tiga adalah tepat hasil daripada komponen pepenjuru utamanya. Izinkan saya juga mengingatkan anda tentang kaedah alternatif untuk mencari penentu. Penentu jenis segi empat sama didapati menggunakan formula khas. Sebagai contoh, anda boleh menggunakan kaedah segitiga. Untuk matriks lain, kaedah penguraian mengikut baris, lajur, atau elemennya digunakan. Anda juga boleh menggunakan kaedah minor dan pelengkap algebra bagi matriks.
ButiranMari kita analisa proses membawa matriks kepada bentuk segi tiga menggunakan contoh beberapa tugasan.
Tugas 1
Ia adalah perlu untuk mencari penentu matriks yang dibentangkan, menggunakan kaedah membawanya kepada bentuk segi tiga.
Matriks yang diberikan kepada kami ialah matriks segi empat sama tertib ketiga. Oleh itu, untuk mengubahnya menjadi bentuk segi tiga, kita perlu membatalkan dua komponen lajur pertama dan satu komponen lajur kedua.
Untuk membawanya ke bentuk segi tiga, mulakan penjelmaan dari sudut kiri bawah matriks - dari nombor 6. Untuk menjadikannya sifar, darab baris pertama dengan tiga dan tolaknya daripada baris terakhir.
Penting! Baris atas tidak berubah, tetapi kekal sama seperti dalam matriks asal. Anda tidak perlu menulis rentetan empat kali ganda daripada rentetan asal. Tetapi nilai rentetan yang komponennya perlu dibatalkan sentiasa berubah.
Seterusnya, mari kita berurusan dengan nilai seterusnya - elemen baris kedua lajur pertama, nombor 8. Darab baris pertama dengan empat dan tolaknya daripada baris kedua. Kami mendapat sifar.
Hanya tinggal nilai terakhir - elemen baris ketiga lajur kedua. Ini adalah nombor (-1). Untuk menukarnya kepada sifar, tolak yang kedua daripada baris pertama.
Jom semak:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Jadi jawapan untuk tugasan itu ialah -22.
Tugas 2
Kita perlu mencari penentu matriks dengan membawanya kepada bentuk segi tiga.
Matriks yang diwakilitergolong dalam jenis segi empat sama dan merupakan matriks tertib keempat. Ini bermakna tiga komponen lajur pertama, dua komponen lajur kedua dan satu komponen lajur ketiga mesti disifarkan.
Mari kita mulakan pengurangannya daripada elemen yang terletak di sudut kiri bawah - dari nombor 4. Kita perlu menukar nombor ini kepada sifar. Cara paling mudah untuk melakukan ini ialah dengan mendarab baris atas dengan empat dan kemudian menolaknya daripada baris keempat. Mari tuliskan hasil daripada peringkat pertama transformasi.
Jadi, komponen baris keempat ditetapkan kepada sifar. Mari kita beralih ke elemen pertama baris ketiga, ke nombor 3. Kami melakukan operasi yang serupa. Darab dengan tiga baris pertama, tolak daripada baris ketiga dan tulis hasilnya.
Seterusnya, kita melihat nombor 2 di baris kedua. Kami mengulangi operasi: darab baris atas dengan dua dan tolak daripada baris kedua.
Kami berjaya menetapkan kepada sifar semua komponen lajur pertama matriks segi empat sama ini, kecuali nombor 1, unsur pepenjuru utama yang tidak memerlukan penjelmaan. Sekarang adalah penting untuk mengekalkan sifar yang terhasil, jadi kami akan melakukan transformasi dengan baris, bukan lajur. Mari kita beralih ke lajur kedua matriks yang dibentangkan.
Mari kita mulakan dari bawah sekali lagi - dari elemen lajur kedua baris terakhir. Ini adalah nombor (-7). Walau bagaimanapun, dalam kes ini adalah lebih mudah untuk bermula dengan nombor (-1) - elemen lajur kedua baris ketiga. Untuk mengubahnya kepada sifar, tolak baris kedua daripada baris ketiga. Kemudian kami mendarabkan baris kedua dengan tujuh dan menolaknya dari yang keempat. Kami mendapat sifar dan bukannya elemen yang terletak di baris keempat lajur kedua. Sekarang mari kita beralih kepada yang ketigalajur.
Dalam lajur ini, kita perlu bertukar kepada sifar hanya satu nombor - 4. Ia mudah dilakukan: cuma tambahkan yang ketiga pada baris terakhir dan lihat sifar yang kita perlukan.
Selepas semua transformasi, kami membawa matriks yang dicadangkan kepada bentuk segi tiga. Kini, untuk mencari penentunya, anda hanya perlu mendarab unsur-unsur yang terhasil daripada pepenjuru utama. Kami dapat: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Oleh itu, penyelesaiannya ialah nombor 160.
Jadi, kini persoalan untuk membawa matriks kepada bentuk segi tiga tidak akan menyukarkan anda.
Pengurangan kepada borang berperingkat
Dalam operasi asas pada matriks, bentuk berperingkat kurang "diminta" daripada bentuk segi tiga. Ia paling biasa digunakan untuk mencari kedudukan matriks (iaitu, bilangan baris bukan sifarnya) atau untuk menentukan baris bersandar dan bebas secara linear. Walau bagaimanapun, paparan matriks bertingkat adalah lebih serba boleh, kerana ia sesuai bukan sahaja untuk jenis segi empat sama, tetapi untuk semua yang lain.
Untuk mengurangkan matriks kepada bentuk bertingkat, anda perlu mencari penentunya terlebih dahulu. Untuk ini, kaedah di atas adalah sesuai. Tujuan mencari penentu adalah untuk mengetahui sama ada ia boleh ditukar kepada matriks langkah. Jika penentu lebih besar atau kurang daripada sifar, maka anda boleh meneruskan tugas dengan selamat. Jika ia sama dengan sifar, ia tidak akan berfungsi untuk mengurangkan matriks kepada bentuk berperingkat. Dalam kes ini, anda perlu menyemak sama ada terdapat sebarang ralat dalam rekod atau dalam transformasi matriks. Jika tiada ketidaktepatan sedemikian, tugas itu tidak dapat diselesaikan.
Mari kita lihat caranyabawa matriks ke bentuk berperingkat menggunakan contoh beberapa tugasan.
Tugas 1. Cari kedudukan jadual matriks yang diberikan.
Di hadapan kami ialah matriks segi empat sama tertib ketiga (3x3). Kita tahu bahawa untuk mencari pangkat, perlu mengurangkannya kepada bentuk berperingkat. Oleh itu, kita perlu mencari penentu matriks terlebih dahulu. Menggunakan kaedah segi tiga: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Penentuan=12. Ia lebih besar daripada sifar, yang bermaksud bahawa matriks boleh dikurangkan kepada bentuk berperingkat. Mari mulakan transformasinya.
Mari kita mulakan dengan elemen lajur kiri baris ketiga - nombor 2. Darab baris atas dengan dua dan tolak daripada baris ketiga. Terima kasih kepada operasi ini, kedua-dua elemen yang kami perlukan dan nombor 4 - elemen lajur kedua baris ketiga - bertukar menjadi sifar.
Seterusnya, tukar kepada sifar elemen baris kedua lajur pertama - nombor 3. Untuk melakukan ini, darab baris atas dengan tiga dan tolak baris kedua.
Kami melihat bahawa pengurangan itu menghasilkan matriks segi tiga. Dalam kes kami, penjelmaan tidak boleh diteruskan, kerana komponen yang selebihnya tidak boleh ditukar kepada sifar.
Jadi, kami menyimpulkan bahawa bilangan baris yang mengandungi nilai berangka dalam matriks ini (atau pangkatnya) ialah 3. Jawapan untuk tugasan: 3.
Tugas 2. Tentukan bilangan baris bebas linear bagi matriks ini.
Kita perlu mencari rentetan yang tidak boleh diterbalikkan oleh sebarang transformasikepada sifar. Malah, kita perlu mencari bilangan baris bukan sifar, atau pangkat matriks yang diwakili. Untuk melakukan ini, mari permudahkan.
Kami melihat matriks yang tidak tergolong dalam jenis segi empat sama. Ia mempunyai dimensi 3x4. Mari kita mulakan juga lakonan dari elemen sudut kiri bawah - nombor (-1).
Tambahkan baris pertama pada baris ketiga. Seterusnya, tolak yang kedua daripadanya untuk menukar nombor 5 kepada sifar.
Transformasi selanjutnya adalah mustahil. Jadi, kami membuat kesimpulan bahawa bilangan garis bebas linear di dalamnya dan jawapan kepada tugas itu ialah 3.
Kini membawa matriks ke bentuk berperingkat bukanlah tugas yang mustahil untuk anda.
Mengenai contoh tugasan ini, kami menganalisis pengurangan matriks kepada bentuk segi tiga dan bentuk bertingkat. Untuk membatalkan nilai jadual matriks yang dikehendaki, dalam beberapa kes ia diperlukan untuk menunjukkan imaginasi dan mengubah lajur atau barisnya dengan betul. Semoga berjaya dalam matematik dan bekerja dengan matriks!
