Cara mencari hasil darab matriks. Pendaraban matriks. Hasil darab skalar bagi matriks. Hasil darab tiga matriks

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-17 05:36

Matriks (jadual dengan unsur angka) boleh digunakan untuk pelbagai pengiraan. Sebahagian daripada mereka adalah pendaraban dengan nombor, vektor, matriks lain, beberapa matriks. Produk kadangkala tidak betul. Keputusan yang salah adalah hasil daripada ketidaktahuan tentang peraturan untuk melakukan tindakan pengiraan. Mari fikirkan cara melakukan pendaraban.

Matriks dan nombor

Mari kita mulakan dengan perkara yang paling mudah - mendarab jadual dengan nombor dengan nilai tertentu. Sebagai contoh, kita mempunyai matriks A dengan unsur a_ij (i ialah nombor baris dan j ialah nombor lajur) dan nombor e. Hasil darab matriks dengan nombor e akan menjadi matriks B dengan unsur b_ij, yang ditemui dengan formula:

b_ij=e × a_ij.

T. e. untuk mendapatkan elemen b₁₁ anda perlu mengambil elemen a₁₁ dan darabkannya dengan nombor yang diingini, untuk mendapatkan b₁₂ diperlukan untuk mencari hasil darab unsur a₁₂ dan nombor e, dsb.

Jom selesaikan masalah nombor 1 yang ditunjukkan dalam gambar. Untuk mendapatkan matriks B, hanya darabkan unsur daripada A dengan 3:

a₁₁ × 3=18. Kami menulis nilai ini ke dalam matriks B di tempat di mana lajur No. 1 dan baris No. 1 bersilang.
a₂₁ × 3=15. Kami mendapat elemen b₂₁.
a₁₂ × 3=-6. Kami menerima elemen b₁₂. Kami menulisnya ke dalam matriks B di tempat di mana lajur 2 dan baris 1 bersilang.
a₂₂ × 3=9. Hasil carian ini ialah elemen b₂₂.
a₁₃ × 3=12. Masukkan nombor ini ke dalam matriks sebagai ganti elemen b₁₃.
a₂₃ × 3=-3. Nombor terakhir yang diterima ialah elemen b₂₃.

Oleh itu, kami mendapat tatasusunan segi empat tepat dengan unsur angka.

18	–6	12
15	9	–3

Vektor dan syarat kewujudan hasil darab matriks

Dalam disiplin matematik, terdapat perkara seperti "vektor". Istilah ini merujuk kepada set nilai tersusun daripada a₁ hingga a . Ia dipanggil koordinat ruang vektor dan ditulis sebagai lajur. Terdapat juga istilah "vektor transposed". Komponennya disusun sebagai rentetan.

Vektor boleh dipanggil matriks:

vektor lajur ialah matriks yang dibina daripada satu lajur;
vektor baris ialah matriks yang mengandungi hanya satu baris.

Apabila selesaike atas matriks operasi pendaraban, adalah penting untuk diingat bahawa terdapat syarat untuk kewujudan produk. Tindakan pengiraan A × B hanya boleh dilakukan apabila bilangan lajur dalam jadual A adalah sama dengan bilangan baris dalam jadual B. Matriks yang terhasil daripada pengiraan sentiasa mempunyai bilangan baris dalam jadual A dan bilangan lajur dalam jadual B.

Apabila mendarab, tidak disyorkan untuk menyusun semula matriks (pendarab). Hasil darab mereka biasanya tidak sepadan dengan hukum pendaraban komutatif (anjakan), iaitu hasil operasi A × B tidak sama dengan hasil operasi B × A. Ciri ini dipanggil bukan komutatif hasil darab bagi matriks. Dalam sesetengah kes, hasil darab A × B adalah sama dengan hasil darab B × A, iaitu, hasil darab adalah komutatif. Matriks yang mempunyai kesamaan A × B=B × A dipanggil matriks pilih atur. Lihat contoh jadual sedemikian di bawah.

Pendaraban dengan vektor lajur

Apabila mendarab matriks dengan vektor lajur, kita mesti mengambil kira syarat kewujudan produk. Bilangan lajur (n) dalam jadual mesti sepadan dengan bilangan koordinat yang membentuk vektor. Hasil pengiraan ialah vektor berubah. Bilangan koordinatnya adalah sama dengan bilangan baris (m) daripada jadual.

Bagaimanakah koordinat bagi vektor y dikira jika terdapat matriks A dan vektor x? Untuk pengiraan yang dibuat formula:

y₁=a₁₁x₁ + a_{12 x}2 _{+ … + a}1 _x , y₂=a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a 2n_x ,

…………………………………, y_m=a_m1x₁ + a_{m2 x}2 _{+ … + a}mn_x ,

di mana x₁, …, x ialah koordinat daripada vektor-x, m ialah bilangan baris dalam matriks dan nombor daripada koordinat dalam vektor y baharu, n ialah bilangan lajur dalam matriks dan bilangan koordinat dalam vektor-x, a₁₁, a_{12, …, a}mn– elemen matriks A.

Oleh itu, untuk mendapatkan komponen ke-i bagi vektor baharu, hasil kali skalar dilakukan. Vektor baris ke-i diambil daripada matriks A dan ia didarab dengan vektor yang tersedia x.

Mari selesaikan masalah 2. Anda boleh mencari hasil darab matriks dan vektor kerana A mempunyai 3 lajur dan x terdiri daripada 3 koordinat. Akibatnya, kita harus mendapatkan vektor lajur dengan 4 koordinat. Mari gunakan formula di atas:

Hitung y₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Nilai akhir ialah 2.
Hitung y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Apabila mengira, kita mendapat 0.
Hitung y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Jumlah hasil darab faktor yang ditunjukkan ialah 6.
Hitung y₄. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Koordinat ialah -8.

Darab vektor-matriks baris

Anda tidak boleh mendarab matriks dengan berbilang lajur dengan vektor baris. Dalam kes sedemikian, syarat kewujudan kerja tidak dipenuhi. Tetapi pendaraban vektor baris dengan matriks adalah mungkin. inioperasi pengiraan dilakukan apabila bilangan koordinat dalam vektor dan bilangan baris dalam jadual sepadan. Hasil darab vektor dan matriks ialah vektor baris baharu. Bilangan koordinatnya mestilah sama dengan bilangan lajur dalam matriks.

Pengiraan koordinat pertama bagi vektor baharu melibatkan pendaraban vektor baris dan vektor lajur pertama daripada jadual. Koordinat kedua dikira dengan cara yang sama, tetapi bukannya vektor lajur pertama, vektor lajur kedua diambil. Berikut ialah formula umum untuk mengira koordinat:

y_k=a₁_kx₁+ a₂_kx₂ + … + a_mkx _m, di mana y_k ialah koordinat daripada vektor-y, (k ialah antara 1 dan n), m ialah bilangan baris dalam matriks dan bilangan koordinat dalam vektor-x, n ialah bilangan lajur dalam matriks dan bilangan koordinat dalam vektor-y, a dengan indeks alfanumerik ialah unsur-unsur matriks A.

Produk matriks segi empat tepat

Pengiraan ini mungkin kelihatan rumit. Walau bagaimanapun, pendaraban mudah dilakukan. Mari kita mulakan dengan definisi. Hasil darab matriks A dengan m baris dan n lajur dan matriks B dengan n baris dan lajur p ialah matriks C dengan m baris dan lajur p, di mana unsur c_ij ialah jumlah hasil darab unsur baris ke-i daripada jadual A dan lajur ke-j daripada jadual B. Dalam istilah yang lebih mudah, unsur c_ij ialah hasil darab skalar baris ke-i vektor daripada jadual A dan vektor lajur ke-j daripada jadual B.

Sekarang mari kita fikirkan secara praktikal cara mencari hasil darab matriks segi empat tepat. Jom selesaikan masalah no 3 untuk ini. Syarat kewujudan sesuatu produk adalah berpuas hati. Mari kita mula mengira elemen c_ij:

Matriks C akan mempunyai 2 baris dan 3 lajur.
Kira elemen c₁₁. Untuk melakukan ini, kami melakukan hasil darab skalar baris No. 1 daripada matriks A dan lajur No. 1 daripada matriks B. c₁₁=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Kemudian kami meneruskan dengan cara yang sama, menukar hanya baris, lajur (bergantung pada indeks unsur).
c₁₂=12.
c₁₃=9.
c₂₁=31.
c₂₂=18.
c₂₃=36.

Unsur dikira. Kini tinggal membuat blok segi empat tepat bagi nombor yang diterima.

16	12	9
31	18	36

Pendaraban tiga matriks: bahagian teori

Bolehkah anda mencari hasil darab tiga matriks? Operasi pengiraan ini boleh dilaksanakan. Hasilnya boleh didapati dalam beberapa cara. Sebagai contoh, terdapat 3 jadual segi empat sama (daripada susunan yang sama) - A, B dan C. Untuk mengira produk, anda boleh:

Darab A dan B dahulu. Kemudian darab hasilnya dengan C.
Mula-mula cari hasil darab B dan C. Kemudian darab matriks A dengan hasilnya.

Jika anda perlu mendarab matriks segi empat tepat, mula-mula anda perlu memastikan bahawa operasi pengiraan ini boleh dilakukan. sepatutnyaproduk A × B dan B × C wujud.

Pendaraban tambahan bukan satu kesilapan. Terdapat perkara seperti "associativity of matrix multiplication". Istilah ini merujuk kepada kesamaan (A × B) × C=A × (B × C).

Amalan Pendaraban Tiga Matriks

Matriks persegi

Mulakan dengan mendarab matriks segi empat sama kecil. Rajah di bawah menunjukkan masalah nombor 4, yang perlu kita selesaikan.

Kami akan menggunakan sifat persekutuan. Mula-mula kita darab sama ada A dan B, atau B dan C. Kita ingat hanya satu perkara: anda tidak boleh menukar faktor, iaitu, anda tidak boleh mendarab B × A atau C × B. Dengan pendaraban ini, kita akan mendapat hasil yang salah.

Kemajuan keputusan.

Langkah pertama. Untuk mencari hasil darab, kita mula-mula darabkan A dengan B. Apabila mendarab dua matriks, kita akan berpandukan peraturan yang telah digariskan di atas. Jadi, hasil darab A dan B akan menjadi matriks D dengan 2 baris dan 2 lajur, iaitu tatasusunan segi empat tepat akan merangkumi 4 elemen. Mari cari mereka dengan membuat pengiraan:

d₁₁=0 × 1 + 5 × 6=30;
d₁₂=0 × 4 + 5 × 2=10;
d₂₁=3 × 1 + 2 × 6=15;
d₂₂=3 × 4 + 2 × 2=16.

Hasil perantaraan sedia.

30	10
15	16

Langkah kedua. Sekarang mari kita darabkan matriks D dengan matriks C. Hasilnya hendaklah matriks segiempat sama G dengan 2 baris dan 2 lajur. Kira unsur:

g₁₁=30 × 8 + 10 × 1=250;
g₁₂=30 × 5 + 10 × 3=180;
g₂₁=15 × 8 + 16 × 1=136;
g₂₂=15 × 5 + 16 × 3=123.

Oleh itu, hasil darab matriks segi empat sama ialah jadual G dengan unsur terkira.

250	180
136	123

Matriks segi empat tepat

Rajah di bawah menunjukkan masalah nombor 5. Ia diperlukan untuk mendarab matriks segi empat tepat dan mencari penyelesaian.

Mari kita semak sama ada syarat kewujudan produk A × B dan B × C dipenuhi. Susunan matriks yang ditunjukkan membolehkan kita melakukan pendaraban. Mari kita mula menyelesaikan masalah.

Kemajuan keputusan.

Langkah pertama. Darab B dengan C untuk mendapatkan D. Matriks B mempunyai 3 baris dan 4 lajur, dan matriks C mempunyai 4 baris dan 2 lajur. Ini bermakna kita akan mendapat matriks D dengan 3 baris dan 2 lajur. Mari kita mengira unsur-unsur. Berikut ialah 2 contoh pengiraan:

d₁₁=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
d₁₂=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.

Kami terus menyelesaikan masalah tersebut. Hasil daripada pengiraan selanjutnya, kami dapati nilai d₂₁, d₂ 2, d₃₁ dan d₃₂. Unsur-unsur ini ialah 0, 19, 1 dan 11 masing-masing. Mari tulis nilai yang ditemui ke dalam tatasusunan segi empat tepat.

0	7
0	19
1	11

Langkah kedua. Darabkan A dengan D untuk mendapatkan matriks akhir F. Ia akan mempunyai 2 baris dan 2 lajur. Kira unsur:

f₁₁=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
f₁₂=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
f₂₁=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
f₂₂=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.

Karang tatasusunan segi empat tepat, yang merupakan hasil akhir pendaraban tiga matriks.

1	139
3	52

Pengenalan kepada kerja langsung

Bahan yang agak sukar difahami ialah hasil darab Kronecker bagi matriks. Ia juga mempunyai nama tambahan - kerja langsung. Apakah yang dimaksudkan dengan istilah ini? Katakan kita mempunyai jadual A bagi susunan m × n dan jadual B bagi susunan p × q. Hasil darab langsung matriks A dan matriks B ialah matriks tertib mp × nq.

Kami mempunyai 2 matriks persegi A, B, yang ditunjukkan dalam gambar. Yang pertama mempunyai 2 lajur dan 2 baris, dan yang kedua mempunyai 3 lajur dan 3 baris. Kami melihat bahawa matriks yang terhasil daripada produk langsung terdiri daripada 6 baris dan bilangan lajur yang sama.

Bagaimanakah elemen matriks baharu dikira dalam produk langsung? Mencari jawapan kepada soalan ini adalah sangat mudah jika anda menganalisis gambar. Mula-mula isi baris pertama. Ambil elemen pertama dari baris atas jadual A dan darab secara berurutan dengan elemen baris pertamadaripada jadual B. Seterusnya, ambil elemen kedua baris pertama jadual A dan darab secara berurutan dengan unsur baris pertama jadual B. Untuk mengisi baris kedua, ambil elemen pertama daripada baris pertama jadual A sekali lagi dan darabkannya dengan elemen baris kedua jadual B.

Matriks akhir yang diperolehi oleh hasil langsung dipanggil matriks blok. Jika kita menganalisis angka itu sekali lagi, kita dapat melihat bahawa hasil kita terdiri daripada 4 blok. Kesemuanya termasuk elemen matriks B. Selain itu, elemen setiap blok didarab dengan elemen khusus matriks A. Dalam blok pertama, semua elemen didarab dengan a₁₁, dalam kedua - oleh _{12, di ketiga - pada}21_{, di keempat - pada}22.

Penentuan produk

Apabila mempertimbangkan topik pendaraban matriks, adalah wajar mempertimbangkan istilah seperti "penentu hasil darab matriks". Apakah penentu? Ini adalah ciri penting bagi matriks segi empat sama, nilai tertentu yang diberikan kepada matriks ini. Penamaan literal bagi penentu ialah det.

Untuk matriks A yang terdiri daripada dua lajur dan dua baris, penentunya mudah dicari. Terdapat formula kecil yang merupakan perbezaan antara produk unsur tertentu:

det A=a₁₁ × a₂₂ – a₁₂ × a₂₁.

Mari kita pertimbangkan contoh pengiraan penentu untuk jadual tertib kedua. Terdapat matriks A di mana a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=5 dan a22_{=1. Untuk mengira penentu, gunakan formula:}

det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.

Untuk 3 × 3 matriks, penentu dikira menggunakan formula yang lebih kompleks. Ia dibentangkan di bawah untuk matriks A:

det A=a₁₁a₂₂a₃₃ + a_{12 a}23_a31 _{+ a}13_a21_{a 32} – a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₁ a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁ a₃₃.

Untuk mengingati formula, kami menghasilkan peraturan segitiga, yang digambarkan dalam gambar. Pertama, unsur-unsur pepenjuru utama didarabkan. Hasil darab unsur tersebut yang ditunjukkan oleh sudut segi tiga dengan sisi merah ditambah kepada nilai yang diperoleh. Seterusnya, hasil darab unsur pepenjuru sekunder ditolak dan hasil darab unsur tersebut yang ditunjukkan oleh bucu segi tiga dengan sisi biru ditolak.

Sekarang mari kita bincangkan tentang penentu hasil darab matriks. Terdapat teorem yang mengatakan bahawa penunjuk ini adalah sama dengan hasil darab penentu jadual pengganda. Mari sahkan ini dengan contoh. Kami mempunyai matriks A dengan entri a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 dan a22_{=1 dan matriks B dengan entri b}11_{=4, b}12_{=5, b} 21 _{=1 dan b}22_{=2. Cari penentu bagi matriks A dan B, hasil darab A × B dan penentu hasil darab ini.}

Kemajuan keputusan.

Langkah pertama. Kirakan penentu bagi A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Seterusnya, kirakan penentu untuk B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.

Langkah kedua. Jom carihasil darab A × B. Nyatakan matriks baharu dengan huruf C. Kira unsurnya:

c₁₁=2 × 4 + 3 × 1=11;
c₁₂=2 × 5 + 3 × 2=16;
c₂₁=1 × 4 + 1 × 1=5;
c₂₂=1 × 5 + 1 × 2=7.

Langkah ketiga. Kirakan penentu bagi C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Bandingkan dengan nilai yang boleh diperolehi dengan mendarabkan penentu bagi matriks asal. Nombornya sama. Teorem di atas adalah benar.

Kedudukan produk

Kedudukan matriks ialah ciri yang mencerminkan bilangan maksimum baris atau lajur bebas linear. Untuk mengira pangkat, transformasi asas matriks dilakukan:

susun semula dua baris selari;
mendarab semua elemen baris tertentu daripada jadual dengan nombor bukan sifar;
menambah pada elemen satu baris elemen daripada baris lain, didarab dengan nombor tertentu.

Selepas transformasi asas, lihat bilangan rentetan bukan sifar. Nombor mereka ialah pangkat matriks. Pertimbangkan contoh sebelumnya. Ia membentangkan 2 matriks: A dengan unsur a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 dan a₂₂ =1 dan B dengan unsur b₁₁=4, b₁₂=5, b21_{=1 dan b}22_{=2. Kami juga akan menggunakan matriks C yang diperoleh hasil daripada pendaraban. Jika kita melakukan transformasi asas, maka tidak akan ada baris sifar dalam matriks yang dipermudahkan. Ini bermakna kedua-dua pangkat jadual A, dan pangkat jadual B, dan pangkatjadual C ialah 2.}

Sekarang mari kita beri perhatian khusus kepada pangkat hasil darab matriks. Terdapat teorem yang mengatakan bahawa pangkat hasil darab jadual yang mengandungi unsur berangka tidak melebihi pangkat mana-mana faktor. Ini boleh dibuktikan. Biarkan A ialah matriks k × s dan B ialah matriks s × m. Hasil darab A dan B adalah sama dengan C.

Jom kaji gambar di atas. Ia menunjukkan lajur pertama matriks C dan tatatanda ringkasnya. Lajur ini ialah gabungan linear lajur yang termasuk dalam matriks A. Begitu juga, seseorang boleh mengatakan tentang mana-mana lajur lain daripada tatasusunan segi empat tepat C. Oleh itu, subruang yang dibentuk oleh vektor lajur jadual C berada dalam subruang yang dibentuk oleh vektor lajur jadual A. Oleh itu, dimensi subruang No. 1 tidak melebihi dimensi subruang No. 2. Ini menunjukkan bahawa kedudukan dalam lajur jadual C tidak melebihi pangkat dalam lajur jadual A, iaitu, r(C) ≦ r(A). Jika kita berhujah dengan cara yang sama, maka kita boleh memastikan bahawa baris matriks C adalah gabungan linear bagi baris matriks B. Ini membayangkan ketaksamaan r(C) ≦ r(B).

Cara mencari hasil darab matriks ialah topik yang agak rumit. Ia boleh dikuasai dengan mudah, tetapi untuk mencapai keputusan sedemikian, anda perlu menghabiskan banyak masa untuk menghafal semua peraturan dan teorem sedia ada.