Permukaan pesanan kedua: contoh

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-01-02 17:53

Pelajar paling kerap menemui permukaan tertib ke-2 pada tahun pertama. Pada mulanya, tugasan mengenai topik ini mungkin kelihatan mudah, tetapi apabila anda mempelajari matematik yang lebih tinggi dan mendalami bahagian saintifik, anda akhirnya boleh berhenti mengorientasikan diri anda dalam apa yang berlaku. Untuk mengelakkan ini daripada berlaku, perlu bukan sahaja untuk menghafal, tetapi untuk memahami bagaimana permukaan ini atau itu diperoleh, bagaimana perubahan pekali mempengaruhinya dan lokasinya berbanding dengan sistem koordinat asal, dan bagaimana untuk mencari sistem baru (satu di mana pusatnya bertepatan dengan koordinat asal, dan paksi simetri adalah selari dengan salah satu paksi koordinat). Mari mulakan dari awal.

Definisi

GMT dipanggil permukaan tertib ke-2, yang koordinatnya memenuhi persamaan umum bentuk berikut:

F(x, y, z)=0.

Adalah jelas bahawa setiap titik kepunyaan permukaan mesti mempunyai tiga koordinat dalam beberapa asas yang ditetapkan. Walaupun dalam beberapa kes lokus titik boleh merosot, sebagai contoh, ke dalam satah. Ini hanya bermakna bahawa salah satu koordinat adalah malar dan sama dengan sifar dalam keseluruhan julat nilai yang boleh diterima.

Bentuk dicat penuh bagi kesaksamaan yang dinyatakan di atas kelihatan seperti ini:

A₁₁x²+A₂₂y² +A₃₃z²+2A₁₂xy+2A_{23 yz+2A}13_xz+2A14_x+2A24_{y+2A 34}z+A₄₄=0.

A_{nm – beberapa pemalar, x, y, z – pembolehubah yang sepadan dengan koordinat afin bagi sesuatu titik. Dalam kes ini, sekurang-kurangnya satu daripada faktor pemalar mestilah tidak sama dengan sifar, iaitu, tiada sebarang titik akan sepadan dengan persamaan.}

Dalam kebanyakan contoh, banyak faktor berangka masih sama dengan sifar, dan persamaannya sangat dipermudahkan. Dalam amalan, menentukan sama ada titik tergolong dalam permukaan tidak sukar (cukup untuk menggantikan koordinatnya ke dalam persamaan dan menyemak sama ada identiti diperhatikan). Perkara utama dalam kerja sedemikian adalah untuk membawa yang terakhir kepada bentuk kanonik.

Persamaan yang ditulis di atas mentakrifkan mana-mana (semua disenaraikan di bawah) permukaan tertib ke-2. Kami akan mempertimbangkan contoh di bawah.

Jenis permukaan urutan ke-2

Persamaan permukaan tertib ke-2 hanya berbeza dalam nilai pekali A_{nm. Dari pandangan umum, untuk nilai tertentu pemalar, pelbagai permukaan boleh diperolehi, dikelaskan seperti berikut:}

1. Silinder.
2. Jenis elips.
3. Jenis hiperbola.
4. Jenis kon.
5. Jenis parabola.
6. Pesawat.

Setiap jenis yang disenaraikan mempunyai bentuk semula jadi dan khayalan: dalam bentuk khayalan, lokus titik nyata sama ada merosot kepada angka yang lebih mudah, atau tidak hadir sama sekali.

Silinder

Ini adalah jenis yang paling mudah, kerana lengkung yang agak kompleks hanya terletak di pangkalan, bertindak sebagai panduan. Penjana ialah garis lurus berserenjang dengan satah di mana tapaknya terletak.

Graf menunjukkan silinder bulat, kes khas silinder elips. Dalam satah XY, unjurannya akan menjadi elips (dalam kes kami, bulatan) - panduan, dan dalam XZ - segi empat tepat - kerana penjana adalah selari dengan paksi Z. Untuk mendapatkannya daripada persamaan umum, anda perlu untuk memberikan pekali nilai berikut:

Sebaliknya simbol biasa x, y, z, x dengan nombor siri digunakan - tidak mengapa.

Malah, 1/a2dan pemalar lain yang ditunjukkan di sini adalah pekali yang sama yang ditunjukkan dalam persamaan umum, tetapi adalah kebiasaan untuk menulisnya dalam bentuk ini - ini adalah perwakilan kanonik. Selanjutnya, hanya notasi sedemikian akan digunakan.

Beginilah cara silinder hiperbolik ditakrifkan. Skemanya adalah sama - hiperbola akan menjadi panduan.

y2=2px

Silinder parabola ditakrifkan agak berbeza: bentuk kanoniknya termasuk pekali p, dipanggil parameter. Sebenarnya, pekali adalah sama dengan q=2p, tetapi adalah kebiasaan untuk membahagikannya kepada dua faktor yang dikemukakan.

Terdapat satu lagi jenis silinder: khayalan. Tiada titik sebenar kepunyaan silinder sedemikian. Ia diterangkan oleh persamaansilinder elips, tetapi bukannya unit ialah -1.

Jenis elips

Sebuah elipsoid boleh diregangkan di sepanjang salah satu paksi (di mana ia bergantung pada nilai pemalar a, b, c, yang ditunjukkan di atas; jelas bahawa pekali yang lebih besar akan sepadan dengan paksi yang lebih besar).

Terdapat juga elipsoid khayalan - dengan syarat jumlah koordinat yang didarab dengan pekali ialah -1:

Hyperboloids

Apabila tolak muncul dalam salah satu pemalar, persamaan ellipsoid bertukar menjadi persamaan hiperboloid helaian tunggal. Perlu difahami bahawa tolak ini tidak perlu diletakkan sebelum koordinat x₃! Ia hanya menentukan paksi mana yang akan menjadi paksi putaran hiperboloid (atau selari dengannya, kerana apabila istilah tambahan muncul dalam petak (contohnya, (x-2)^{2) pusat rajah beralih, akibatnya, permukaan bergerak selari dengan paksi koordinat). Ini terpakai pada semua permukaan pesanan ke-2.}

Selain itu, anda perlu memahami bahawa persamaan dibentangkan dalam bentuk kanonik dan ia boleh diubah dengan mengubah pemalar (dengan tanda dipelihara!); manakala bentuknya (hiperboloid, kon dan sebagainya) akan kekal sama.

Persamaan ini sudah diberikan oleh hiperboloid dua helaian.

Permukaan kon

Tiada unit dalam persamaan kon - kesamaan dengan sifar.

Hanya permukaan kon berbatas dipanggil kon. Gambar di bawah menunjukkan bahawa, sebenarnya, akan ada dua kon pada carta.

Nota penting: dalam semua persamaan kanonik yang dipertimbangkan, pemalar diambil positif secara lalai. Jika tidak, tanda itu boleh menjejaskan carta akhir.

Satah koordinat menjadi satah simetri kon, pusat simetri terletak pada asalan.

Hanya terdapat tambah dalam persamaan kon khayalan; ia memiliki satu mata sebenar.

Paraboloid

Permukaan tertib kedua dalam ruang boleh mengambil bentuk yang berbeza walaupun dengan persamaan yang serupa. Contohnya, terdapat dua jenis paraboloid.

x²/a²+y²/b^2=2z

Paraboloid elips, apabila paksi Z berserenjang dengan lukisan, akan diunjurkan menjadi elips.

x²/a²-y²/b^2=2z

Paraboloid hiperbola: bahagian dengan satah selari dengan ZY akan menghasilkan parabola, dan bahagian dengan satah selari dengan XY akan menghasilkan hiperbola.

Pesawat bersilang

Terdapat kes apabila permukaan tertib ke-2 merosot menjadi satah. Pesawat ini boleh diatur dalam pelbagai cara.

Pertimbangkan dahulu satah bersilang:

x²/a²-y²/b²⁼⁰

Pengubahsuaian persamaan kanonik ini menghasilkan hanya dua satah bersilang (khayal!); semua titik nyata berada pada paksi koordinat yang tiada dalam persamaan (dalam kanonik - paksi Z).

Satah selari

y²=a²

Apabila hanya terdapat satu koordinat, permukaan tertib ke-2 merosot menjadi sepasang satah selari. Ingat, mana-mana pembolehubah lain boleh menggantikan Y; maka satah selari dengan paksi lain akan diperolehi.

y²=−a²

Dalam kes ini, mereka menjadi khayalan.

Pesawat bertepatan

y2=0

Dengan persamaan yang begitu mudah, sepasang satah merosot menjadi satu - ia bertepatan.

Jangan lupa bahawa dalam kes asas tiga dimensi, persamaan di atas tidak mentakrifkan garis lurus y=0! Ia tidak mempunyai dua pembolehubah lain, tetapi itu hanya bermakna nilainya adalah malar dan sama dengan sifar.

Bangunan

Salah satu tugas yang paling sukar bagi pelajar ialah pembinaan permukaan tertib ke-2. Lebih sukar untuk bergerak dari satu sistem koordinat ke sistem koordinat yang lain, memandangkan sudut lengkung berkenaan dengan paksi dan offset pusat. Mari ulangi cara untuk secara konsisten menentukan pandangan masa depan lukisan dengan analisiscara.

Untuk membina permukaan pesanan ke-2, anda memerlukan:

• bawakan persamaan kepada bentuk kanonik;
• tentukan jenis permukaan yang dikaji;
• bina berdasarkan nilai pekali.

Di bawah adalah semua jenis yang dipertimbangkan:

Untuk menyatukan, mari kita terangkan secara terperinci satu contoh jenis tugasan ini.

Contoh

Andaikan terdapat persamaan:

3(x²-2x+1)+6y²+2z^{2+ 60t+144=0}

Mari kita bawa ke bentuk kanonik. Mari kita pilih kuasa dua penuh, iaitu, kita susun terma yang tersedia sedemikian rupa sehingga ia adalah pengembangan kuasa dua jumlah atau perbezaan. Contohnya: jika (a+1)²=a²+2a+1 kemudian a²+2a +1=(a+1)^{2. Kami akan menjalankan operasi kedua. Dalam kes ini, kurungan tidak perlu dibuka, kerana ini hanya akan merumitkan pengiraan, tetapi faktor sepunya perlu diambil 6 (dalam kurungan dengan segi empat sama penuh Y):}

3(x-1)²+6(y+5)²+2z²⁼⁶

Pembolehubah z berlaku dalam kes ini sekali sahaja - anda boleh biarkan sahaja buat masa ini.

Kami menganalisis persamaan pada peringkat ini: semua yang tidak diketahui didahului dengan tanda tambah; apabila dibahagi enam, tinggal satu. Oleh itu, kita mempunyai persamaan yang mentakrifkan elipsoid.

Perhatikan bahawa 144 telah difaktorkan ke dalam 150-6, selepas itu -6 dialihkan ke kanan. Mengapa ia perlu dilakukan dengan cara ini? Jelas sekali, pembahagi terbesar dalam contoh ini ialah -6, supaya selepas membahagikannyasatu kiri di sebelah kanan, adalah perlu untuk "menangguhkan" tepat 6 daripada 144 (fakta bahawa seseorang harus berada di sebelah kanan ditunjukkan dengan kehadiran istilah bebas - pemalar yang tidak didarab dengan yang tidak diketahui).

Bahagikan semuanya dengan enam dan dapatkan persamaan kanonik bagi elipsoid:

(x-1)²/2+(y+5)²/1+z^{2 /3=1}

Dalam klasifikasi permukaan tertib ke-2 yang digunakan sebelum ini, kes khas dipertimbangkan apabila pusat rajah berada pada asal koordinat. Dalam contoh ini, ia diimbangi.

Kami menganggap bahawa setiap kurungan dengan yang tidak diketahui ialah pembolehubah baharu. Iaitu: a=x-1, b=y+5, c=z. Dalam koordinat baharu, pusat ellipsoid bertepatan dengan titik (0, 0, 0), oleh itu, a=b=c=0, dari mana: x=1, y=-5, z=0. Dalam koordinat awal, pusat rajah terletak pada titik (1, -5, 0).

Ellipsoid akan diperoleh daripada dua elips: yang pertama dalam satah XY dan yang kedua dalam satah XZ (atau YZ - tidak mengapa). Pekali di mana pembolehubah dibahagikan adalah kuasa dua dalam persamaan kanonik. Oleh itu, dalam contoh di atas, adalah lebih tepat untuk membahagikan dengan punca dua, satu dan punca tiga.

Paksi kecil elips pertama, selari dengan paksi Y, ialah dua. Paksi utama yang selari dengan paksi-x ialah dua punca dua. Paksi kecil elips kedua, selari dengan paksi Y, kekal sama - ia bersamaan dengan dua. Dan paksi utama, selari dengan paksi Z, adalah sama dengan dua punca tiga.

Dengan bantuan data yang diperoleh daripada persamaan asal dengan menukar kepada bentuk kanonik, kita boleh melukis elipsoid.

Merumuskan

Dibincangkan dalam artikel initopiknya agak luas, tetapi, sebenarnya, seperti yang anda lihat sekarang, tidak terlalu rumit. Perkembangannya, sebenarnya, berakhir pada saat anda menghafal nama dan persamaan permukaan (dan, tentu saja, bagaimana rupanya). Dalam contoh di atas, kami telah membincangkan setiap langkah secara terperinci, tetapi membawa persamaan kepada bentuk kanonik memerlukan pengetahuan minimum tentang matematik yang lebih tinggi dan tidak boleh menyebabkan sebarang kesulitan kepada pelajar.

Analisis jadual masa hadapan mengenai kesaksamaan sedia ada sudah menjadi tugas yang lebih sukar. Tetapi untuk penyelesaiannya yang berjaya, adalah cukup untuk memahami cara lengkung tertib kedua yang sepadan dibina - elips, parabola dan lain-lain.

Kes degenerasi - bahagian yang lebih ringkas. Disebabkan ketiadaan beberapa pembolehubah, bukan sahaja pengiraan dipermudahkan, seperti yang dinyatakan sebelum ini, tetapi juga pembinaan itu sendiri.

Sebaik sahaja anda boleh menamakan semua jenis permukaan dengan yakin, ubah pemalar, tukar graf menjadi satu atau bentuk lain - topik akan dikuasai.

Berjaya dalam pelajaran anda!