Formula untuk menentukan isipadu kon. Contoh penyelesaian masalah

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-17 05:36

Setiap pelajar dalam kajian stereometri di sekolah menengah terjumpa sebuah kon. Dua ciri penting bagi rajah spatial ini ialah luas permukaan dan isipadu. Dalam artikel ini, kami akan menunjukkan cara mencari isipadu kon bulat.

Kon bulat sebagai rajah putaran segi tiga tepat

Sebelum pergi terus ke topik artikel, anda perlu menerangkan kon dari sudut geometri.

Biar ada segi tiga tepat. Jika anda memutarkannya di sekeliling mana-mana kaki, maka hasil tindakan ini akan menjadi angka yang diingini, ditunjukkan dalam rajah di bawah.

Di sini, kaki AB ialah sebahagian daripada paksi kon, dan panjangnya sepadan dengan ketinggian rajah. Bahagian kedua (segmen CA) akan menjadi jejari kon. Semasa putaran, ia akan menerangkan bulatan yang membatasi tapak rajah. Hipotenus BC dipanggil generatriks rajah, atau generatriksnya. Titik B ialah satu-satunya bucu kon.

Memandangkan sifat segi tiga ABC, kita boleh menulis hubungan antara generatrik g, jejari r dan tinggi h seperti berikutkesaksamaan:

g²=h²+ r²

Formula ini berguna dalam menyelesaikan banyak masalah geometri dengan rajah yang dimaksudkan.

Formula isipadu kon

Isipadu mana-mana rajah spatial ialah luas ruang, yang dihadkan oleh permukaan rajah ini. Terdapat dua permukaan sedemikian untuk kon:

1. Sisi, atau kon. Ia dibentuk oleh semua generasi.
2. Asasi. Dalam kes ini, ia adalah bulatan.

Dapatkan formula untuk menentukan isipadu kon. Untuk melakukan ini, kami secara mental memotongnya ke dalam banyak lapisan selari dengan pangkalan. Setiap lapisan mempunyai ketebalan dx, yang cenderung kepada sifar. Kawasan S_xlapisan pada jarak x dari bahagian atas rajah adalah sama dengan ungkapan berikut:

S_x=pir²x²/h ²

Kesahihan ungkapan ini boleh disahkan secara intuitif dengan menggantikan nilai x=0 dan x=h. Dalam kes pertama, kita akan mendapat luas sama dengan sifar, dalam kes kedua, ia akan sama dengan luas tapak bulat.

Untuk menentukan isipadu kon, anda perlu menambah "isipadu" kecil setiap lapisan, iaitu, anda harus menggunakan kalkulus kamiran:

V=∫₀^h(pir²x ²/j²dx)=pir²/h² ∫₀^h(x²dx)

Mengira kamiran ini, kami sampai pada formula akhir untuk kon bulat:

V=1/3pir²h

Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa formula ini sama sekali dengan formula yang digunakan untuk mengira isipadu piramid sewenang-wenangnya. Kebetulan ini bukan kebetulan, kerana mana-mana piramid menjadi kon apabila bilangan tepinya meningkat kepada infiniti.

Masalah Pengiraan Isipadu

Adalah berguna untuk memberikan contoh penyelesaian masalah, yang akan menunjukkan penggunaan formula terbitan untuk volum V.

Diberikan sebuah kon bulat yang luas tapaknya ialah 37 cm², dan penjana rajah ialah tiga kali jejari. Berapakah isipadu kon itu?

Kita berhak menggunakan formula isipadu jika kita mengetahui dua kuantiti: ketinggian h dan jejari r. Mari cari formula yang menentukannya mengikut keadaan masalah.

Jejari r boleh dikira dengan mengetahui luas bulatan S_o, kita ada:

S_o=pir²=>

r=√(S_o/pi)

Menggunakan keadaan masalah, kami menulis kesamaan untuk penjana g:

g=3r=3√(S_o/pi)

Mengetahui formula untuk r dan g, hitung ketinggian h:

h=√(g²- r²)=√(9S_o /pi - S_o/pi)=√(8S_o/pi)

Kami menemui semua parameter yang diperlukan. Kini tiba masanya untuk memasukkannya ke dalam formula untuk V:

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

Ia kekal untuk menggantikanluas tapak S_o dan hitung nilai isipadu: V=119.75 cm³.