Terbitan formula untuk luas kon. Contoh penyelesaian masalah

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-17 05:36

Kajian sifat-sifat angka ruang memainkan peranan penting dalam menyelesaikan masalah praktikal. Sains yang berkaitan dengan angka dalam ruang dipanggil stereometri. Dalam artikel ini, dari sudut geometri pepejal, kami akan mempertimbangkan kon dan menunjukkan cara mencari luas kon.

Kon dengan tapak bulat

Dalam kes umum, kon ialah permukaan yang dibina pada beberapa lengkung satah, yang semua titik disambungkan oleh segmen dengan satu titik dalam ruang. Yang terakhir dipanggil puncak kon.

Daripada definisi di atas, jelaslah bahawa lengkung boleh mempunyai bentuk yang sewenang-wenang, seperti parabola, hiperbolik, elips, dan sebagainya. Namun begitu, dalam amalan dan dalam masalah dalam geometri, ia selalunya kon bulat yang sering ditemui. Ia ditunjukkan dalam gambar di bawah.

Di sini simbol r menandakan jejari bulatan yang terletak di dasar rajah, h ialah serenjang dengan satah bulatan, yang dilukis dari bahagian atas rajah. Ia dipanggil ketinggian. Nilai s ialah generatriks kon, atau generatriksnya.

Dapat dilihat bahawa segmen r, h dan smembentuk segi tiga tepat. Jika ia diputarkan mengelilingi kaki h, maka hipotenus s akan menggambarkan permukaan kon, dan kaki r membentuk tapak bulat rajah itu. Atas sebab ini, kon itu dianggap sebagai tokoh revolusi. Tiga parameter linear yang dinamakan saling berkaitan oleh kesamaan:

s²=r²+ h²

Perhatikan bahawa kesamaan yang diberikan hanya sah untuk kon lurus bulat. Rajah lurus hanya jika ketinggiannya jatuh tepat di tengah bulatan tapak. Sekiranya syarat ini tidak dipenuhi, maka angka itu dipanggil serong. Perbezaan antara kon lurus dan serong ditunjukkan dalam rajah di bawah.

Pembangunan bentuk

Mengkaji luas permukaan kon adalah mudah untuk dijalankan, memandangkan ia di atas kapal terbang. Cara ini mewakili permukaan angka di angkasa dipanggil perkembangan mereka. Untuk kon, perkembangan ini boleh diperolehi seperti berikut: anda perlu mengambil angka yang dibuat, sebagai contoh, dari kertas. Kemudian, dengan gunting, potong alas bulat di sekeliling lilitan. Selepas itu, sepanjang generatrix, buat potongan permukaan kon dan ubahnya menjadi satah. Hasil daripada operasi mudah ini ialah pembangunan kon, ditunjukkan dalam rajah di bawah.

Seperti yang anda lihat, permukaan kon memang boleh diwakili pada satah. Ia terdiri daripada dua bahagian berikut:

• bulatan dengan jejari r mewakili tapak rajah;
• sektor bulat dengan jejari g, iaitu permukaan kon.

Formula untuk luas kon melibatkan mencari luas kedua-dua permukaan terbentang.

Hitung luas permukaan rajah

Mari bahagikan tugasan kepada dua peringkat. Mula-mula kita mencari luas tapak kon, kemudian luas permukaan kon.

Bahagian pertama masalah mudah diselesaikan. Oleh kerana jejari r diberikan, cukup untuk mengingati ungkapan yang sepadan untuk luas bulatan untuk mengira luas tapak. Mari tuliskannya:

S_o=pi × r²

Jika jejari tidak diketahui, maka anda harus mencarinya terlebih dahulu menggunakan formula hubungan antaranya, ketinggian dan penjana.

Bahagian kedua masalah mencari luas kon adalah agak rumit. Perhatikan bahawa sektor bulatan dibina pada jejari g generatrix dan dibatasi oleh lengkok yang panjangnya sama dengan lilitan bulatan. Fakta ini membolehkan anda menulis perkadaran dan mencari sudut sektor yang dipertimbangkan. Mari kita nyatakan dengan huruf Yunani φ. Sudut ini akan sama dengan:

2 × pi=>2 × pi × g;

φ=> 2 × pi × r;

φ=2 × pi × r / g

Mengetahui sudut pusat φ sektor bulat, anda boleh menggunakan perkadaran yang sesuai untuk mencari luasnya. Mari kita nyatakan dengan simbol S_b. Ia akan sama dengan:

2 × pi=>pi × g²;

φ=> S_b;

S_b=pi × g² × φ / (2 × pi)=pi × r × g

Iaitu, luas permukaan kon sepadan dengan hasil darab generatrik g, jejari tapak r dan nombor Pi.

Mengetahui bidang kedua-duanyapermukaan yang dipertimbangkan, kita boleh menulis formula akhir untuk luas kon:

S=S_o+ S_b=pi × r²+ pi × r × g=pi × r × (r + g)

Ungkapan bertulis menganggap pengetahuan tentang dua parameter linear kon untuk mengira S. Jika g atau r tidak diketahui, maka ia boleh ditemui melalui ketinggian h.

Masalah mengira luas kon

Adalah diketahui bahawa ketinggian kon lurus bulat adalah sama dengan diameternya. Adalah perlu untuk mengira luas angka itu, mengetahui bahawa luas tapak bit ialah 50 cm².

Mengetahui luas bulatan, anda boleh mencari jejari rajah itu. Kami ada:

S_o=pi × r²=>

r=√(S_o /pi)

Sekarang mari kita cari penjana g dalam sebutan h dan r. Mengikut keadaan, ketinggian h rajah adalah bersamaan dengan dua jejari r, maka:

h=2 × r;

g²=(2 × r)²+ r²=>

g=√5 × r=√(5 × S_o / pi)

Rumus yang ditemui untuk g dan r hendaklah digantikan ke dalam ungkapan untuk keseluruhan kawasan kon. Kami mendapat:

S=S_o+ pi × √(S_o / pi) × √(5 × S _o /pi)=S_o × (1 + √5)

Ke dalam ungkapan yang terhasil kita gantikan luas tapak S_o dan tulis jawapan: S ≈ 161.8 cm².