Walaupun di sekolah, setiap daripada kita mempelajari persamaan dan, yang pasti, sistem persamaan. Tetapi tidak ramai yang tahu bahawa terdapat beberapa cara untuk menyelesaikannya. Hari ini kita akan menganalisis secara terperinci semua kaedah untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear, yang terdiri daripada lebih daripada dua kesamaan.
Sejarah
Hari ini diketahui bahawa seni menyelesaikan persamaan dan sistemnya berasal dari Babylon dan Mesir purba. Walau bagaimanapun, persamaan dalam bentuk biasa muncul selepas kemunculan tanda sama dengan "=", yang diperkenalkan pada tahun 1556 oleh Rekod ahli matematik Inggeris. Ngomong-ngomong, tanda ini dipilih atas alasan: ini bermakna dua segmen yang sama selari. Sesungguhnya, tiada contoh kesaksamaan yang lebih baik.
Pengasas sebutan huruf moden yang tidak diketahui dan tanda darjah ialah ahli matematik Perancis Francois Viet. Walau bagaimanapun, jawatannya berbeza dengan ketara daripada hari ini. Sebagai contoh, dia menandakan kuasa dua nombor yang tidak diketahui dengan huruf Q (lat. "quadratus"), dan kubus dengan huruf C (lat. "kubus"). Penamaan ini kini kelihatan menyusahkan, tetapi kemudiania adalah cara yang paling mudah difahami untuk menulis sistem persamaan algebra linear.
Walau bagaimanapun, kelemahan kaedah penyelesaian ketika itu ialah ahli matematik hanya menganggap punca positif. Mungkin ini disebabkan oleh fakta bahawa nilai negatif tidak mempunyai kegunaan praktikal. Satu cara atau yang lain, ahli matematik Itali Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano dan Rafael Bombelli yang pertama menganggap akar negatif pada abad ke-16. Dan rupa moden, kaedah utama untuk menyelesaikan persamaan kuadratik (melalui diskriminasi) dicipta hanya pada abad ke-17 berkat kerja Descartes dan Newton.
Pada pertengahan abad ke-18, ahli matematik Switzerland Gabriel Cramer menemui cara baharu untuk memudahkan penyelesaian sistem persamaan linear. Kaedah ini kemudiannya dinamakan sempena namanya dan sehingga hari ini kami menggunakannya. Tetapi kita akan bercakap tentang kaedah Cramer sedikit kemudian, tetapi buat masa ini kita akan membincangkan persamaan linear dan kaedah untuk menyelesaikannya secara berasingan daripada sistem.
Persamaan linear
Persamaan linear ialah kesamaan termudah dengan pembolehubah. Mereka dikelaskan sebagai algebra. Persamaan linear ditulis dalam bentuk umum seperti berikut: 2+…a x =b. Kami memerlukan perwakilan mereka dalam bentuk ini apabila menyusun sistem dan matriks dengan lebih lanjut.
Sistem persamaan algebra linear
Takrif istilah ini ialah ini: ia ialah satu set persamaan yang mempunyai perkara yang tidak diketahui umum dan penyelesaian yang sama. Sebagai peraturan, di sekolah semuanya diputuskan oleh sistemdengan dua atau tiga persamaan. Tetapi terdapat sistem dengan empat atau lebih komponen. Mari kita fikirkan dahulu cara menuliskannya supaya mudah untuk menyelesaikannya kemudian. Pertama, sistem persamaan algebra linear akan kelihatan lebih baik jika semua pembolehubah ditulis sebagai x dengan indeks yang sesuai: 1, 2, 3, dan seterusnya. Kedua, semua persamaan hendaklah dikurangkan kepada bentuk kanonik: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Selepas semua langkah ini, kita boleh mula bercakap tentang cara mencari penyelesaian kepada sistem persamaan linear. Matriks akan sangat berguna untuk ini.
Matriks
Matriks ialah jadual yang terdiri daripada baris dan lajur, dan elemennya terletak di persimpangannya. Ini sama ada boleh menjadi nilai atau pembolehubah tertentu. Selalunya, untuk menetapkan elemen, subskrip diletakkan di bawahnya (contohnya, a11 atau a23). Indeks pertama bermaksud nombor baris dan yang kedua adalah nombor lajur. Pada matriks, serta pada mana-mana elemen matematik lain, anda boleh melakukan pelbagai operasi. Jadi anda boleh:
1) Tolak dan tambah jadual dengan saiz yang sama.
2) Darab matriks dengan beberapa nombor atau vektor.
3) Ubah: Tukar baris matriks kepada lajur dan lajur kepada baris.
4) Darab matriks jika bilangan baris satu daripadanya adalah sama dengan bilangan lajur yang lain.
Kami akan membincangkan semua teknik ini dengan lebih terperinci, kerana ia akan berguna kepada kami pada masa hadapan. Menolak dan menambah matriks adalah sangat mudah. Jadiapabila kita mengambil matriks dengan saiz yang sama, maka setiap elemen satu jadual sepadan dengan setiap elemen yang lain. Oleh itu, kita menambah (tolak) kedua-dua elemen ini (adalah penting bahawa ia berada di tempat yang sama dalam matriks mereka). Apabila mendarab matriks dengan nombor atau vektor, anda hanya perlu mendarab setiap elemen matriks dengan nombor itu (atau vektor). Transposisi adalah proses yang sangat menarik. Kadangkala sangat menarik untuk melihatnya dalam kehidupan sebenar, sebagai contoh, apabila menukar orientasi tablet atau telefon. Ikon pada desktop ialah matriks, dan apabila anda menukar kedudukan, ia bertukar dan menjadi lebih lebar, tetapi ketinggiannya berkurangan.
Mari kita lihat sekali lagi proses seperti pendaraban matriks. Walaupun ia tidak berguna kepada kita, ia masih berguna untuk mengetahuinya. Anda boleh mendarab dua matriks hanya jika bilangan lajur dalam satu jadual adalah sama dengan bilangan baris dalam satu lagi. Sekarang mari kita ambil unsur-unsur baris satu matriks dan unsur-unsur lajur sepadan yang lain. Kami mendarabkannya dengan satu sama lain dan kemudian menambahnya (iaitu, sebagai contoh, hasil darab unsur a11 dan a12 dengan b 12dan b22 akan sama dengan: a11b12 + a 12 b22). Oleh itu, satu elemen jadual diperolehi dan ia diisi lagi dengan kaedah yang sama.
Sekarang kita boleh mula melihat bagaimana sistem persamaan linear diselesaikan.
Kaedah Gauss
Topik ini mula berlalu walaupun di sekolah. Kami tahu betul konsep "sistem dua persamaan linear" dan tahu cara menyelesaikannya. Tetapi bagaimana jika bilangan persamaan lebih daripada dua? Kaedah Gauss akan membantu kita dalam hal ini.
Sudah tentu, kaedah ini mudah digunakan jika anda membuat matriks daripada sistem. Tetapi anda tidak boleh mengubahnya dan menyelesaikannya dalam bentuk yang paling tulen.
Jadi bagaimanakah kaedah ini menyelesaikan sistem persamaan Gaussian linear? By the way, walaupun kaedah ini dinamakan sempena namanya, ia ditemui pada zaman purba. Gauss mencadangkan yang berikut: untuk menjalankan operasi dengan persamaan untuk akhirnya mengurangkan keseluruhan set kepada bentuk berperingkat. Iaitu, adalah perlu bahawa dari atas ke bawah (jika diletakkan dengan betul) dari persamaan pertama hingga terakhir, satu yang tidak diketahui berkurangan. Dalam erti kata lain, kita perlu memastikan bahawa kita mendapat, katakan, tiga persamaan: dalam yang pertama - tiga tidak diketahui, dalam kedua - dua, dalam ketiga - satu. Kemudian daripada persamaan terakhir kita dapati yang pertama tidak diketahui, gantikan nilainya ke dalam persamaan kedua atau pertama, dan kemudian cari baki dua pembolehubah.
Kaedah Cramer
Untuk menguasai kaedah ini, adalah penting untuk menguasai kemahiran penambahan, penolakan matriks, dan anda juga perlu dapat mencari penentu. Oleh itu, jika anda melakukan semua ini dengan teruk atau tidak tahu langsung caranya, anda perlu belajar dan berlatih.
Apakah intipati kaedah ini, dan bagaimana untuk menjadikannya supaya sistem persamaan Cramer linear diperolehi? Semuanya sangat mudah. Kita perlu membina matriks daripada pekali berangka (hampir selalu) bagi sistem persamaan algebra linear. Untuk melakukan ini, hanya ambil nombor di hadapan yang tidak diketahui dan susunkannyajadual mengikut susunan di mana ia direkodkan dalam sistem. Jika nombor itu didahului oleh tanda "-", maka kami menulis pekali negatif. Jadi, kami telah menyusun matriks pertama daripada pekali yang tidak diketahui, tidak termasuk nombor selepas tanda yang sama (secara semula jadi, persamaan harus dikurangkan kepada bentuk kanonik, apabila hanya nombor di sebelah kanan, dan semua yang tidak diketahui dengan pekali di sebelah kiri). Kemudian anda perlu mencipta beberapa lagi matriks - satu untuk setiap pembolehubah. Untuk melakukan ini, kami menggantikan setiap lajur dengan pekali dalam matriks pertama dengan lajur nombor selepas tanda sama. Oleh itu, kita memperoleh beberapa matriks dan kemudian mencari penentunya.
Selepas kami telah menemui penentu, perkara itu kecil. Kami mempunyai matriks awal, dan terdapat beberapa matriks terhasil yang sepadan dengan pembolehubah yang berbeza. Untuk mendapatkan penyelesaian sistem, kami membahagikan penentu jadual yang terhasil dengan penentu jadual awal. Nombor yang terhasil ialah nilai salah satu pembolehubah. Begitu juga, kami dapati semua yang tidak diketahui.
Kaedah lain
Terdapat beberapa kaedah lagi untuk mendapatkan penyelesaian sistem persamaan linear. Sebagai contoh, kaedah yang dipanggil Gauss-Jordan, yang digunakan untuk mencari penyelesaian kepada sistem persamaan kuadratik dan juga dikaitkan dengan penggunaan matriks. Terdapat juga kaedah Jacobi untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear. Ia adalah yang paling mudah untuk menyesuaikan diri dengan komputer dan digunakan dalam pengkomputeran.
Kes sukar
Kerumitan biasanya berlaku apabila bilangan persamaan kurang daripada bilangan pembolehubah. Kemudian kita boleh mengatakan dengan pasti bahawa sama ada sistem itu tidak konsisten (iaitu, ia tidak mempunyai akar), atau bilangan penyelesaiannya cenderung kepada infiniti. Jika kita mempunyai kes kedua, maka kita perlu menulis penyelesaian umum sistem persamaan linear. Ia akan mengandungi sekurang-kurangnya satu pembolehubah.
Kesimpulan
Di sini kita sampai ke penghujungnya. Untuk meringkaskan: kami telah menganalisis apa itu sistem dan matriks, kami telah belajar bagaimana untuk mencari penyelesaian umum kepada sistem persamaan linear. Di samping itu, pilihan lain telah dipertimbangkan. Kami mendapati bagaimana sistem persamaan linear diselesaikan: kaedah Gauss dan kaedah Cramer. Kami bercakap tentang kes sukar dan cara lain untuk mencari penyelesaian.
Malah, topik ini jauh lebih meluas, dan jika anda ingin memahaminya dengan lebih baik, kami menasihati anda untuk membaca lebih banyak kesusasteraan khusus.
