Prisma segi empat: tinggi, pepenjuru, luas

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-17 05:36

Dalam kursus sekolah geometri pepejal, salah satu rajah termudah yang mempunyai dimensi bukan sifar di sepanjang tiga paksi ruang ialah prisma segi empat. Pertimbangkan dalam artikel jenis angka itu, unsur apa yang mengandunginya, dan juga cara anda boleh mengira luas permukaan dan isipadunya.

Konsep prisma

Dalam geometri, prisma ialah rajah ruang, yang dibentuk oleh dua tapak dan permukaan sisi yang sama yang menghubungkan sisi tapak ini. Ambil perhatian bahawa kedua-dua tapak diubah menjadi satu sama lain menggunakan operasi terjemahan selari oleh beberapa vektor. Tugasan prisma ini membawa kepada fakta bahawa semua sisinya sentiasa selari.

Bilangan sisi tapak boleh sewenang-wenangnya, bermula dari tiga. Apabila nombor ini cenderung kepada infiniti, prisma bertukar menjadi silinder dengan lancar, kerana tapaknya menjadi bulatan, dan segi empat selari sisi, yang bersambung, membentuk permukaan silinder.

Seperti mana-mana polihedron, prisma dicirikan olehsisi (satah yang mengikat rajah), tepi (segmen di mana mana-mana dua sisi bersilang) dan bucu (titik pertemuan tiga sisi, untuk prisma dua daripadanya adalah sisi, dan yang ketiga ialah tapak). Kuantiti bagi tiga unsur rajah yang dinamakan saling berkaitan dengan ungkapan berikut:

P=C + B - 2

Di sini P, C dan B ialah bilangan tepi, sisi dan bucu, masing-masing. Ungkapan ini ialah tatatanda matematik teorem Euler.

Gambar di atas menunjukkan dua prisma. Di pangkal salah satu daripadanya (A) terletak heksagon sekata, dan sisi sisinya berserenjang dengan tapak. Rajah B menunjukkan satu lagi prisma. Sisinya tidak lagi berserenjang dengan tapak dan tapaknya ialah pentagon biasa.

Apakah itu prisma segi empat tepat?

Seperti yang jelas daripada huraian di atas, jenis prisma ditentukan terutamanya oleh jenis poligon yang membentuk tapak (kedua-dua tapak adalah sama, jadi kita boleh bercakap tentang salah satu daripadanya). Jika poligon ini ialah segi empat selari, maka kita mendapat prisma segi empat. Oleh itu, semua sisi prisma jenis ini ialah segi empat selari. Prisma segi empat mempunyai namanya sendiri - selari.

Bilangan sisi paip selari ialah enam, dan setiap sisi mempunyai selari yang serupa dengannya. Memandangkan tapak kotak ialah dua sisi, baki empat adalah sisi.

Bilangan bucu parallelepiped ialah lapan, yang mudah dilihat jika kita ingat bahawa bucu prisma terbentuk hanya pada bucu poligon tapak (4x2=8). Menggunakan teorem Euler, kita mendapat bilangan tepi:

P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12

Daripada 12 rusuk, hanya 4 yang terbentuk secara berasingan di sisi. Baki 8 terletak pada satah tapak rajah.

Selanjutnya dalam artikel kita hanya akan bercakap tentang prisma segi empat tepat.

Jenis paip selari

Jenis pengelasan pertama ialah ciri-ciri asas selari. Ia mungkin kelihatan seperti ini:

biasa, yang sudutnya tidak sama dengan 90^o;
segi empat tepat;
segi empat ialah segiempat biasa.

Jenis pengelasan kedua ialah sudut di mana sisi melintasi tapak. Dua kes berbeza boleh dilakukan di sini:

sudut ini tidak lurus, maka prisma itu dipanggil serong atau serong;
sudut ialah 90^o, maka prisma sedemikian ialah segi empat tepat atau lurus sahaja.

Jenis pengelasan ketiga adalah berkaitan dengan ketinggian prisma. Jika prisma itu segi empat tepat, dan tapaknya sama ada segi empat sama atau segi empat tepat, maka ia dipanggil kuboid. Jika terdapat segi empat sama di tapak, prisma itu adalah segi empat tepat, dan ketinggiannya sama dengan panjang sisi segi empat sama, maka kita mendapat angka kubus yang terkenal.

Permukaan dan luas prisma

Himpunan semua titik yang terletak pada dua tapak prisma(paralelogram) dan pada sisinya (empat segiempat selari) membentuk permukaan rajah. Luas permukaan ini boleh dikira dengan mengira luas tapak dan nilai ini untuk permukaan sisi. Kemudian jumlah mereka akan memberikan nilai yang dikehendaki. Secara matematik, ini ditulis seperti berikut:

S=2S_o+ S_b

Di sini S_o dan S_b ialah masing-masing luas permukaan tapak dan sisi. Nombor 2 sebelum S_o muncul kerana terdapat dua pangkalan.

Perhatikan bahawa formula bertulis sah untuk mana-mana prisma, dan bukan hanya untuk luas prisma segi empat.

Adalah berguna untuk mengingati bahawa luas segi empat selari S_p dikira dengan formula:

S_p=ah

Di mana simbol a dan h menandakan panjang salah satu sisinya dan ketinggian yang dilukis ke sisi ini, masing-masing.

Luas prisma segi empat tepat dengan tapak segi empat sama

Dalam prisma segi empat sekata, tapaknya ialah segi empat sama. Untuk kepastian, kami menandakan sisinya dengan huruf a. Untuk mengira luas prisma segi empat biasa, anda harus mengetahui ketinggiannya. Mengikut takrifan untuk kuantiti ini, ia adalah sama dengan panjang serenjang yang dijatuhkan dari satu tapak ke tapak yang lain, iaitu, sama dengan jarak antara mereka. Mari kita nyatakan dengan huruf h. Memandangkan semua muka sisi berserenjang dengan tapak untuk jenis prisma yang sedang dipertimbangkan, ketinggian prisma segi empat sekata sekata akan sama dengan panjang tepi sisinya.

BFormula umum untuk luas permukaan prisma ialah dua sebutan. Luas tapak dalam kes ini mudah dikira, ia sama dengan:

S_o=a²

Untuk mengira luas permukaan sisi, kami berhujah seperti berikut: permukaan ini dibentuk oleh 4 segi empat tepat yang sama. Selain itu, sisi setiap satunya adalah sama dengan a dan h. Ini bermakna bahawa luas S_b akan sama dengan:

S_b=4ah

Perhatikan bahawa hasil darab 4a ialah perimeter tapak segi empat sama. Jika kita umumkan ungkapan ini kepada kes tapak arbitrari, maka untuk prisma segi empat tepat permukaan sisi boleh dikira seperti berikut:

S_b=P_oh

Di mana P_o ialah perimeter tapak.

Berbalik kepada masalah mengira luas prisma segi empat sekata, kita boleh menulis formula akhir:

S=2S_o+ S_b=2a²+ 4 ah=2a(a+2h)

Kawasan berpaip selari serong

Mengiranya agak lebih sukar daripada pengiraan segi empat tepat. Dalam kes ini, luas tapak prisma segi empat tepat dikira menggunakan formula yang sama seperti segi empat selari. Perubahan berkenaan dengan cara luas permukaan sisi ditentukan.

Untuk melakukan ini, gunakan formula yang sama melalui perimeter seperti yang diberikan dalam perenggan di atas. Cuma sekarang ia akan mempunyai pengganda yang sedikit berbeza. Formula umum untuk S_b dalam kes prisma serong ialah:

S_b=P_src

Di sini c ialah panjang tepi sisi rajah. Nilai P_sr ialah perimeter hirisan segi empat tepat. Persekitaran ini dibina seperti berikut: adalah perlu untuk memotong semua muka sisi dengan satah supaya ia berserenjang dengan mereka semua. Segi empat tepat yang terhasil ialah potongan yang diingini.

Rajah di atas menunjukkan contoh kotak serong. Keratan rentasnya membentuk sudut tepat dengan sisi. Perimeter bahagian itu ialah P_sr. Ia dibentuk oleh empat ketinggian segi empat selari sisi. Untuk prisma segi empat ini, luas permukaan sisi dikira menggunakan formula di atas.

Panjang pepenjuru kuboid

Diagonal bagi parallelepiped ialah segmen yang menghubungkan dua bucu yang tidak mempunyai sisi sepunya yang membentuknya. Terdapat hanya empat pepenjuru dalam mana-mana prisma segi empat. Untuk kuboid dengan segi empat tepat di tapaknya, panjang semua pepenjuru adalah sama antara satu sama lain.

Rajah di bawah menunjukkan angka yang sepadan. Segmen merah ialah pepenjurunya.

Mengira panjangnya adalah sangat mudah, jika anda mengingati teorem Pythagoras. Setiap pelajar boleh mendapatkan formula yang dikehendaki. Ia mempunyai bentuk berikut:

D=√(A²+ B² + C²)

Di sini D ialah panjang pepenjuru. Aksara yang tinggal ialah panjang sisi kotak.

Ramai orang mengelirukan pepenjuru paip selari dengan pepenjuru sisinya. Di bawah adalah gambar di mana berwarnasegmen mewakili pepenjuru sisi rajah.

Panjang setiap satu daripadanya juga ditentukan oleh teorem Pythagoras dan sama dengan punca kuasa dua hasil tambah kuasa dua bagi panjang sisi yang sepadan.

Jumlah prisma

Sebagai tambahan kepada luas prisma segi empat biasa atau jenis prisma lain, untuk menyelesaikan beberapa masalah geometri, anda juga harus mengetahui isipadunya. Nilai ini untuk sebarang prisma mutlak dikira dengan formula berikut:

V=S_oh

Jika prisma itu segi empat tepat, maka sudah cukup untuk mengira luas tapaknya dan mendarabnya dengan panjang tepi sisi untuk mendapatkan isipadu rajah.

Jika prisma itu ialah prisma segi empat sekata, maka isipadunya ialah:

V=a²j.

Adalah mudah untuk melihat bahawa formula ini ditukar menjadi ungkapan untuk isipadu kubus jika panjang tepi sisi h adalah sama dengan sisi tapak a.

Masalah dengan kuboid

Untuk menyatukan bahan yang dikaji, kami akan menyelesaikan masalah berikut: terdapat sebuah paip selari segi empat tepat yang sisinya ialah 3 cm, 4 cm dan 5 cm. Ia perlu mengira luas permukaan, panjang pepenjuru dan isipadunya.

Untuk kepastian, kita akan mengandaikan bahawa tapak rajah ialah segi empat tepat dengan sisi 3 cm dan 4 cm. Kemudian luasnya ialah 12 cm², dan tempoh ialah 14 cm Menggunakan formula untuk luas permukaan prisma, kita dapat:

S=2S_o+ S_b=212 + 514=24 + 70=94sm2

Untuk menentukan panjang pepenjuru dan isipadu rajah, anda boleh terus menggunakan ungkapan di atas:

D=√(3²+4²+5²)=7 071 sm;

V=345=60sm³.

Masalah dengan saluran paip selari serong

Rajah di bawah menunjukkan sebuah prisma serong. Sisinya adalah sama: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Anda perlu mencari luas permukaan rajah ini.

Pertama, mari tentukan luas tapak. Rajah menunjukkan bahawa sudut akut ialah 50^o. Maka luasnya ialah:

S_o=ha=dosa(50^o)ba

Untuk menentukan luas permukaan sisi, anda harus mencari perimeter segi empat tepat berlorek. Sisi segi empat tepat ini ialah asin(45^o) dan bsin(60^o). Maka perimeter segi empat tepat ini ialah: