Apakah itu pembolehubah? Pembolehubah dalam matematik

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-01-02 17:53

Kepentingan pembolehubah dalam matematik adalah hebat, kerana semasa kewujudannya, saintis berjaya membuat banyak penemuan dalam bidang ini, dan untuk menyatakan secara ringkas dan jelas teorem ini atau itu, kami menggunakan pembolehubah untuk menulis formula yang sepadan. Contohnya, teorem Pythagoras pada segi tiga tepat: a² =b² + c^{2. Cara menulis setiap kali semasa menyelesaikan masalah: mengikut teorem Pythagoras, kuasa dua hipotenus adalah sama dengan jumlah kuasa dua kaki - kami menulis ini dengan formula, dan semuanya menjadi jelas dengan serta-merta.}

Jadi, artikel ini akan membincangkan apakah pembolehubah, jenis dan sifatnya. Pelbagai ungkapan matematik juga akan dipertimbangkan: ketaksamaan, formula, sistem dan algoritma untuk penyelesaiannya.

Konsep pembolehubah

Pertama sekali, apakah pembolehubah? Ini ialah nilai berangka yang boleh mengambil banyak nilai. Ia tidak boleh tetap, kerana dalam masalah dan persamaan yang berbeza, untuk kemudahan, kami mengambil penyelesaian sebagaipembolehubah nombor berbeza, iaitu, sebagai contoh, z ialah sebutan umum bagi setiap kuantiti yang diambil. Biasanya ia dilambangkan dengan huruf abjad Latin atau Yunani (x, y, a, b, dan seterusnya).

Terdapat pelbagai jenis pembolehubah. Mereka menetapkan kedua-dua kuantiti fizik - laluan (S), masa (t), dan nilai yang tidak diketahui dalam persamaan, fungsi dan ungkapan lain.

Sebagai contoh, terdapat formula: S=Vt. Di sini, pembolehubah menunjukkan kuantiti tertentu yang berkaitan dengan dunia sebenar - laluan, kelajuan dan masa.

Dan terdapat persamaan bentuk: 3x - 16=12x. Di sini, x sudah diambil sebagai nombor abstrak yang masuk akal dalam tatatanda ini.

Jenis kuantiti

Jumlah bermaksud sesuatu yang menyatakan sifat objek, bahan atau fenomena tertentu. Contohnya, suhu udara, berat haiwan, peratusan vitamin dalam tablet - ini semua adalah kuantiti yang nilai berangkanya boleh dikira.

Setiap kuantiti mempunyai unit ukuran sendiri, yang bersama-sama membentuk satu sistem. Ia dipanggil sistem nombor (SI).

Apakah itu pembolehubah dan pemalar? Pertimbangkan mereka dengan contoh khusus.

Mari kita lakukan gerakan seragam rectilinear. Satu titik dalam ruang bergerak pada kelajuan yang sama setiap kali. Iaitu, masa dan jarak berubah, tetapi kelajuannya tetap sama. Dalam contoh ini, masa dan jarak adalah pembolehubah, dan kelajuan adalah malar.

Atau, sebagai contoh, “pi”. Ini ialah nombor tidak rasional yang berterusan tanpa berulangurutan digit dan tidak boleh ditulis sepenuhnya, jadi dalam matematik ia dinyatakan dengan simbol yang diterima umum yang hanya mengambil nilai pecahan tak terhingga yang diberikan. Iaitu, "pi" ialah nilai malar.

Sejarah

Sejarah tatatanda pembolehubah bermula pada abad ketujuh belas dengan saintis René Descartes.

Dia menetapkan nilai yang diketahui dengan huruf pertama abjad: a, b dan seterusnya, dan untuk yang tidak diketahui dia mencadangkan menggunakan huruf terakhir: x, y, z. Perlu diperhatikan bahawa Descartes menganggap pembolehubah tersebut sebagai nombor bukan negatif, dan apabila berhadapan dengan parameter negatif, dia meletakkan tanda tolak di hadapan pembolehubah atau, jika tidak diketahui apakah tanda nombor itu, elipsis. Tetapi dari masa ke masa, nama pembolehubah mula menunjukkan nombor sebarang tanda, dan ini bermula dengan ahli matematik Johann Hudde.

Dengan pembolehubah, pengiraan dalam matematik lebih mudah untuk diselesaikan, kerana, sebagai contoh, bagaimana kita menyelesaikan persamaan biquadratik sekarang? Kami memasukkan pembolehubah. Contohnya:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

Untuk x2 kita ambil beberapa k, dan persamaan menjadi jelas:

x2=k, untuk k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

Itulah yang dibawa oleh pengenalan pembolehubah kepada matematik.

Ketaksamaan, contoh penyelesaian

Ketaksamaan ialah rekod di mana dua ungkapan matematik atau dua nombor disambungkan dengan tanda perbandingan:, ≦, ≧. Ia tegas dan ditunjukkan dengan tanda atau tidak ketat dengan tanda ≦, ≧.

Buat pertama kali tanda-tanda ini diperkenalkanThomas Harriot. Selepas kematian Thomas, bukunya dengan tatatanda ini diterbitkan, ahli matematik menyukainya, dan lama kelamaan ia digunakan secara meluas dalam pengiraan matematik.

Terdapat beberapa peraturan yang perlu dipatuhi semasa menyelesaikan ketaksamaan pembolehubah tunggal:

Apabila memindahkan nombor dari satu bahagian ketaksamaan ke bahagian lain, tukar tandanya kepada sebaliknya.
Apabila mendarab atau membahagi bahagian ketaksamaan dengan nombor negatif, tandanya diterbalikkan.
Jika anda mendarab atau membahagi kedua-dua belah ketaksamaan dengan nombor positif, anda mendapat ketaksamaan sama dengan yang asal.

Menyelesaikan ketaksamaan bermakna mencari semua nilai yang sah untuk pembolehubah.

Contoh pembolehubah tunggal:

10x - 50 > 150

Kami menyelesaikannya seperti persamaan linear biasa - kami mengalihkan sebutan dengan pembolehubah ke kiri, tanpa pembolehubah - ke kanan dan memberikan istilah yang serupa:

10x > 200

Kami membahagikan kedua-dua belah ketaksamaan dengan 10 dan mendapat:

x > 20

Untuk kejelasan, dalam contoh menyelesaikan ketaksamaan dengan satu pembolehubah, lukis garis nombor, tandakan titik tembus 20 padanya, kerana ketaksamaan adalah ketat, dan nombor ini tidak termasuk dalam set penyelesaiannya.

Penyelesaian kepada ketidaksamaan ini ialah selang (20; +∞).

Penyelesaian ketidaksamaan yang tidak ketat dijalankan dengan cara yang sama seperti yang ketat:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Tetapi terdapat satu pengecualian. Rekod dalam bentuk x ≧ 5 hendaklah difahami seperti berikut: x lebih besar daripada atau sama dengan lima, yang bermaksudnombor lima disertakan dalam set semua penyelesaian kepada ketaksamaan, iaitu, semasa menulis jawapan, kami meletakkan kurungan segi empat sama di hadapan nombor lima.

x ∈ [5; +∞)

Ketaksamaan persegi

Jika kita mengambil persamaan kuadratik bentuk ax2 + bx +c=0 dan menukar tanda sama dengan tanda ketaksamaan di dalamnya, maka kita akan memperolehi ketaksamaan kuadratik.

Untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik, anda perlu dapat menyelesaikan persamaan kuadratik.

y=ax2 + bx + c ialah fungsi kuadratik. Kita boleh menyelesaikannya menggunakan diskriminasi, atau menggunakan teorem Vieta. Ingat bagaimana persamaan ini diselesaikan:

1) y=x2 + 12x + 11 - fungsinya ialah parabola. Cawangannya diarahkan ke atas, kerana tanda pekali "a" ialah positif.

2) x2 + 12x + 11=0 - samakan dengan sifar dan selesaikan menggunakan diskriminasi.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 punca

Mengikut formula punca-punca persamaan kuadratik, kita dapat:

x₁ =-1, x_2=-11

Atau anda boleh menyelesaikan persamaan ini menggunakan teorem Vieta:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Menggunakan kaedah pemilihan, kami memperoleh punca persamaan yang sama.

Parabola

Jadi, cara pertama untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik ialah parabola. Algoritma untuk menyelesaikannya adalah seperti berikut:

1. Tentukan ke mana cawangan parabola diarahkan.

2. Samakan fungsi dengan sifar dan cari punca persamaan.

3. Kami membina garis nombor, menandakan akar di atasnya, melukis parabola dan mencari jurang yang kami perlukan, bergantung pada tanda ketaksamaan.

Selesaikan ketaksamaan x2 + x - 12 > 0

Tulis sebagai fungsi:

1) y=x2 + x - 12 - parabola, bercabang ke atas.

Tetapkan kepada sifar.

2) x2 + x -12=0

Seterusnya, kita selesaikan sebagai persamaan kuadratik dan cari sifar bagi fungsi:

x₁ =3, x_2=-4

3) Lukis garis nombor dengan titik 3 dan -4 di atasnya. Parabola akan melalui mereka, bercabang dan jawapan kepada ketaksamaan akan menjadi satu set nilai positif, iaitu, (-∞; -4), (3; +∞).

Kaedah selang

Cara kedua ialah kaedah jarak. Algoritma untuk menyelesaikannya:

1. Cari punca persamaan yang mana ketaksamaan adalah sama dengan sifar.

2. Kami menandakan mereka pada garis nombor. Oleh itu, ia dibahagikan kepada beberapa selang.

3. Tentukan tanda sebarang selang.

4. Kami meletakkan papan tanda pada selang masa yang tinggal, menukarnya selepas satu.

Selesaikan ketaksamaan (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Sifar ketaksamaan: 4, 5 dan -7.

2) Lukis mereka pada garis nombor.

3) Tentukan tanda selang.

Jawapan: (-∞; -7]; [4; 5].

Selesaikan satu lagi ketaksamaan: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Sifar ketaksamaan: 0, 2, -2 dan 1.

2. Tandai mereka pada garis nombor.

3. Tentukan tanda selang.

Barisan dibahagikan kepada selang - dari -2 hingga 0, dari 0 hingga 1, dari 1 hingga 2.

Ambil nilai pada selang pertama - (-1). Gantikan dalam ketidaksamaan. Dengan nilai ini, ketaksamaan menjadi positif, yang bermaksud bahawa tanda pada selang ini ialah +.

Seterusnya, bermula dari celah pertama, kami menyusun tanda, menukarnya selepas satu.

Ketaksamaan lebih besar daripada sifar, iaitu, anda perlu mencari set nilai positif pada baris.

Jawapan: (-2; 0), (1; 2).

Sistem persamaan

Sistem persamaan dengan dua pembolehubah ialah dua persamaan yang dicantumkan oleh pendakap kerinting yang perlu mencari penyelesaian yang sama.

Sistem boleh menjadi setara jika penyelesaian umum salah satu daripadanya ialah penyelesaian yang lain, atau kedua-duanya tidak mempunyai penyelesaian.

Kami akan mengkaji penyelesaian sistem persamaan dengan dua pembolehubah. Terdapat dua cara untuk menyelesaikannya - kaedah penggantian atau kaedah algebra.

Kaedah algebra

Untuk menyelesaikan sistem yang ditunjukkan dalam gambar menggunakan kaedah ini, anda mesti terlebih dahulu mendarab salah satu bahagiannya dengan nombor sedemikian, supaya kemudian anda boleh saling membatalkan satu pembolehubah daripada kedua-dua bahagian persamaan. Di sini kita darab dengan tiga, lukis garisan di bawah sistem dan tambah bahagiannya. Akibatnya, x menjadi sama dalam modulus, tetapi bertentangan dalam tanda, dan kami mengurangkannya. Seterusnya, kita mendapat persamaan linear dengan satu pembolehubah dan menyelesaikannya.

Kami menemui Y, tetapi kami tidak boleh berhenti di situ, kerana kami belum menemui X lagi. PenggantiY ke bahagian yang sesuai untuk menarik balik X, contohnya:

-x + 5y=8, dengan y=1

-x + 5=8

Selesaikan persamaan yang terhasil dan cari x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Perkara utama dalam penyelesaian sistem ialah menulis jawapan dengan betul. Ramai pelajar membuat kesilapan menulis:

Jawapan: -3, 1.

Tetapi ini adalah entri yang salah. Lagipun, seperti yang telah disebutkan di atas, apabila menyelesaikan sistem persamaan, kami sedang mencari penyelesaian umum untuk bahagian-bahagiannya. Jawapan yang betul ialah:

(-3; 1)