Ramai, berhadapan dengan konsep "teori kebarangkalian", berasa takut, memikirkan bahawa ini adalah sesuatu yang menggembirakan, sangat kompleks. Tetapi ia sebenarnya tidak begitu tragis. Hari ini kita akan mempertimbangkan konsep asas teori kebarangkalian, belajar cara menyelesaikan masalah menggunakan contoh khusus.
Sains
Apakah yang dipelajari oleh cabang matematik seperti "teori kebarangkalian"? Ia mencatatkan corak peristiwa rawak dan kuantiti. Buat pertama kalinya, saintis mula berminat dengan isu ini pada abad kelapan belas, apabila mereka mempelajari perjudian. Konsep asas teori kebarangkalian ialah peristiwa. Ia adalah sebarang fakta yang dipastikan melalui pengalaman atau pemerhatian. Tetapi apa itu pengalaman? Satu lagi konsep asas teori kebarangkalian. Ini bermakna komposisi keadaan ini tidak dicipta secara kebetulan, tetapi untuk tujuan tertentu. Bagi pemerhatian, di sini penyelidik sendiri tidak mengambil bahagian dalam eksperimen, tetapi hanya menjadi saksi kepada peristiwa ini, dia tidak mempengaruhi apa yang berlaku dalam apa cara sekalipun.
Acara
Kami mengetahui bahawa konsep asas teori kebarangkalian ialah peristiwa, tetapi tidak mengambil kira pengelasan. Kesemuanya dibahagikan kepada kategori berikut:
- Dipercayai.
- Mustahil.
- Rawak.
Tidak kiraapakah jenis peristiwa yang diperhatikan atau dicipta dalam perjalanan pengalaman, semuanya tertakluk kepada pengelasan ini. Kami menawarkan untuk berkenalan dengan setiap spesies secara berasingan.
Acara tertentu
Ini adalah keadaan sebelum set langkah yang perlu telah diambil. Untuk lebih memahami intipati, lebih baik memberikan beberapa contoh. Fizik, kimia, ekonomi, dan matematik yang lebih tinggi tertakluk kepada undang-undang ini. Teori kebarangkalian merangkumi konsep penting seperti peristiwa tertentu. Berikut ialah beberapa contoh:
- Kami bekerja dan mendapat imbuhan dalam bentuk upah.
- Kami lulus peperiksaan dengan baik, lulus pertandingan, untuk ini kami menerima ganjaran dalam bentuk kemasukan ke institusi pendidikan.
- Kami melabur wang di bank, kami akan mendapatkannya semula jika perlu.
Acara sedemikian boleh dipercayai. Jika kami telah memenuhi semua syarat yang diperlukan, maka kami pasti akan mendapat hasil yang diharapkan.
Peristiwa mustahil
Sekarang kita sedang mempertimbangkan unsur-unsur teori kebarangkalian. Kami bercadang untuk meneruskan penjelasan tentang jenis acara seterusnya, iaitu, yang mustahil. Mula-mula, mari tentukan peraturan yang paling penting - kebarangkalian kejadian mustahil ialah sifar.
Anda tidak boleh menyimpang daripada perkataan ini semasa menyelesaikan masalah. Untuk menjelaskannya, berikut ialah contoh acara sedemikian:
- Air membeku pada tambah sepuluh (itu mustahil).
- Kekurangan elektrik tidak menjejaskan pengeluaran dalam apa cara sekalipun (sama mustahil seperti contoh sebelumnya).
Lagi contohIa tidak patut dipetik, kerana yang diterangkan di atas sangat jelas menggambarkan intipati kategori ini. Peristiwa mustahil tidak akan berlaku semasa pengalaman dalam apa jua keadaan.
Acara rawak
Mengkaji unsur-unsur teori kebarangkalian, perhatian khusus harus diberikan kepada jenis peristiwa tertentu ini. Itulah yang dipelajari oleh sains. Hasil daripada pengalaman, sesuatu mungkin berlaku atau tidak. Di samping itu, ujian boleh diulang beberapa kali tanpa had. Contoh yang jelas ialah:
- Melambung syiling ialah pengalaman, atau ujian, tajuk ialah acara.
- Mengeluarkan bola keluar dari beg secara membabi buta adalah satu ujian, bola merah ditangkap adalah satu acara dan sebagainya.
Boleh ada bilangan contoh sedemikian yang tidak terhad, tetapi, secara umum, intipatinya harus jelas. Untuk meringkaskan dan mensistematikkan pengetahuan yang diperoleh tentang peristiwa, jadual diberikan. Teori kebarangkalian hanya mengkaji jenis terakhir dari semua yang dibentangkan.
| tajuk | definisi | contoh |
| Dipercayai | Acara yang berlaku dengan jaminan 100% dalam syarat tertentu. | Kemasukan ke institusi pendidikan dengan peperiksaan kemasukan yang baik. |
| Mustahil | Acara yang tidak akan berlaku dalam apa jua keadaan. | Salji turun pada suhu ditambah tiga puluh darjah Celsius. |
| Random | Peristiwa yang mungkin berlaku atau mungkin tidak berlaku semasa percubaan/ujian. | Pukul atau terlepas apabila membaling bola keranjang ke dalam gelung. |
Undang-undang
Teori kebarangkalian ialah sains yang mengkaji kemungkinan sesuatu kejadian berlaku. Seperti yang lain, ia mempunyai beberapa peraturan. Terdapat undang-undang teori kebarangkalian berikut:
- Penumpuan jujukan pembolehubah rawak.
- Hukum nombor besar.
Apabila mengira kemungkinan kompleks, anda boleh menggunakan kompleks peristiwa mudah untuk mencapai keputusan dengan cara yang lebih mudah dan cepat. Perhatikan bahawa undang-undang teori kebarangkalian mudah dibuktikan dengan bantuan beberapa teorem. Mari kita mulakan dengan undang-undang pertama.
Penumpuan jujukan pembolehubah rawak
Perhatikan bahawa terdapat beberapa jenis penumpuan:
- Jujukan pembolehubah rawak menumpu dalam kebarangkalian.
- Hampir mustahil.
- RMS penumpuan.
- Penumpuan dalam pengagihan.
Jadi, dengan cepat, sangat sukar untuk sampai ke bahagian bawahnya. Berikut ialah beberapa takrifan untuk membantu anda memahami topik ini. Mari kita mulakan dengan pandangan pertama. Satu jujukan dipanggil konvergen dalam kebarangkalian jika syarat berikut dipenuhi: n cenderung kepada infiniti, nombor yang jujukan itu cenderung lebih besar daripada sifar dan hampir dengan satu.
Melangkah ke paparan seterusnya, hampir pasti. Mereka berkata begitujujukan itu hampir pasti menumpu kepada pembolehubah rawak dengan n cenderung kepada infiniti dan P cenderung kepada nilai yang hampir dengan satu.
Jenis seterusnya ialah penumpuan akar-min-kuasa dua. Apabila menggunakan penumpuan SC, kajian proses rawak vektor dikurangkan kepada kajian proses rawak koordinatnya.
Jenis terakhir kekal, mari kita lihat secara ringkas untuk meneruskan terus kepada menyelesaikan masalah. Konvergensi pengedaran mempunyai nama lain - "lemah", kami akan menerangkan sebabnya di bawah. Penumpuan lemah ialah penumpuan fungsi pengagihan pada semua titik kesinambungan fungsi pengagihan had.
Pastikan memenuhi janji: penumpuan lemah berbeza daripada semua di atas kerana pembolehubah rawak tidak ditakrifkan pada ruang kebarangkalian. Ini mungkin kerana keadaan dibentuk secara eksklusif menggunakan fungsi pengedaran.
Hukum nombor besar
Pembantu yang sangat baik dalam membuktikan undang-undang ini akan menjadi teorem teori kebarangkalian, seperti:
- ketidaksamaan Chebyshev.
- teorem Chebyshev.
- Teorem Chebyshev yang umum.
- teorem Markov.
Jika kita mempertimbangkan semua teorem ini, maka soalan ini mungkin berlarutan untuk beberapa dozen helaian. Tugas utama kami ialah mengaplikasikan teori kebarangkalian dalam amalan. Kami menjemput anda untuk melakukan ini sekarang. Tetapi sebelum itu, mari kita pertimbangkan aksiom teori kebarangkalian, ia akan menjadi pembantu utama dalam menyelesaikan masalah.
Axioms
Kami sudah bertemu dengan yang pertama apabila bercakap tentang peristiwa yang mustahil. Mari kita ingat: kebarangkalian kejadian mustahil ialah sifar. Kami memberikan contoh yang sangat jelas dan tidak dapat dilupakan: salji turun pada suhu udara tiga puluh darjah Celsius.
Yang kedua berbunyi seperti ini: peristiwa yang boleh dipercayai berlaku dengan kebarangkalian sama dengan satu. Sekarang mari tunjukkan cara menulisnya menggunakan bahasa matematik: P(B)=1.
Ketiga: Peristiwa rawak mungkin berlaku atau tidak, tetapi kemungkinannya sentiasa berkisar antara sifar hingga satu. Semakin dekat nilainya dengan satu, semakin besar peluangnya; jika nilai menghampiri sifar, kebarangkalian adalah sangat rendah. Mari tulis ini dalam bahasa matematik: 0<Р(С)<1.
Mari kita pertimbangkan aksiom keempat yang terakhir, yang berbunyi seperti ini: kebarangkalian jumlah dua peristiwa adalah sama dengan jumlah kebarangkalian mereka. Kami menulis dalam bahasa matematik: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Aksiom teori kebarangkalian ialah peraturan paling mudah yang mudah diingati. Mari cuba selesaikan beberapa masalah, berdasarkan pengetahuan yang telah diperoleh.
Tiket loteri
Pertama, pertimbangkan contoh paling mudah - loteri. Bayangkan anda membeli satu tiket loteri untuk nasib baik. Apakah kebarangkalian anda akan memenangi sekurang-kurangnya dua puluh rubel? Secara keseluruhan, seribu tiket mengambil bahagian dalam edaran, salah satunya mempunyai hadiah lima ratus rubel, sepuluh daripada seratus rubel, lima puluh daripada dua puluh rubel, dan seratus lima. Masalah dalam teori kebarangkalian adalah berdasarkan mencari kemungkinanSemoga berjaya. Sekarang bersama-sama kita akan menganalisis penyelesaian tugasan yang dibentangkan di atas.
Jika kita menandakan dengan huruf A kemenangan sebanyak lima ratus rubel, maka kebarangkalian untuk mendapat A ialah 0.001. Bagaimana kita mendapatkannya? Anda hanya perlu membahagikan bilangan tiket "bertuah" dengan jumlah bilangannya (dalam kes ini: 1/1000).
B ialah kemenangan seratus rubel, kebarangkaliannya ialah 0.01. Sekarang kami bertindak mengikut prinsip yang sama seperti dalam tindakan sebelumnya (10/1000)
C - kemenangan adalah bersamaan dengan dua puluh rubel. Cari kebarangkalian, ia sama dengan 0.05.
Selebihnya tiket tidak menarik minat kami, kerana dana hadiah mereka adalah kurang daripada yang dinyatakan dalam syarat. Mari kita gunakan aksiom keempat: Kebarangkalian memenangi sekurang-kurangnya dua puluh rubel ialah P(A)+P(B)+P(C). Huruf P menandakan kebarangkalian kejadian ini, kami telah menemuinya dalam langkah sebelumnya. Ia kekal hanya untuk menambah data yang diperlukan, dalam jawapan kita mendapat 0, 061. Nombor ini akan menjadi jawapan kepada soalan tugasan.
Dek kad
Masalah teori kebarangkalian boleh menjadi lebih kompleks, sebagai contoh, ambil tugas berikut. Sebelum anda adalah dek tiga puluh enam kad. Tugas anda ialah melukis dua kad berturut-turut tanpa mencampurkan longgokan, kad pertama dan kedua mestilah ace, saman itu tidak penting.
Pertama, mari kita cari kebarangkalian bahawa kad pertama akan menjadi ace, untuk ini kita bahagikan empat dengan tiga puluh enam. Mereka letak tepi. Kami mengeluarkan kad kedua, ia akan menjadi ace dengan kebarangkalian tiga tiga puluh lima. Kebarangkalian acara kedua bergantung pada kad yang kami lukis dahulu, kami berminatadakah ia seorang ace atau tidak. Ini berikutan peristiwa B bergantung pada peristiwa A.
Langkah seterusnya ialah mencari kebarangkalian pelaksanaan serentak, iaitu, kita mendarabkan A dan B. Hasil darabnya didapati seperti berikut: kebarangkalian satu peristiwa didarab dengan kebarangkalian bersyarat yang lain, yang kita kira, dengan mengandaikan bahawa peristiwa pertama berlaku, iaitu, dengan kad pertama kami melakar ace.
Untuk menjelaskan segala-galanya, mari kita berikan penetapan kepada elemen sedemikian sebagai kebarangkalian bersyarat sesuatu peristiwa. Ia dikira dengan mengandaikan bahawa peristiwa A telah berlaku. Dikira seperti berikut: P(B/A).
Teruskan selesaikan masalah kami: P(AB)=P(A)P(B/A) atau P (AB)=P(B)P(A/B). Kebarangkalian ialah (4/36)((3/35)/(4/36). Kira dengan membundarkan kepada perseratus. Kami ada: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Kebarangkalian kita melukis dua ace berturut-turut ialah sembilan perseratus. Nilainya sangat kecil, berikutan bahawa kebarangkalian berlakunya peristiwa adalah sangat kecil.
Nombor terlupa
Kami mencadangkan untuk menganalisis beberapa lagi pilihan untuk tugasan yang dikaji oleh teori kebarangkalian. Anda telah melihat contoh penyelesaian beberapa daripadanya dalam artikel ini, mari cuba selesaikan masalah berikut: budak lelaki itu terlupa digit terakhir nombor telefon rakannya, tetapi kerana panggilan itu sangat penting, dia mula mendail semuanya secara bergilir. Kita perlu mengira kebarangkalian bahawa dia akan memanggil tidak lebih daripada tiga kali. Penyelesaian kepada masalah adalah yang paling mudah jika peraturan, undang-undang dan aksiom teori kebarangkalian diketahui.
Sebelum menontonpenyelesaian, cuba selesaikan sendiri. Kita tahu bahawa digit terakhir boleh dari sifar hingga sembilan, iaitu, terdapat sepuluh nilai secara keseluruhan. Kebarangkalian untuk mendapatkan yang betul ialah 1/10.
Seterusnya, kita perlu mempertimbangkan pilihan untuk asal usul acara, andaikan budak itu meneka dengan betul dan serta-merta menjaringkan yang betul, kebarangkalian acara sedemikian ialah 1/10. Pilihan kedua: panggilan pertama adalah terlepas, dan yang kedua adalah pada sasaran. Kami mengira kebarangkalian peristiwa sedemikian: darab 9/10 dengan 1/9, sebagai hasilnya kami juga mendapat 1/10. Pilihan ketiga: panggilan pertama dan kedua ternyata berada di alamat yang salah, hanya dari yang ketiga budak itu sampai ke tempat yang dia mahu. Kami mengira kebarangkalian peristiwa sedemikian: kita darabkan 9/10 dengan 8/9 dan dengan 1/8, kita mendapat 1/10 sebagai hasilnya. Mengikut keadaan masalah, kami tidak berminat dengan pilihan lain, jadi tinggal untuk kami menambah hasilnya, hasilnya kami mempunyai 3/10. Jawapan: Kebarangkalian budak itu memanggil tidak lebih daripada tiga kali ialah 0.3.
Kad dengan nombor
Terdapat sembilan kad di hadapan anda, pada setiap satunya nombor dari satu hingga sembilan ditulis, nombor itu tidak diulang. Mereka diletakkan di dalam kotak dan dicampur dengan teliti. Anda perlu mengira kebarangkalian bahawa
- nombor genap akan muncul;
- dua digit.
Sebelum meneruskan penyelesaian, mari kita tetapkan bahawa m ialah bilangan kes yang berjaya, dan n ialah jumlah pilihan. Cari kebarangkalian bahawa nombor itu genap. Tidak sukar untuk mengira bahawa terdapat empat nombor genap, ini akan menjadi m kami, terdapat sembilan pilihan secara keseluruhan, iaitu, m=9. Kemudian kebarangkaliansama dengan 0, 44 atau 4/9.
Pertimbangkan kes kedua: bilangan pilihan ialah sembilan, dan tidak boleh ada hasil yang berjaya sama sekali, iaitu, m sama dengan sifar. Kebarangkalian bahawa kad yang dikeluarkan akan mengandungi nombor dua digit juga adalah sifar.
