Kemajuan umat manusia sebahagian besarnya disebabkan oleh penemuan yang dibuat oleh jenius. Salah seorang daripada mereka ialah Blaise Pascal. Biografi kreatifnya sekali lagi mengesahkan kebenaran ungkapan Lion Feuchtwanger "Seorang yang berbakat, berbakat dalam segala-galanya." Segala pencapaian saintifik saintis hebat ini sukar dikira. Antaranya ialah salah satu ciptaan paling elegan dalam dunia matematik - segitiga Pascal.
Sedikit perkataan tentang genius
Blaise Pascal meninggal lebih awal mengikut piawaian moden, pada usia 39 tahun. Walau bagaimanapun, dalam hidupnya yang singkat dia membezakan dirinya sebagai seorang ahli fizik, ahli matematik, ahli falsafah dan penulis yang cemerlang. Keturunan yang bersyukur menamakan unit tekanan dan bahasa pengaturcaraan popular Pascal sebagai penghormatan kepadanya. Ia telah digunakan selama hampir 60 tahun untuk mengajar cara menulis pelbagai kod. Sebagai contoh, dengan bantuannya, setiap pelajar boleh menulis program untuk mengira luas segi tiga dalam Pascal, serta meneroka sifat litar, tentangyang akan dibincangkan di bawah.
Aktiviti saintis dengan pemikiran luar biasa ini merangkumi pelbagai bidang sains. Khususnya, Blaise Pascal ialah salah seorang pengasas hidrostatik, analisis matematik, beberapa bidang geometri dan teori kebarangkalian. Juga, dia:
- mencipta kalkulator mekanikal yang dikenali sebagai roda Pascal;
- menyediakan bukti eksperimen bahawa udara mempunyai keanjalan dan berat;
- menetapkan bahawa barometer boleh digunakan untuk meramal cuaca;
- mencipta kereta sorong;
- mencipta omnibus - kereta kuda dengan laluan tetap, yang kemudiannya menjadi jenis pengangkutan awam biasa yang pertama, dsb.
Segi Tiga Aritmetik Pascal
Seperti yang telah disebutkan, saintis Perancis yang hebat ini memberikan sumbangan besar kepada sains matematik. Salah satu karya saintifik mutlak beliau ialah "Treatise on the Arithmetic Triangle", yang terdiri daripada pekali binomial yang disusun dalam susunan tertentu. Ciri-ciri skim ini sangat menarik dalam kepelbagaiannya, dan ia sendiri mengesahkan peribahasa "Semua yang bijak adalah mudah!".
Sedikit sejarah
Untuk bersikap adil, mesti dikatakan bahawa sebenarnya segitiga Pascal telah dikenali di Eropah seawal awal abad ke-16. Khususnya, imejnya boleh dilihat pada kulit buku teks aritmetik oleh ahli astronomi terkenal Peter Apian dari Universiti Ingolstadt. Segi tiga serupa juga ditunjukkan sebagai ilustrasi.dalam buku oleh ahli matematik Cina Yang Hui, diterbitkan pada 1303. Penyair dan ahli falsafah Parsi yang luar biasa Omar Khayyam juga menyedari sifatnya pada awal abad ke-12. Lebih-lebih lagi, dipercayai dia bertemu dengannya daripada risalah saintis Arab dan India yang ditulis sebelum ini.
Penerangan
Sebelum meneroka sifat paling menarik bagi segi tiga Pascal, cantik dalam kesempurnaan dan kesederhanaannya, adalah berbaloi untuk mengetahui apakah itu.
Secara saintifik, skema berangka ini ialah jadual segi tiga tidak berkesudahan yang terbentuk daripada pekali binomial yang disusun dalam susunan tertentu. Di bahagian atas dan di sisinya ialah nombor 1. Kedudukan selebihnya diduduki oleh nombor yang sama dengan jumlah dua nombor yang terletak di atasnya bersebelahan antara satu sama lain. Selain itu, semua garisan segi tiga Pascal adalah simetri pada paksi menegaknya.
Ciri Asas
Segitiga Pascal menyerlah dengan kesempurnaannya. Untuk mana-mana baris bernombor n (n=0, 1, 2…) benar:
- nombor pertama dan terakhir ialah 1;
- saat dan kedua terakhir - n;
- nombor ketiga adalah sama dengan nombor segi tiga (bilangan bulatan yang boleh disusun dalam segi tiga sama sisi, iaitu 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Nombor keempat ialah tetrahedral, iaitu piramid dengan segi tiga di tapaknya.
Selain itu, secara relatifnya baru-baru ini, pada tahun 1972, satu lagi sifat segitiga Pascal telah ditubuhkan. Untuk diauntuk mengetahui, anda perlu menulis elemen skema ini dalam bentuk jadual dengan peralihan baris sebanyak 2 kedudukan. Kemudian perhatikan nombor yang boleh dibahagikan dengan nombor baris. Ternyata nombor lajur di mana semua nombor diserlahkan ialah nombor perdana.
Helah yang sama boleh dilakukan dengan cara lain. Untuk melakukan ini, dalam segi tiga Pascal, nombor digantikan oleh baki bahagiannya dengan nombor baris dalam jadual. Kemudian garisan disusun dalam segitiga yang terhasil supaya yang seterusnya bermula 2 lajur ke kanan dari elemen pertama yang sebelumnya. Kemudian lajur dengan nombor yang merupakan nombor perdana akan terdiri daripada sifar sahaja dan lajur yang mempunyai nombor komposit akan mengandungi sekurang-kurangnya satu sifar.
Sambungan dengan binomial Newton
Seperti yang anda ketahui, ini ialah nama formula untuk pengembangan kepada sebutan kuasa integer bukan negatif daripada hasil tambah dua pembolehubah, yang kelihatan seperti:
Pekali yang terdapat di dalamnya adalah sama dengan C m =n! / (m! (n - m)!), dengan m ialah nombor ordinal dalam baris n bagi segi tiga Pascal. Dalam erti kata lain, dengan mempunyai jadual ini, anda boleh dengan mudah menaikkan sebarang nombor kepada kuasa, setelah menguraikannya kepada dua sebutan sebelum ini.
Oleh itu, segi tiga Pascal dan binomial Newton adalah berkait rapat.
Math Wonders
Pemeriksaan teliti segi tiga Pascal mendedahkan bahawa:
- jumlah semua nombor dalam baris dengannombor siri n (mengira dari 0) ialah 2;
- jika garisan dijajar ke kiri, maka jumlah nombor yang terletak di sepanjang pepenjuru segi tiga Pascal, dari bawah ke atas dan dari kiri ke kanan, adalah sama dengan nombor Fibonacci;
- "pepenjuru" pertama terdiri daripada nombor asli mengikut urutan;
- sebarang unsur daripada segi tiga Pascal, dikurangkan dengan satu, adalah sama dengan jumlah semua nombor yang terletak di dalam segi empat selari, yang dihadkan oleh pepenjuru kiri dan kanan yang bersilang pada nombor ini;
- dalam setiap baris rajah, jumlah nombor di tempat genap adalah sama dengan jumlah unsur di tempat ganjil.
Segi Tiga Sierpinski
Skema matematik yang begitu menarik, cukup menjanjikan dari segi penyelesaian masalah kompleks, diperoleh dengan mewarnakan nombor genap imej Pascal dalam satu warna, dan nombor ganjil dalam warna lain.
Segitiga Sierpinski boleh dibina dengan cara lain:
- dalam skema Pascal berlorek, segi tiga tengah dicat semula dalam warna berbeza, yang dibentuk dengan menyambungkan titik tengah sisi yang asal;
- lakukan perkara yang sama dengan tiga yang tidak dicat terletak di sudut;
- jika prosedur diteruskan selama-lamanya, maka hasilnya hendaklah berbentuk dua warna.
Harta paling menarik bagi segi tiga Sierpinski ialah persamaan diri, kerana ia terdiri daripada 3 salinannya, yang dikurangkan sebanyak 2 kali ganda. Ia membolehkan kita mengaitkan skema ini kepada lengkung fraktal, dan ia, seperti yang ditunjukkan oleh yang terkinipenyelidikan paling sesuai untuk pemodelan matematik awan, tumbuhan, delta sungai dan alam semesta itu sendiri.
Beberapa tugasan menarik
Di manakah segitiga Pascal digunakan? Contoh tugasan yang boleh diselesaikan dengan bantuannya agak pelbagai dan tergolong dalam pelbagai bidang sains. Mari lihat beberapa yang lebih menarik.
Masalah 1. Beberapa bandar besar yang dikelilingi oleh tembok kubu hanya mempunyai satu pintu masuk. Di persimpangan pertama, jalan utama terbahagi kepada dua. Perkara yang sama berlaku pada mana-mana yang lain. 210 orang memasuki bandar. Di setiap persimpangan yang mereka temui, mereka dibahagikan kepada separuh. Berapa ramai orang akan ditemui di setiap persimpangan apabila ia tidak lagi dapat dikongsi. Jawapannya ialah baris 10 segitiga Pascal (rumus pekali dibentangkan di atas), di mana nombor 210 terletak pada kedua-dua belah paksi menegak.
Tugasan 2. Terdapat 7 nama warna. Anda perlu membuat sejambak 3 bunga. Ia diperlukan untuk mengetahui berapa banyak cara yang berbeza ini boleh dilakukan. Masalah ini adalah dari bidang kombinatorik. Untuk menyelesaikannya, kami sekali lagi menggunakan segi tiga Pascal dan pergi ke baris ke-7 di kedudukan ketiga (menomborkan dalam kedua-dua kes daripada 0) nombor 35.
Kini anda tahu apa yang dicipta oleh ahli falsafah dan saintis Perancis yang hebat, Blaise Pascal. Segitiganya yang terkenal, apabila digunakan dengan betul, boleh menjadi penyelamat sebenar untuk menyelesaikan banyak masalah, terutamanya dari lapangankombinatorik. Selain itu, ia boleh digunakan untuk menyelesaikan pelbagai misteri berkaitan fraktal.
