Siri Maclaurin dan pengembangan beberapa fungsi

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2023-12-17 05:36

Pelajar matematik yang lebih tinggi harus sedar bahawa jumlah beberapa siri kuasa kepunyaan selang penumpuan siri yang diberikan ternyata menjadi fungsi terbeza yang berterusan dan tidak terhad. Persoalannya timbul: adakah mungkin untuk menegaskan bahawa fungsi arbitrari yang diberikan f(x) ialah jumlah bagi beberapa siri kuasa? Iaitu, dalam keadaan apakah fungsi f(x) boleh diwakili oleh siri kuasa? Kepentingan soalan ini terletak pada fakta bahawa adalah mungkin untuk menggantikan fungsi f(x) dengan jumlah beberapa sebutan pertama siri kuasa, iaitu dengan polinomial. Penggantian fungsi sedemikian dengan ungkapan yang agak mudah - polinomial - juga mudah apabila menyelesaikan beberapa masalah analisis matematik, iaitu: apabila menyelesaikan kamiran, apabila mengira persamaan pembezaan, dsb.

Telah dibuktikan bahawa untuk sesetengah fungsi f(х) di mana derivatif sehingga (n+1) tertib ke-, termasuk yang terakhir, boleh dikira dalam kejiranan (α _{- R; x}0 _{+ R) daripada beberapa titik x=α formula adalah sah:}

Formula ini dinamakan sempena nama saintis terkenal Brook Taylor. Siri yang diperoleh daripada yang sebelumnya dipanggil siri Maclaurin:

Peraturan yang memungkinkan untuk dikembangkan dalam siri Maclaurin:

1. Tentukan derivatif bagi pesanan pertama, kedua, ketiga….
2. Kira derivatif pada x=0 adalah sama dengan.
3. Rekodkan siri Maclaurin untuk fungsi ini, dan kemudian tentukan selang penumpuannya.
4. Tentukan selang (-R;R) di mana baki formula Maclaurin

R (x) -> 0 untuk n -> infiniti. Jika satu wujud, fungsi f(x) di dalamnya mesti bertepatan dengan jumlah siri Maclaurin.

Sekarang pertimbangkan siri Maclaurin untuk fungsi individu.

1. Jadi, yang pertama ialah f(x)=e^x. Sudah tentu, mengikut ciri-cirinya, fungsi sedemikian mempunyai terbitan pelbagai susunan, dan f^(k)(x)=e^x, dengan k sama dengan semua nombor asli. Mari kita gantikan x=0. Kami mendapat f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… ^{akan kelihatan seperti ini:}

2. Siri Maclaurin untuk fungsi f(x)=sin x. Jelaskan dengan segera bahawa fungsi untuk semua yang tidak diketahui akan mempunyai derivatif, selain f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), di mana k adalah sama dengan sebarang nombor asli. Iaitu, selepas membuat pengiraan mudah, kita boleh membuat kesimpulan bahawa siri untuk f(x)=sin x akan kelihatan seperti ini:}

3. Sekarang mari kita cuba pertimbangkan fungsi f(x)=cos x. Dia untuk semua yang tidak diketahuimempunyai terbitan tertib sewenang-wenangnya, dan |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Sekali lagi, selepas melakukan beberapa pengiraan, kita dapati bahawa siri untuk f(x)=cos x akan kelihatan seperti ini:

Jadi, kami telah menyenaraikan fungsi paling penting yang boleh dikembangkan dalam siri Maclaurin, tetapi ia ditambah dengan siri Taylor untuk beberapa fungsi. Sekarang kami akan menyenaraikannya. Perlu diingatkan juga bahawa siri Taylor dan Maclaurin adalah bahagian penting dalam amalan siri penyelesaian dalam matematik yang lebih tinggi. Jadi, siri Taylor.

1. Yang pertama ialah siri untuk f-ii f(x)=ln(1+x). Seperti dalam contoh sebelumnya, diberikan kepada kita f (x)=ln (1 + x), kita boleh menambah satu siri menggunakan bentuk am siri Maclaurin. walau bagaimanapun, untuk fungsi ini, siri Maclaurin boleh diperolehi dengan lebih mudah. Selepas menyepadukan siri geometri tertentu, kita mendapat satu siri untuk f(x)=ln(1+x) sampel ini:

2. Dan yang kedua, yang akan menjadi muktamad dalam artikel kami, akan menjadi siri untuk f (x) u003d arctg x. Untuk x kepunyaan selang [-1;1], pengembangan adalah sah:

Itu sahaja. Artikel ini mengkaji siri Taylor dan Maclaurin yang paling biasa digunakan dalam matematik tinggi, khususnya, dalam universiti ekonomi dan teknikal.