Fungsi kalkulus pembezaan satu dan beberapa pembolehubah

2024 Pengarang: Angel Austin | [email protected]. Diubah suai terakhir: 2024-01-02 17:53

Kalkulus ialah cabang kalkulus yang mengkaji terbitan, pembezaan dan penggunaannya dalam kajian sesuatu fungsi.

Sejarah Penampilan

Kalkulus pembezaan muncul sebagai disiplin bebas pada separuh kedua abad ke-17, hasil kerja Newton dan Leibniz, yang merumuskan peruntukan asas dalam kalkulus pembezaan dan melihat hubungan antara pengamiran dan pembezaan. Sejak saat itu, disiplin telah berkembang bersama-sama dengan kalkulus kamiran, lantas membentuk asas analisis matematik. Kemunculan kalkulus ini membuka zaman moden baru dalam dunia matematik dan menyebabkan kemunculan disiplin baru dalam sains. Ia juga memperluaskan kemungkinan mengaplikasikan sains matematik dalam sains semula jadi dan teknologi.

Konsep asas

Kalkulus pembezaan adalah berdasarkan konsep asas matematik. Ia adalah: nombor nyata, kesinambungan, fungsi dan had. Lama kelamaan, ia kelihatan moden, berkat kalkulus kamiran dan pembezaan.

Proses penciptaan

Pembentukan kalkulus pembezaan dalam bentuk aplikasi, dan kemudian kaedah saintifik berlaku sebelum kemunculan teori falsafah, yang dicipta oleh Nicholas dari Cusa. Karya-karyanya dianggap sebagai perkembangan evolusi dari pertimbangan sains kuno. Walaupun hakikat bahawa ahli falsafah itu sendiri bukanlah seorang ahli matematik, sumbangannya kepada pembangunan sains matematik tidak dapat dinafikan. Kuzansky adalah salah seorang yang pertama beralih daripada menganggap aritmetik sebagai bidang sains yang paling tepat, meletakkan matematik pada masa itu dalam keraguan.

Ahli matematik kuno menggunakan unit sebagai kriteria universal, manakala ahli falsafah mencadangkan infiniti sebagai ukuran baharu dan bukannya nombor tepat. Dalam hal ini, perwakilan ketepatan dalam sains matematik adalah songsang. Ilmu saintifik menurutnya terbahagi kepada rasional dan intelek. Yang kedua adalah lebih tepat, menurut saintis, kerana yang pertama hanya memberikan hasil anggaran.

kursus fichtengolts bagi kalkulus pembezaan dan kamiran

Idea

Idea dan konsep utama dalam kalkulus pembezaan adalah berkaitan dengan fungsi dalam kejiranan kecil titik tertentu. Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk mencipta alat matematik untuk mengkaji fungsi yang tingkah lakunya dalam kejiranan kecil titik yang ditetapkan adalah hampir dengan kelakuan polinomial atau fungsi linear. Ini berdasarkan takrifan terbitan dan pembezaan.

Kemunculan konsep derivatif disebabkan oleh sejumlah besar masalah daripada sains semula jadi dan matematik,yang membawa kepada mencari nilai had jenis yang sama.

Salah satu masalah utama yang diberikan sebagai contoh bermula dari sekolah menengah adalah untuk menentukan kelajuan titik bergerak di sepanjang garis lurus dan membina garis tangen ke lengkung ini. Pembezaan berkaitan dengan ini, kerana adalah mungkin untuk menganggarkan fungsi dalam kejiranan kecil titik yang dipertimbangkan bagi fungsi linear.

Berbanding dengan konsep terbitan bagi fungsi pembolehubah sebenar, takrifan pembezaan hanya beralih kepada fungsi yang bersifat umum, khususnya, kepada imej satu ruang Euclidean pada yang lain.

Derivatif

Biar titik bergerak ke arah paksi Oy, untuk masa yang kita ambil x, yang dikira dari permulaan detik tertentu. Pergerakan sedemikian boleh diterangkan oleh fungsi y=f(x), yang ditugaskan kepada setiap masa x bagi koordinat titik yang digerakkan. Dalam mekanik, fungsi ini dipanggil undang-undang gerakan. Ciri utama pergerakan, terutamanya tidak sekata, ialah kelajuan serta-merta. Apabila titik bergerak di sepanjang paksi Oy mengikut hukum mekanik, maka pada momen masa rawak x, ia memperoleh koordinat f (x). Pada masa x + Δx, di mana Δx menandakan kenaikan masa, koordinatnya ialah f(x + Δx). Ini adalah bagaimana formula Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) terbentuk, yang dipanggil kenaikan fungsi. Ia mewakili laluan yang dilalui oleh titik masa dari x ke x + Δx.

kalkulus pembezaan fungsi satu pembolehubah

Disebabkan kemunculan inihalaju pada masa, terbitan diperkenalkan. Dalam fungsi arbitrari, terbitan pada titik tetap dipanggil had (dengan mengandaikan ia wujud). Ia boleh ditetapkan dengan simbol tertentu:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Proses pengiraan terbitan dipanggil pembezaan.

Kalkulus pembezaan bagi fungsi beberapa pembolehubah

Kaedah kalkulus ini digunakan semasa memeriksa fungsi dengan beberapa pembolehubah. Dengan adanya dua pembolehubah x dan y, terbitan separa berkenaan dengan x pada titik A dipanggil terbitan bagi fungsi ini berkenaan dengan x dengan y tetap.

Boleh diwakili oleh aksara berikut:

f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x atau ∂f(x, y)’/∂x.

Kemahiran yang Diperlukan

Kemahiran dalam penyepaduan dan pembezaan diperlukan untuk berjaya belajar dan dapat menyelesaikan penyebaran. Untuk memudahkan memahami persamaan pembezaan, anda harus mempunyai pemahaman yang baik tentang topik terbitan dan kamiran tak tentu. Ia juga tidak rugi untuk mempelajari cara mencari terbitan bagi fungsi yang diberikan secara tersirat. Ini disebabkan fakta bahawa dalam proses mengkaji kamiran dan pembezaan selalunya perlu digunakan.

Jenis persamaan pembezaan

Dalam hampir semua kertas ujian yang berkaitan dengan persamaan pembezaan tertib pertama, terdapat 3 jenis persamaan: homogen, dengan pembolehubah boleh diasingkan, linear tidak homogen.

Terdapat juga jenis persamaan yang lebih jarang: dengan jumlah pembezaan, persamaan Bernoulli dan lain-lain.

Asas keputusan

Pertama, anda harus mengingati persamaan algebra daripada kursus sekolah. Ia mengandungi pembolehubah dan nombor. Untuk menyelesaikan persamaan biasa, anda perlu mencari set nombor yang memenuhi syarat tertentu. Sebagai peraturan, persamaan sedemikian mempunyai satu punca, dan untuk memeriksa ketepatannya, seseorang hanya perlu menggantikan nilai ini dengan yang tidak diketahui.

Persamaan pembezaan adalah serupa dengan ini. Secara umum, persamaan tertib pertama tersebut termasuk:

Pembolehubah bebas.
Terbitan bagi fungsi pertama.
Fungsi atau pembolehubah bersandar.

Dalam sesetengah kes, salah satu daripada yang tidak diketahui, x atau y, mungkin hilang, tetapi ini tidak begitu penting, kerana kehadiran terbitan pertama, tanpa terbitan tertib lebih tinggi, diperlukan untuk penyelesaian dan pembezaan kalkulus adalah betul.

Untuk menyelesaikan persamaan pembezaan bermakna mencari set semua fungsi yang sepadan dengan ungkapan yang diberikan. Set fungsi sedemikian sering dipanggil penyelesaian umum DE.

Kalkulus bersepadu

Kalkulus bersepadu ialah salah satu bahagian analisis matematik yang mengkaji konsep kamiran, sifat dan kaedah pengiraannya.

Selalunya, pengiraan kamiran berlaku apabila mengira luas angka lengkung. Kawasan ini bermaksud had di mana luas poligon yang ditulis dalam rajah tertentu cenderung dengan peningkatan beransur-ansur di sisinya, manakala sisi ini boleh dibuat kurang daripada mana-mana yang ditentukan sebelumnya sewenang-wenangnya.nilai kecil.

Idea utama dalam mengira luas rajah geometri sewenang-wenangnya ialah mengira luas segi empat tepat, iaitu membuktikan bahawa luasnya adalah sama dengan hasil darab panjang dan lebar. Apabila ia datang kepada geometri, semua pembinaan dibuat menggunakan pembaris dan kompas, dan kemudian nisbah panjang kepada lebar adalah nilai rasional. Apabila mengira luas segi tiga tepat, anda boleh menentukan bahawa jika anda meletakkan segitiga yang sama di sebelahnya, maka segi empat tepat terbentuk. Dalam segi empat selari, kawasan dikira dengan kaedah yang serupa, tetapi lebih rumit, melalui segi empat tepat dan segi tiga. Dalam poligon, luas dikira melalui segi tiga yang disertakan di dalamnya.

Apabila menentukan penjimatan lengkung arbitrari, kaedah ini tidak akan berfungsi. Jika anda memecahkannya menjadi petak tunggal, maka akan ada tempat yang tidak terisi. Dalam kes ini, seseorang cuba menggunakan dua penutup, dengan segi empat tepat di atas dan bawah, akibatnya, ia termasuk graf fungsi dan tidak. Kaedah pembahagian kepada segi empat tepat ini kekal penting di sini. Selain itu, jika kita mengambil sekatan yang semakin kecil, maka kawasan di atas dan di bawah harus menumpu pada nilai tertentu.

Ia harus kembali kepada kaedah pembahagian kepada segi empat tepat. Terdapat dua kaedah popular.

Riemann memformalkan takrif kamiran yang dicipta oleh Leibniz dan Newton sebagai luas subgraf. Dalam kes ini, angka telah dipertimbangkan, yang terdiri daripada beberapa segi empat tepat menegak dan diperoleh dengan membahagikansegmen. Apabila, apabila partition berkurangan, terdapat had untuk keluasan angka yang serupa berkurang, had ini dipanggil kamiran Riemann bagi fungsi pada selang tertentu.

Kaedah kedua ialah pembinaan kamiran Lebesgue, yang terdiri daripada fakta bahawa untuk tempat membahagikan kawasan yang ditentukan kepada bahagian-bahagian kamiran dan kemudian menyusun jumlah kamiran daripada nilai-nilai yang diperolehi dalam bahagian-bahagian ini, julat nilainya dibahagikan kepada selang, dan kemudian disimpulkan dengan ukuran praimej yang sepadan bagi kamiran ini.

Faedah moden

Salah satu manual utama untuk kajian kalkulus pembezaan dan kamiran telah ditulis oleh Fikhtengolts - "Kursus kalkulus pembezaan dan kamiran". Buku teksnya adalah panduan asas kepada kajian analisis matematik, yang telah melalui banyak edisi dan terjemahan ke dalam bahasa lain. Dicipta untuk pelajar universiti dan telah lama digunakan di banyak institusi pendidikan sebagai salah satu alat bantu belajar utama. Memberi data teori dan kemahiran praktikal. Pertama kali diterbitkan pada tahun 1948.

Algoritma penyelidikan fungsi

Untuk menyiasat fungsi menggunakan kaedah kalkulus pembezaan, anda mesti mengikut algoritma yang telah diberikan:

Cari skop fungsi.
Cari punca-punca persamaan yang diberikan.
Kira keterlaluan. Untuk melakukan ini, hitung derivatif dan titik di mana ia sama dengan sifar.
Gantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan.

Pelbagai persamaan pembezaan

kawalan pesanan pertama (jika tidak, pembezaankalkulus pembolehubah tunggal) dan jenisnya:

Persamaan boleh dipisahkan: f(y)dy=g(x)dx.
Persamaan termudah, atau kalkulus pembezaan bagi fungsi satu pembolehubah, mempunyai formula: y'=f(x).
Linear tertib pertama tidak homogen DE: y'+P(x)y=Q(x).
Persamaan pembezaan Bernoulli: y'+P(x)y=Q(x)ya.
Persamaan dengan jumlah pembezaan: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Persamaan pembezaan tertib kedua dan jenisnya:

Persamaan pembezaan homogen tertib kedua linear dengan nilai pekali malar: y +py'+qy=0 p, q kepunyaan R.
Persamaan pembezaan tertib kedua tak homogen linear dengan pekali malar: y +py'+qy=f(x).
Persamaan pembezaan homogen linear: y +p(x)y'+q(x)y=0, dan persamaan tertib kedua tidak homogen: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Persamaan pembezaan tertib tinggi dan jenisnya:

Persamaan pembezaan yang boleh dikurangkan mengikut tertib: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.

Persamaan homogen tertib tinggi linear: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0, dan tidak homogen: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Langkah-langkah dalam menyelesaikan masalah dengan persamaan pembezaan

Dengan bantuan alat kawalan jauh, bukan sahaja soalan matematik atau fizikal dapat diselesaikan, malah pelbagai masalah daripadabiologi, ekonomi, sosiologi, dll. Walaupun pelbagai topik, seseorang harus mematuhi satu urutan logik semasa menyelesaikan masalah sedemikian:

Kompilasi alat kawalan jauh. Salah satu langkah paling sukar yang memerlukan ketepatan maksimum, kerana sebarang kesilapan akan membawa kepada keputusan yang salah sepenuhnya. Semua faktor yang mempengaruhi proses perlu diambil kira dan syarat awal harus ditentukan. Ia juga harus berdasarkan fakta dan kesimpulan yang logik.
Penyelesaian persamaan yang dirumuskan. Proses ini lebih mudah daripada langkah pertama, kerana ia hanya memerlukan pengiraan matematik yang ketat.
Analisis dan penilaian keputusan. Penyelesaian yang diperoleh harus dinilai untuk mewujudkan nilai praktikal dan teori hasil.

Contoh penggunaan persamaan pembezaan dalam perubatan

Penggunaan alat kawalan jauh dalam bidang perubatan berlaku apabila membina model matematik epidemiologi. Pada masa yang sama, seseorang tidak boleh lupa bahawa persamaan ini juga terdapat dalam biologi dan kimia, yang hampir dengan perubatan, kerana kajian tentang pelbagai populasi biologi dan proses kimia dalam tubuh manusia memainkan peranan penting di dalamnya.

Dalam contoh wabak di atas, kita boleh mempertimbangkan penyebaran jangkitan dalam masyarakat terpencil. Penduduk dibahagikan kepada tiga jenis:

Dijangkiti, nombor x(t), terdiri daripada individu, pembawa jangkitan, setiap satunya adalah berjangkit (tempoh inkubasi adalah singkat).
Jenis kedua termasukindividu yang mudah terdedah y(t) mampu dijangkiti melalui sentuhan dengan individu yang dijangkiti.
Spesies ketiga termasuk individu kebal z(t) yang kebal atau telah mati akibat penyakit.

Bilangan individu adalah tetap, mengira kelahiran, kematian semula jadi dan penghijrahan tidak diambil kira. Akan ada dua hipotesis pada intinya.

Peratusan kejadian pada titik masa tertentu ialah x(t)y(t) (berdasarkan teori bahawa bilangan kes adalah berkadar dengan bilangan persilangan antara wakil yang sakit dan mudah terdedah, yang pada mulanya anggaran akan berkadar dengan x(t)y(t)), sehubungan dengan ini, bilangan kes meningkat, dan bilangan terdedah berkurangan pada kadar yang dikira oleh formula ax(t)y(t) (a > 0).

Bilangan individu kebal yang telah kebal atau meninggal dunia meningkat pada kadar yang berkadar dengan bilangan kes, bx(t) (b > 0).

Akibatnya, anda boleh membuat sistem persamaan dengan mengambil kira ketiga-tiga penunjuk dan membuat kesimpulan berdasarkannya.

Contoh ekonomi

Kalkulus pembezaan sering digunakan dalam analisis ekonomi. Tugas utama dalam analisis ekonomi ialah kajian kuantiti daripada ekonomi, yang ditulis dalam bentuk fungsi. Ini digunakan apabila menyelesaikan masalah seperti perubahan dalam pendapatan serta-merta selepas kenaikan cukai, pengenalan duti, perubahan dalam hasil syarikat apabila kos pengeluaran berubah, dalam bahagian berapakah pekerja bersara boleh digantikan dengan peralatan baru. Untuk menyelesaikan masalah sedemikian, adalah perlumembina fungsi sambungan daripada pembolehubah input, yang kemudiannya dikaji menggunakan kalkulus pembezaan.

Dalam bidang ekonomi, selalunya perlu mencari petunjuk yang paling optimum: produktiviti buruh maksimum, pendapatan tertinggi, kos terendah, dan sebagainya. Setiap penunjuk tersebut adalah fungsi satu atau lebih argumen. Sebagai contoh, pengeluaran boleh dilihat sebagai fungsi input buruh dan modal. Dalam hal ini, mencari nilai yang sesuai boleh dikurangkan kepada mencari maksimum atau minimum fungsi daripada satu atau lebih pembolehubah.

Masalah seperti ini mewujudkan kelas masalah yang melampau dalam bidang ekonomi, yang penyelesaiannya memerlukan kalkulus pembezaan. Apabila penunjuk ekonomi perlu diminimumkan atau dimaksimumkan sebagai fungsi penunjuk lain, maka pada titik maksimum, nisbah kenaikan fungsi kepada argumen akan cenderung kepada sifar jika kenaikan argumen cenderung kepada sifar. Jika tidak, apabila nisbah sedemikian cenderung kepada beberapa nilai positif atau negatif, titik yang ditentukan tidak sesuai, kerana dengan menambah atau mengurangkan hujah, anda boleh menukar nilai bergantung ke arah yang diperlukan. Dalam terminologi kalkulus pembezaan, ini bermakna syarat yang diperlukan untuk maksimum sesuatu fungsi ialah nilai sifar terbitannya.

Dalam ekonomi, selalunya terdapat masalah untuk mencari ekstrem fungsi dengan beberapa pembolehubah, kerana penunjuk ekonomi terdiri daripada banyak faktor. Soalan seperti ini bagus.dikaji dalam teori fungsi beberapa pembolehubah, menggunakan kaedah pengiraan pembezaan. Masalah sedemikian termasuk bukan sahaja fungsi yang dimaksimumkan dan diminimumkan, tetapi juga kekangan. Soalan sedemikian berkaitan dengan pengaturcaraan matematik, dan ia diselesaikan dengan bantuan kaedah yang dibangunkan khas, juga berdasarkan cabang sains ini.

Antara kaedah kalkulus pembezaan yang digunakan dalam ekonomi, bahagian penting ialah analisis marginal. Dalam bidang ekonomi, istilah ini merujuk kepada satu set kaedah untuk mengkaji penunjuk berubah dan keputusan apabila mengubah jumlah penciptaan, penggunaan, berdasarkan analisis penunjuk marginal mereka. Penunjuk had ialah derivatif atau derivatif separa dengan beberapa pembolehubah.

Kalkulus pembezaan beberapa pembolehubah adalah topik penting dalam bidang analisis matematik. Untuk kajian terperinci, anda boleh menggunakan pelbagai buku teks untuk pendidikan tinggi. Salah satu yang paling terkenal telah dicipta oleh Fikhtengolts - "Kursus kalkulus pembezaan dan integral". Seperti namanya, kemahiran dalam bekerja dengan kamiran adalah amat penting untuk menyelesaikan persamaan pembezaan. Apabila kalkulus pembezaan fungsi satu pembolehubah berlaku, penyelesaian menjadi lebih mudah. Walaupun, perlu diperhatikan, ia tertakluk kepada peraturan asas yang sama. Untuk mengkaji fungsi dalam amalan dengan kalkulus pembezaan, sudah cukup untuk mengikuti algoritma yang sedia ada, yang diberikan di sekolah menengah dan hanya rumit sedikit apabila yang baru diperkenalkan.pembolehubah.