Masalah geometri biasa ialah mencari sudut antara garisan. Pada satah, jika persamaan garis diketahui, ia boleh dilukis dan sudut diukur dengan protraktor. Walau bagaimanapun, kaedah ini sukar dan tidak selalu mungkin. Untuk mengetahui sudut yang dinamakan, tidak perlu melukis garis lurus, ia boleh dikira. Artikel ini akan menjawab cara ini dilakukan.
Garis lurus dan persamaan vektornya
Mana-mana garis lurus boleh diwakili sebagai vektor yang bermula pada -∞ dan berakhir pada +∞. Dalam kes ini, vektor melalui beberapa titik dalam ruang. Oleh itu, semua vektor yang boleh dilukis antara mana-mana dua titik pada garis lurus akan selari antara satu sama lain. Takrifan ini membolehkan anda menetapkan persamaan garis lurus dalam bentuk vektor:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Di sini, vektor dengan koordinat (a; b; c) ialah panduan untuk garis ini yang melalui titik (x0; y0; z0). Parameter α membolehkan anda memindahkan titik yang ditentukan kepada mana-mana yang lain untuk baris ini. Persamaan ini adalah intuitif dan mudah untuk digunakan dalam kedua-dua ruang 3D dan di atas satah. Untuk satah, ia tidak akan mengandungi koordinat z dan komponen vektor arah ketiga.
Kemudahan melakukan pengiraan dan mengkaji kedudukan relatif garis lurus akibat penggunaan persamaan vektor adalah disebabkan oleh fakta bahawa vektor pengarahnya diketahui. Koordinatnya digunakan untuk mengira sudut antara garisan dan jarak antaranya.
Persamaan am untuk garis lurus pada satah
Mari kita tulis secara eksplisit persamaan vektor bagi garis lurus untuk kes dua dimensi. Ia kelihatan seperti:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Sekarang kita mengira parameter α untuk setiap kesamaan dan menyamakan bahagian yang betul bagi kesamaan yang diperolehi:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Membuka kurungan dan memindahkan semua istilah ke satu bahagian kesamaan, kami mendapat:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, dengan A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Ungkapan yang terhasil dipanggil persamaan am untuk garis lurus yang diberikan dalam ruang dua dimensi (dalam tiga dimensi persamaan ini sepadan dengan satah selari dengan paksi-z, bukan garis lurus).
Jika kita secara eksplisit menulis y melalui x dalam ungkapan ini, maka kita mendapat bentuk berikut, dikenalisetiap pelajar:
y=kx + p, dengan k=-A/B, p=-C/B
Persamaan linear ini secara unik mentakrifkan garis lurus pada satah. Sangat mudah untuk melukisnya mengikut persamaan yang terkenal, untuk ini anda harus meletakkan x=0 dan y=0 secara bergilir-gilir, tandakan titik yang sepadan dalam sistem koordinat dan lukis garis lurus yang menghubungkan titik yang diperolehi.
Formula sudut antara garis
Di atas satah, dua garis boleh sama ada bersilang atau selari antara satu sama lain. Di ruang angkasa, pilihan ini ditambah kemungkinan kewujudan garis condong. Walau apa pun versi kedudukan relatif objek geometri satu dimensi ini dilaksanakan, sudut antara mereka sentiasa boleh ditentukan dengan formula berikut:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Di mana v1¯ dan v2¯ masing-masing ialah vektor panduan untuk baris 1 dan 2. Pengangka ialah modulus hasil darab titik untuk mengecualikan sudut tumpul dan mengambil kira sudut tajam sahaja.
Vektor v1¯ dan v2¯ boleh diberikan oleh dua atau tiga koordinat, manakala formula untuk sudut φ kekal tidak berubah.
Paralelisme dan keserenjangan garis
Jika sudut antara 2 garisan yang dikira menggunakan formula di atas ialah 0o, maka ia dikatakan selari. Untuk menentukan sama ada garis selari atau tidak, anda tidak boleh mengira sudutφ, ia sudah memadai untuk menunjukkan bahawa vektor satu arah boleh diwakili melalui vektor yang serupa bagi garisan lain, iaitu:
v1¯=qv2¯
Di sini q ialah beberapa nombor nyata.
Jika persamaan garis diberikan sebagai:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
maka ia akan selari hanya apabila pekali x adalah sama, iaitu:
k1=k2
Fakta ini boleh dibuktikan jika kita mempertimbangkan bagaimana pekali k dinyatakan dari segi koordinat vektor arah garis lurus.
Jika sudut persilangan antara garis ialah 90o, maka ia dipanggil serenjang. Untuk menentukan keserenjang garis, ia juga tidak perlu mengira sudut φ, untuk ini cukup untuk mengira hanya hasil kali skalar bagi vektor v1¯ dan v 2¯. Ia mestilah sifar.
Dalam kes garis lurus bersilang dalam ruang, formula untuk sudut φ juga boleh digunakan. Dalam kes ini, hasilnya harus ditafsirkan dengan betul. φ yang dikira menunjukkan sudut antara vektor arah garis yang tidak bersilang dan tidak selari.
Tugas 1. Garis serenjang
Adalah diketahui bahawa persamaan garis mempunyai bentuk:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Adalah perlu untuk menentukan sama ada garisan iniserenjang.
Seperti yang dinyatakan di atas, untuk menjawab soalan, cukup untuk mengira hasil kali skalar bagi vektor panduan, yang sepadan dengan koordinat (1; 2) dan (-4; 2). Kami ada:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Memandangkan kami mendapat 0, ini bermakna garis yang dipertimbangkan bersilang pada sudut tepat, iaitu, ia berserenjang.
Tugas 2. Sudut persilangan garis
Diketahui bahawa dua persamaan untuk garis lurus mempunyai bentuk berikut:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Adalah perlu untuk mencari sudut antara garisan.
Memandangkan pekali x mempunyai nilai yang berbeza, garis ini tidak selari. Untuk mencari sudut yang terbentuk apabila ia bersilang, kami menterjemah setiap persamaan ke dalam bentuk vektor.
Untuk baris pertama kami dapat:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Di sebelah kanan persamaan, kami mendapat vektor yang koordinatnya bergantung pada x. Mari kita mewakilinya sebagai jumlah dua vektor, dan koordinat yang pertama akan mengandungi pembolehubah x, dan koordinat yang kedua akan terdiri secara eksklusif daripada nombor:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Memandangkan x mengambil nilai sewenang-wenangnya, ia boleh digantikan dengan parameter α. Persamaan vektor untuk baris pertama menjadi:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Kami melakukan tindakan yang sama dengan persamaan kedua baris, kami mendapat:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Kami menulis semula persamaan asal dalam bentuk vektor. Kini anda boleh menggunakan formula untuk sudut persilangan, menggantikannya dengan koordinat vektor arah garis:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Oleh itu, garisan yang dipertimbangkan bersilang pada sudut 71.565o, atau 1.249 radian.
Masalah ini mungkin diselesaikan secara berbeza. Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk mengambil dua titik sewenang-wenangnya bagi setiap garis lurus, menyusun vektor terus daripadanya, dan kemudian menggunakan formula untuk φ.
