Polyhedra menarik perhatian ahli matematik dan saintis walaupun pada zaman dahulu. Orang Mesir membina piramid. Dan orang Yunani mempelajari "polyhedra biasa". Mereka kadang-kadang dipanggil pepejal Platonik. "Polihedra tradisional" terdiri daripada muka rata, tepi lurus dan bucu. Tetapi persoalan utama selalunya ialah peraturan apa yang mesti dipenuhi oleh bahagian-bahagian yang berasingan ini, serta syarat-syarat global tambahan yang mesti dipenuhi agar objek layak sebagai polihedron. Jawapan kepada soalan ini akan dibentangkan dalam artikel.
Masalah dalam definisi
Terdiri daripada apakah angka ini? Polihedron ialah bentuk pepejal tertutup yang mempunyai muka rata dan tepi lurus. Oleh itu, masalah pertama definisinya boleh dipanggil dengan tepat sisi angka itu. Tidak semua wajah yang berbaring di dalam pesawat sentiasa menjadi tanda polihedron. Mari kita ambil "silinder segi tiga" sebagai contoh. Apakah kandungannya? Bahagian permukaannya tiga berpasangansatah menegak yang bersilang tidak boleh dianggap sebagai poligon. Sebabnya ialah ia tidak mempunyai bucu. Permukaan rajah sedemikian terbentuk berdasarkan tiga sinar yang bertemu pada satu titik.
Satu lagi masalah - kapal terbang. Dalam kes "silinder segi tiga" ia terletak pada bahagiannya yang tidak terhad. Angka dianggap cembung jika ruas garis yang menghubungkan mana-mana dua titik dalam set itu juga berada di dalamnya. Marilah kita membentangkan salah satu sifat penting mereka. Untuk set cembung, set titik sepunya kepada set adalah sama. Terdapat satu lagi jenis angka. Ini ialah polyhedra 2D bukan cembung yang sama ada mempunyai takuk atau lubang.
Bentuk yang bukan polyhedra
Sekumpulan titik rata boleh berbeza (contohnya, tidak cembung) dan tidak memenuhi definisi biasa bagi polihedron. Walaupun melaluinya, ia dihadkan oleh bahagian garisan. Garisan polihedron cembung terdiri daripada rajah cembung. Walau bagaimanapun, pendekatan kepada definisi ini mengecualikan angka yang menuju ke infiniti. Contoh ini ialah tiga sinar yang tidak bertemu pada titik yang sama. Tetapi pada masa yang sama, mereka disambungkan ke bucu angka lain. Secara tradisinya, adalah penting untuk polyhedron bahawa ia terdiri daripada permukaan rata. Tetapi dari masa ke masa, konsep itu berkembang, yang membawa kepada peningkatan yang ketara dalam memahami kelas polyhedra yang "lebih sempit" asal, serta kemunculan definisi baharu yang lebih luas.
Betul
Mari kita perkenalkan satu lagi definisi. Polihedron sekata ialah polihedron yang setiap muka adalah sekata yang kongruenpoligon cembung, dan semua bucu adalah "sama". Ini bermakna setiap bucu mempunyai bilangan poligon sekata yang sama. Gunakan definisi ini. Jadi anda boleh mencari lima polyhedra biasa.
Langkah pertama untuk teorem Euler untuk polyhedra
Orang Yunani tahu tentang poligon, yang hari ini dipanggil pentagram. Poligon ini boleh dipanggil sekata kerana semua sisinya adalah sama panjang. Terdapat juga satu lagi nota penting. Sudut antara dua sisi yang berturutan sentiasa sama. Walau bagaimanapun, apabila dilukis dalam satah, ia tidak menentukan set cembung, dan sisi polihedron bersilang antara satu sama lain. Walau bagaimanapun, ini tidak selalu berlaku. Ahli matematik telah lama mempertimbangkan idea polyhedra biasa "tidak cembung". Pentagram adalah salah satu daripadanya. "Bintang poligon" juga dibenarkan. Beberapa contoh baharu "polihedra biasa" telah ditemui. Kini mereka dipanggil Kepler-Poinsot polyhedra. Kemudian, G. S. M. Coxeter dan Branko Grünbaum melanjutkan peraturan dan menemui "polihedra biasa" lain.
Formula polihedral
Kajian sistematik tentang angka-angka ini bermula agak awal dalam sejarah matematik. Leonhard Euler adalah orang pertama yang menyedari bahawa formula yang mengaitkan bilangan bucu, muka dan tepinya digunakan untuk polyhedra 3D cembung.
Dia kelihatan seperti ini:
V + F - E=2, dengan V ialah bilangan bucu polihedral, F ialah bilangan tepi polihedral dan E ialah bilangan muka.
Leonhard Euler ialah warga Switzerlandahli matematik yang dianggap sebagai salah seorang saintis terhebat dan paling produktif sepanjang zaman. Dia telah buta sepanjang hayatnya, tetapi kehilangan penglihatannya memberinya alasan untuk menjadi lebih produktif. Terdapat beberapa formula yang dinamakan sempena namanya, dan yang baru kita lihat kadangkala dipanggil formula Euler polyhedra.
Ada satu penjelasan. Formula Euler, bagaimanapun, hanya berfungsi untuk polyhedra yang mengikut peraturan tertentu. Mereka berbohong pada hakikat bahawa borang itu tidak sepatutnya mempunyai sebarang lubang. Dan ia tidak boleh diterima untuk menyeberang sendiri. Polihedron juga tidak boleh terdiri daripada dua bahagian yang dicantumkan, seperti dua kubus dengan bucu yang sama. Euler menyebut hasil penyelidikannya dalam surat kepada Christian Goldbach pada tahun 1750. Kemudian, dia menerbitkan dua kertas di mana dia menerangkan bagaimana dia cuba mencari bukti penemuan barunya. Malah, terdapat bentuk yang memberikan jawapan berbeza kepada V + F - E. Jawapan kepada jumlah F + V - E=X dipanggil ciri Euler. Dia mempunyai aspek lain. Sesetengah bentuk mungkin mempunyai ciri Euler yang negatif
Teori Graf
Kadangkala didakwa Descartes memperoleh teorem Euler lebih awal. Walaupun saintis ini menemui fakta tentang polyhedra tiga dimensi yang membolehkannya memperoleh formula yang diingini, dia tidak mengambil langkah tambahan ini. Hari ini, Euler dikreditkan dengan "bapa" teori graf. Dia menyelesaikan masalah jambatan Konigsberg menggunakan ideanya. Tetapi saintis tidak melihat polihedron dalam konteksteori graf. Euler cuba memberikan bukti formula berdasarkan penguraian polihedron kepada bahagian yang lebih mudah. Percubaan ini tidak memenuhi piawaian moden untuk pembuktian. Walaupun Euler tidak memberikan justifikasi pertama yang betul untuk formulanya, seseorang tidak dapat membuktikan sangkaan yang belum dibuat. Walau bagaimanapun, keputusan, yang telah dibuktikan kemudian, memungkinkan untuk menggunakan teorem Euler pada masa sekarang juga. Bukti pertama diperolehi oleh ahli matematik Adrian Marie Legendre.
Bukti formula Euler
Euler mula-mula merumuskan formula polyhedral sebagai teorem pada polyhedra. Hari ini ia sering dirawat dalam konteks yang lebih umum bagi graf bersambung. Sebagai contoh, sebagai struktur yang terdiri daripada titik dan segmen garis yang menghubungkannya, yang berada di bahagian yang sama. Augustin Louis Cauchy adalah orang pertama yang menemui hubungan penting ini. Ia berfungsi sebagai bukti teorem Euler. Dia, pada dasarnya, perasan bahawa graf polihedron cembung (atau yang kini dipanggil sedemikian) secara topologi homeomorfik kepada sfera, mempunyai graf bersambung planar. Apa ini? Graf planar ialah graf yang telah dilukis dalam satah sedemikian rupa sehingga tepinya bertemu atau bersilang hanya pada satu bucu. Di sinilah perkaitan antara teorem Euler dan graf ditemui.
Salah satu petunjuk tentang kepentingan keputusan ialah David Epstein dapat mengumpulkan tujuh belas bukti yang berbeza. Terdapat banyak cara untuk membenarkan formula polihedral Euler. Dari satu segi, bukti yang paling jelas ialah kaedah yang menggunakan aruhan matematik. Hasilnya boleh dibuktikanmelukisnya sepanjang bilangan sama ada tepi, muka atau bucu graf.
Bukti Rademacher dan Toeplitz
Terutama menarik ialah bukti Rademacher dan Toeplitz berikut, berdasarkan pendekatan Von Staudt. Untuk mewajarkan teorem Euler, andaikan G ialah graf bersambung yang tertanam dalam satah. Jika ia mempunyai skema, adalah mungkin untuk mengecualikan satu tepi daripada setiap daripadanya dengan cara untuk mengekalkan harta yang ia kekal bersambung. Terdapat korespondensi satu dengan satu antara bahagian yang dialih keluar untuk pergi ke graf yang disambungkan tanpa penutupan dan bahagian yang bukan tepi tak terhingga. Penyelidikan ini membawa kepada klasifikasi "permukaan boleh orientasi" dari segi ciri yang dipanggil Euler.
Keluk Jordan. Teorem
Tesis utama, yang digunakan secara langsung atau tidak langsung dalam pembuktian formula polyhedra bagi teorem Euler untuk graf, bergantung pada lengkung Jordan. Idea ini berkaitan dengan generalisasi. Ia mengatakan bahawa mana-mana lengkung tertutup mudah membahagikan satah kepada tiga set: titik di atasnya, di dalam dan di luarnya. Apabila minat terhadap formula polihedral Euler berkembang pada abad kesembilan belas, banyak percubaan telah dibuat untuk menyamaratakannya. Penyelidikan ini meletakkan asas untuk pembangunan topologi algebra dan menghubungkannya dengan algebra dan teori nombor.
Kumpulan Moebius
Tidak lama kemudian didapati bahawa sesetengah permukaan hanya boleh "berorientasikan" dengan cara yang konsisten secara tempatan, bukan secara global. Kumpulan Möbius yang terkenal berfungsi sebagai ilustrasi seperti itupermukaan. Ia ditemui lebih awal oleh Johann Listing. Konsep ini termasuk tanggapan genus graf: bilangan deskriptor yang paling sedikit g. Ia mesti ditambah pada permukaan sfera, dan ia boleh dibenamkan pada permukaan yang dilanjutkan dengan cara yang tepi hanya bertemu di bucu. Ternyata mana-mana permukaan boleh berorientasikan dalam ruang Euclidean boleh dianggap sebagai sfera dengan bilangan pemegang tertentu.
Rajah Euler
Saintis itu membuat penemuan lain, yang masih digunakan sehingga kini. Apa yang dipanggil gambar rajah Euler ini ialah gambaran grafik bagi bulatan, biasanya digunakan untuk menggambarkan hubungan antara set atau kumpulan. Carta biasanya termasuk warna yang bercampur di kawasan yang bertindih bulatan. Set diwakili dengan tepat oleh bulatan atau bujur, walaupun angka lain juga boleh digunakan untuknya. Kemasukan diwakili oleh pertindihan elips yang dipanggil bulatan Euler.
Ia mewakili set dan subset. Pengecualian ialah bulatan tidak bertindih. Gambar rajah Euler berkait rapat dengan perwakilan grafik yang lain. Mereka sering keliru. Perwakilan grafik ini dipanggil gambar rajah Venn. Bergantung pada set yang dipersoalkan, kedua-dua versi mungkin kelihatan sama. Walau bagaimanapun, dalam rajah Venn, bulatan bertindih tidak semestinya menunjukkan kesamaan antara set, tetapi hanya hubungan logik yang mungkin jika labelnya tiada dalambulatan bersilang. Kedua-dua pilihan telah diterima pakai untuk mengajar teori set sebagai sebahagian daripada pergerakan matematik baharu tahun 1960-an.
Teorem Fermat dan Euler
Euler meninggalkan tanda yang ketara dalam sains matematik. Teori nombor algebra diperkaya dengan teorem yang dinamakan sempena namanya. Ia juga merupakan akibat daripada satu lagi penemuan penting. Ini adalah apa yang dipanggil teorem Lagrange algebra am. Nama Euler juga dikaitkan dengan teorem kecil Fermat. Ia mengatakan bahawa jika p ialah nombor perdana dan a ialah integer yang tidak boleh dibahagikan dengan p, maka:
ap-1 - 1 boleh dibahagi dengan p.
Kadangkala penemuan yang sama mempunyai nama yang berbeza, paling kerap ditemui dalam kesusasteraan asing. Bunyinya seperti teorem Krismas Fermat. Masalahnya ialah penemuan itu diketahui terima kasih kepada surat daripada seorang saintis yang dihantar pada malam 25 Disember 1640. Tetapi kenyataan itu sendiri pernah ditemui sebelum ini. Ia digunakan oleh saintis lain bernama Albert Girard. Fermat hanya cuba membuktikan teorinya. Penulis membayangkan dalam surat lain bahawa dia diilhamkan oleh kaedah keturunan yang tidak terhingga. Tetapi dia tidak memberikan sebarang bukti. Kemudian, Eider juga beralih kepada kaedah yang sama. Dan selepasnya - ramai saintis terkenal lain, termasuk Lagrange, Gauss dan Minkosky.
Ciri identiti
Teorem Kecil Fermat juga dipanggil kes khas teorem daripada teori nombor disebabkan oleh Euler. Dalam teori ini, fungsi identiti Euler mengira integer positif sehingga integer n yang diberikan. Mereka adalah coprime berkenaan dengann. Teorem Euler dalam teori nombor ditulis menggunakan huruf Yunani φ dan kelihatan seperti φ(n). Ia boleh ditakrifkan secara lebih formal sebagai bilangan integer k dalam julat 1 ≦ k ≦ n yang mana pembahagi sepunya terbesar gcd(n, k) ialah 1. Notasi φ(n) juga boleh dipanggil fungsi phi Euler. Integer k dalam bentuk ini kadangkala dipanggil jumlah. Di tengah-tengah teori nombor, fungsi identiti Euler adalah pendaraban, bermakna jika dua nombor m dan n adalah koprima, maka φ(mn)=φ(m)φ(n). Ia juga memainkan peranan penting dalam mentakrifkan sistem penyulitan RSA.
Fungsi Euler telah diperkenalkan pada tahun 1763. Namun, pada masa itu ahli matematik tidak memilih sebarang simbol khusus untuknya. Dalam penerbitan 1784, Euler mengkaji fungsi ini dengan lebih terperinci dan memilih huruf Yunani π untuk mewakilinya. James Sylvester mencipta istilah "jumlah" untuk ciri ini. Oleh itu, ia juga dirujuk sebagai jumlah Euler. Jumlah φ(n) bagi integer positif n lebih besar daripada 1 ialah bilangan integer positif kurang daripada n yang secara relatifnya prima sehingga n.φ(1) ditakrifkan sebagai 1. Fungsi Euler atau fungsi phi(φ) ialah teori nombor yang sangat penting, fungsi yang sangat berkaitan dengan nombor perdana dan apa yang dipanggil susunan integer.
